2015全国卷1(文数)精校完整解析版

2015·全国卷Ⅰ(文科数学)1．A1[2015·全国卷Ⅰ]已知集合A＝{x|x＝3n＋2，n∈N}，B＝{6，8，10，12，14}，则集合A∩B中元素的个数为()A．5B．4C．3D．21．D[解析]集合A＝{2，5，8，11，14，17，…}，所以A∩B＝{8，14}，所以A∩B中有2个元素．2．F1、F2[2015·全国卷Ⅰ]已知点A(0，1)，B(3，2)，向量AC→＝(－4，－3)，则向量BC→＝()A．(－7，－4)B．(7，4)C．(－1，4)D．(1，4)2．A[解析]AB→＝(3，1)，BC→＝AC→－AB→＝(－4，－3)－(3，1)＝(－7，－4)．3．L4[2015·全国卷Ⅰ]已知复数z满足(z－1)i＝1＋i，则z＝()A．－2－iB．－2＋iC．2－iD．2＋i3．C[解析]设复数z＝a＋bi(a，b∈R)，代入(z－1)i＝1＋i得(a－1＋bi)i＝1＋i，即－b＋(a－1)i＝1＋i.根据复数相等可得－b＝1，a－1＝1，得a＝2，b＝－1，所以复数z＝2－i.4．K2[2015·全国卷Ⅰ]如果3个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长，则称这3个数为一组勾股数，从1，2，3，4，5中任取3个不同的数，则这3个数构成一组勾股数的概率为()A.310B.15C.110D.1204．C[解析]从1，2，3，4，5中任取3个不同的数有(1，2，3)，(1，2，4)，(1，2，5)，(1，3，4)，(1，3，5)，(1，4，5)，(2，3，4)，(2，3，5)，(2，4，5)，(3，4，5)，共10种取法，其中只有(3，4，5)是一组勾股数，所以构成勾股数的概率为110.5．H5、H7[2015·全国卷Ⅰ]已知椭圆E的中心为坐标原点，离心率为12，E的右焦点与抛物线C：y2＝8x的焦点重合，A，B是C的准线与E的两个交点，则|AB|＝()A．3B．6C．9D．125．B[解析]抛物线C：y2＝8x的焦点坐标为(2，0)，准线方程为x＝－2，即椭圆的半焦距c＝2.又离心率e＝ca＝2a＝12，所以a＝4，于是b2＝12，则椭圆的方程为x216＋y212＝1.A，B是C的准线x＝－2与E的两个交点，把x＝－2代入椭圆方程得y＝±3，所以|AB|＝6.6．G12[2015·全国卷Ⅰ]《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺．问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米(如图1­1，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有()图1­1A．14斛B．22斛C．36斛D．66斛6．B[解析]米堆的体积即为四分之一的圆锥的体积，设圆锥底面半径为r，则14×2πr＝8，得r＝16π，所以米堆的体积为13×14πr2×5≈3209(立方尺)，3209÷1.62≈22(斛)．7．D2[2015·全国卷Ⅰ]已知{an}是公差为1的等差数列，Sn为{an}的前n项和．若S8＝4S4，则a10＝()A.172B.192C．10D．127．B[解析]由S8＝4S4，得8a1＋8×72×1＝44a1＋4×32×1，解得a1＝12，所以a10＝12＋(10－1)×1＝192.8．C4[2015·全国卷Ⅰ]函数f(x)＝cos(ωx＋φ)的部分图像如图1­2所示，则f(x)的单调递减区间为()图1­2A.kπ－14，kπ＋34，k∈ZB.2kπ－14，2kπ＋34，k∈ZC.k－14，k＋34，k∈ZD.2k－14，2k＋34，k∈Z8．D[解析]由图知T2＝54－14＝1，所以T＝2，即2π||ω＝2，所以ω＝±π.因为函数f(x)的图像过点14，0，所以当ω＝π时，ω4＋φ＝π2＋2kπ，k∈Z，解得φ＝π4＋2kπ，k∈Z；当ω＝－π时，ω4＋φ＝－π2＋2kπ，k∈Z，解得φ＝－π4＋2kπ，k∈Z.所以f(x)＝cosπx＋π4，由2kππx＋π4π＋2kπ解得2k－14x2k＋34，k∈Z，故选D.9．L1[2015·全国卷Ⅰ]执行图1­3所示的程序框图，如果输入的t＝0.01，则输出的n＝()图1­3A．5B．6C．7D．89．C[解析]经推理分析可知，若程序能满足循环，则每循环一次，S的值减少一半，循环6次后S的值变为126＝1640.01，循环7次后S的值变为127＝11280.01，此时不再满足循环的条件，所以结束循环，于是输出的n＝7.10．B6、B7[2015·全国卷Ⅰ]已知函数f(x)＝2x－1－2，x≤1，－log2（x＋1），x1，且f(a)＝－3，则f(6－a)＝()A．－74B．－54C．－34D．－1410．A[解析]因为2x－1－2－2恒成立，所以可知a1，于是由f(a)＝－log2(a＋1)＝－3得a＝7，所以f(6－a)＝f(－1)＝2－1－1－2＝－74.11．G2[2015·全国卷Ⅰ]圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r)组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图1­4所示．若该几何体的表面积为16＋20π，则r＝()图1­4A．1B．2C．4D．811．B[解析]由三视图可知，此组合体的前半部分是一个底面半径为r，高为2r的半圆柱(水平放置)，后半部分是一个半径为r的半球，其中半圆柱的一个底面与半球的半个圆面重合，所以此几何体的表面积为2r·2r＋12πr2＋12πr2＋πr·2r＋2πr2＝4r2＋5πr2＝16＋20π，解得r＝2.12．B6、B7[2015·全国卷Ⅰ]设函数y＝f(x)的图像与y＝2x＋a的图像关于直线y＝－x对称，且f(－2)＋f(－4)＝1，则a＝()A．－1B．1C．2D．412．C[解析]在函数y＝f(x)的图像上任设一点P(x，y)，其关于直线y＝－x的对称点为P′(x′，y′)，则有y′－yx′－x＝1，x＋x′2＋y＋y′2＝0，解得x′＝－y，y′＝－x.由于点P′(x′，y′)在函数y＝2x＋a的图像上，于是有－x＝2－y＋a，得－y＋a＝log2(－x)，即y＝f(x)＝a－log2(－x)，所以f(－2)＋f(－4)＝a－log22＋a－log24＝2a－3＝1，所以a＝2.13．[2015·全国卷Ⅰ]在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝2an，Sn为{an}的前n项和．若Sn＝126，则n＝________．13．D36[解析]由a1＝2，an＋1＝2an可知数列{an}为等比数列，公比为2，所以Sn＝2（1－2n）1－2＝126，得n＝6.14．B12[2015·全国卷Ⅰ]已知函数f(x)＝ax3＋x＋1的图像在点(1，f(1))处的切线过点(2，7)，则a＝________．14．1[解析]因为f′(x)＝3ax2＋1，所以函数在点(1，f(1))，即点(1，2＋a)处的切线的斜率k＝f′(1)＝3a＋1.又切线过点(2，7)，则经过点(1，2＋a)，(2，7)的直线的斜率k＝2＋a－71－2，所以3a＋1＝2＋a－71－2，解得a＝1.15．E5[2015·全国卷Ⅰ]若x，y满足约束条件x＋y－2≤0，x－2y＋1≤0，2x－y＋2≥0，则z＝3x＋y的最大值为________．15．4[解析]作出约束条件表示的可行域如图所示，当目标函数线平移至经过可行域的顶点A(1，1)时，目标函数z取得最大值，故zmax＝3×1＋1＝4.16．H6[2015·全国卷Ⅰ]已知F是双曲线C：x2－y28＝1的右焦点，P是C的左支上一点，A(0，66)，当△APF周长最小时，该三角形的面积为________．16．126[解析]由已知得a＝1，c＝3，则F(3，0)，|AF|＝15.设F1是双曲线的左焦点，根据双曲线的定义有|PF|－|PF1|＝2，所以|PA|＋|PF|＝|PA|＋|PF1|＋2≥|AF1|＋2＝17，即点P是线段AF1与双曲线的交点时，|PA|＋|PF|＝|PA|＋|PF1|＋2最小，即△APF周长最小，此时，sin∠OAF＝15，cos∠PAF＝1－2sin2∠OAF＝2325，即有sin∠PAF＝4625.由余弦定理得|PF|2＝|PA|2＋|AF|2－2|PA||AF|cos∠PAF，即(17－|PA|)2＝|PA|2＋152－2|PA|×15×2325，解得|PA|＝10，于是S△APF＝12|PA|·|AF|·sin∠PAF＝12×10×15×4625＝126.17．C5、C8[2015·全国卷Ⅰ]已知a，b，c分别是△ABC内角A，B，C的对边，sin2B＝2sinAsinC.(1)若a＝b，求cosB;(2)若B＝90°，且a＝2，求△ABC的面积．17．解：(1)由题设及正弦定理可得b2＝2ac.又a＝b，所以可得b＝2c，a＝2c.由余弦定理可得cosB＝a2＋c2－b22ac＝14.(2)由(1)知b2＝2ac.因为B＝90°，所以由勾股定理得a2＋c2＝b2.故a2＋c2＝2ac，得c＝a＝2，所以△ABC的面积为1.18．G5[2015·全国卷Ⅰ]如图1­5，四边形ABCD为菱形，G为AC与BD的交点，BE⊥平面ABCD.(1)证明：平面AEC⊥平面BED；(2)若∠ABC＝120°，AE⊥EC,三棱锥E­ACD的体积为63，求该三棱锥的侧面积．图1­518．解：(1)证明：因为四边形ABCD为菱形，所以AC⊥BD.因为BE⊥平面ABCD，所以AC⊥BE，故AC⊥平面BED.又AC⊂平面AEC，所以平面AEC⊥平面BED.(2)设AB＝x，在菱形ABCD中，由∠ABC＝120°，可得AG＝GC＝32x，GB＝GD＝x2.因为AE⊥EC，所以在Rt△AEC中，可得EG＝32x.由BE⊥平面ABCD，知△EBG为直角三角形，可得BE＝22x.由已知得，三棱锥E­ACD的体积VE­ACD＝13×12AC·GD·BE＝624x3＝63，故x＝2.从而可得AE＝EC＝ED＝6，所以△EAC的面积为3，△EAD的面积与△ECD的面积均为5.故三棱锥E­ACD的侧面积为3＋25.19．I4[2015·全国卷Ⅰ]某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x(单位：千元)对年销售量y(单位：t)和年利润z(单位：千元)的影响．对近8年的年宣传费xi和年销售量yi(i＝1，2，…，8)数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值．图1­6xyw错误!(wi－w)·(yi－y)46.65636.8289.81.61469108.8其中wi＝xi，w＝18i＝18wi.(1)根据散点图判断，y＝a＋bx与y＝c＋dx哪一个适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型？(给出判断即可，不必说明理由)(2)根据(1)的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程．(3)已知这种产品的年利润z与x，y的关系为z＝0.2y－x.根据(2)的结果回答下列问题：(i)年宣传费x＝49时，年销售量及年利润的预报值是多少？(ii)年宣传费x为何值时，年利润的预报值最大？附：对于一组数据(u1，v1)，(u2，v2)，…，(un，vn)，其回归直线v＝α＋βu的斜率和截距的最小二乘估计分别为β^＝错误!，错误!＝v－错误!u.19．解：(1)由散点图可以判断，y＝c＋dx适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型．(2)令w＝x，先建立y关于w的线性回归方程．由于d^＝错误!＝错误!＝68，c^＝y－d^w＝563－68×6.8＝100.6，所以y关于w的线性回归方程为y^＝100.6＋68w，因此y关于x的回归方程为y^＝100.6＋68x.(3)(i)由(2)知，当x＝49时，年销售量y的预报值y^＝100.6＋6849＝576.6，年利润z的预报值z^＝576.6×0.2－