2013届高二数学教案33一般形式的柯西不等式(人教A版选修4-5)

课题：第03课时一般形式的柯西不等式教学目标：1.认识柯西不等式的几种不同形式，理解其几何意义；2.通过运用这种不等式分析解决一些问题，体会运用经典不等式的一般方法教学重点：一般形式柯西不等式的证明思路，运用这个不等式证明不等式。教学难点：应用一般形式柯西不等式证明不等式。教学过程：一、复习引入：定理1：（柯西不等式的代数形式）设dcba,,,均为实数，则22222)())((bdacdcba，其中等号当且仅当bcad时成立。定理2：（柯西不等式的向量形式）设，为平面上的两个向量，则||||||，其中等号当且仅当两个向量方向相同或相反（即两个向量共线）时成立。定理3：（三角形不等式）设332211,,,,,yxyxyx为任意实数，则：231231232232221221)()()()()()(yyxxyyxxyyxx二、讲授新课：类似的，从空间向量的几何背景业能得到|α.β|≤|α||β|.将空间向量的坐标代入，可得到成立.1,2,3)时，等号(b使得a，或存在一个实数k，0β即共线时，β，α当且仅当)babab(a)bb)(baa(a2332211232221232221iiik这就是三维形式的柯西不等式.对比二维形式和三维形式的柯西不等式，你能猜想出一般形式的柯西不等式吗？定理4：（一般形式的柯西不等式）：设n为大于1的自然数，iiba,（i1，2，…，n）为任意实数，则：22222212121122()()()nnnnaaabbbababab即211212)(niiiniiniibaba，其中等号当且仅当nnababab2211时成立（当0ia时，约定0ib，i1，2，…，n）。教学札记证明：构造二次函数：2222211)()()()(nnbxabxabxaxf即构造了一个二次函数：niiniiiniibxbaxaxf121212)(2)()(由于对任意实数x，0)(xf恒成立，则其0，即：0))((4)(4121221niiniiniiibaba，即：))(()(121221niiniiniiibaba，等号当且仅当02211nnbxabxabxa，即等号当且仅当nnababab2211时成立（当0ia时，约定0ib，i1，2，…，n）。如果ia（ni1）全为0，结论显然成立。三、应用举例：例3已知a1,a2,…,an都是实数，求证：22221221)(1nnaaaaaan分析：用n乘要证的式子两边，能使式子变成明显符合柯西不等式的形式。例4已知a，b，c，d是不全相等的实数，证明：a2+b2+c2+d2ab+bc+cd+da分析：上式两边都是由a,b,c,d这四个数组成的式子，特别是右边式子的字母排列顺序启发我们，可以用柯西不等式进行证明。的最小值.求1,32例5、已知222zyxzyx分析：由的132222zyxzyx以及形式，联系柯西不等式，可以通过构造（12+22+32）作为一个因式而解决问题。四、巩固练习：练习：1．设x，y，z为正实数，且x+y+z=1，求zyx941的最小值。2．已知a+b+c+d=1，求a2+b2+c2+d2的最小值。3．已知a，b，c为正实数，且a+2b+3c=9，求cba23的最大值。选做：4．已知a，b，c为正实数，且a2+2b2+3c2=6，求a+b+c的最小值。（08广一模）5．已知a，b，c为正实数，且a+2b+c=1，求cba111的最小值。（08东莞二模）6．已知x+y+z=52，则m=x2+2y2+z2的最小值是____________.(08惠州调研)五、课堂小结：重点掌握三维柯西不等式的运用。六、布置作业：P41习题3.22，3，4，5七、教学后记：