2013届高考数学专题训练14推理与证明理

1高考专题训练十四推理与证明班级_______姓名_______时间：45分钟分值：75分总得分________一、选择题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项填在答题卡上．1.依次写出数列a1＝1，a2，a3，…，an(n∈N*)的法则如下：如果an－2为自然数且未写过，则写an＋1＝an－2，否则就写an＋1＝an＋3，则a6＝()A．4B．5C．6D．7解析：根据题中法则，依次逐个代入，得a2＝4，a3＝2，a4＝0，a5＝3，a6＝6.答案：C2．(2011·郑州市高中毕业班第一次质量预测)已知a，b，c∈R＋，若ca＋bab＋cbc＋a，则()A．cabB．bcaC．abcD．cba解析：由已知得c(b＋c)a(a＋b)，a(c＋a)b(b＋c)，即(c－a)(a＋b＋c)0，(a－b)(a＋b＋c)0.又a＋b＋c0，因此有c－a0，a－b0，故cab，选A.答案：A3．(2011·四川省绵阳市高三第二次诊断性测试)记a＝Sin(cos2010°)，b＝sin(sin2010°)，c＝cos(sin2010°)，d＝cos(cos2010°)，则a、b、c、d中最大的是()A．aB．bC．cD．d解析：注意到2010°＝360°×5＋180°＋30°，因此sin2010°＝－sin30°＝－12，cos2010°＝－cos30°＝－32，－π2－320，－π2－120,01232π2，cos12cos320，a＝sin－32＝－sin320，b＝sin－12＝－sin120，c＝cos－12＝cos12d＝cos－32＝cos320，因此选C.答案：C4．(2011·江西师大附中、临川一中高三联考)若实数a，b，c成公差不为0的等差数列，则下列不等式不成立的是()2A．|b－a＋1c－b|≥2B．a3b＋b3c＋c3a≥a4＋b4＋c4C．b2acD．|b|－|a|≤|c|－|b|解析：设等差数列a，b，c的公差为d(d≠0)，则|b－a＋1c－b|＝|d＋1d|＝|d|＋|1d|≥2|d|×1|d|＝2，因此A成立；b2－ac＝a＋c22－ac＝a－c240，因此C成立；由2b＝a＋c得|2b|＝|a＋c|≤|c|＋|a|，即|b|－|a|≤|c|－|b|，因此D成立；对于B，当a＝－1，b＝－2，c＝－3时，a3b＋b3c＋c3a＝53，a4＋b4＋c4＝98，此时B不成立．综上所述，选B.答案：B5．(2011·西安市五校第一次模拟考试)已知“整数对”按如下规律排成一列：(1,1)，(1,2)，(2,1)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，…，则第60个数对是()A．(7,5)B．(5,7)C．(2,10)D．(10,1)解析：依题意，就每组整数对的和相同的分为一组，不难得知每组整数对的和为n＋1，且每组共有n个整数对，这样的前n组一共有nn＋2个整数对，注意到＋260＋2，因此第60个整数对处于第11组(每对整数对的和为12的组)的第5个位置，结合题意可知每对整数对的和为12的组中的各对数依次为(1,11)，(2,10)，(3,9)，(4,8)，(5,7)，…，因此第60个整数对是(5,7)，选B.答案：B6．(2011·江苏镇江模拟)用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于60度”时，假设正确的是()A．假设三内角都不大于60度B．假设三内角都大于60度C．假设三内角至多有一个大于60度D．假设三内角至多有两个大于60度解析：根据反证法的步骤，假设是对原命题结论的否定，即“三内角都大于60度”．故选B.答案：B二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上．7．(2011·南昌一模)观察下列等式：12＝1312－22＝－3，12－22＋32＝6，12－22＋32－42＝－10，…，由以上等式推测到一个一般的结论：对于n∈N*，12－22＋32－42＋…＋(－1)n＋1n2＝________.解析：注意到第n个等式的左边有n项，右边的结果的绝对值恰好等于左边的各项的所有底数的和，即右边的结果的绝对值等于1＋2＋3＋…＋n＝nn＋2＝n2＋n2，注意到右边的结果的符号的规律是：当n为奇数时，符号为正；当n为偶数时，符号为负，因此所填的结果是(－1)n＋1n2＋n2.答案：(－1)n＋1n2＋n28．(2011·东北三省四市教研联合体等值模拟诊断)设S、V分别表示面积和体积，如△ABC面积用S△ABC表示，三棱锥O－ABC的体积用VO－ABC表示．对于命题：如果O是线段AB上一点，则|OB→|·OA→＋|OA→|·OB→＝0.将它类比到平面的情形是：若O是△ABC内一点，有S△OBC·OA→＋S△OCA·OB→＋S△OBA·OC→＝0.将它类比到空间的情形应该是：若O是三棱锥A－BCD内一点，则有____________________________________．解析：由类比思想可得结论．答案：VO－BCD·OA→＋VO－ACD·OB→＋VO－ABD·OC→＋VO－ABC·OD→＝09．(2011·山东威海模拟)用数学归纳法证明不等式1＋12＋14＋…＋12n－112764(n∈N*)成立，其初始值至少应取________．解析：1＋12＋14＋…＋12n－1＝1－12n1－1212764，整理得2n128，解得n7，故原不等式的初始值至少应为8.答案：810．(2011·辽宁沈阳模拟)用数学归纳法证明：(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(n＋n)＝nn＋2(n∈N*)的第二步中，当n＝k＋1时等式左边与n＝k时的等式左边的差等于________．4解析：当n＝k时，等式左边为(k＋1)＋(k＋2)＋…＋(k＋k)，当n＝k＋1时，等式左边为(k＋2)＋(k＋3)＋…＋(k＋1＋k＋1)，所以其差为3k＋2.答案：3k＋2三、解答题：本大题共2小题，共25分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．11．(12分)已知正数数列{an}的前n项和为Sn，且4an－2Sn＝1，数列{bn}满足bn＝2log12an，n∈N*.(1)求函数{an}的通项公式an与{bn}的前n项和Tn；(2)设数列{bnan}的前n项和为Un，求证：0Un≤4.解：(1)易得a1＝12.当n≥2时，4an－2Sn＝1，①4an－1－2Sn－1＝1，②①－②得2an－4an－1＝0⇒an＝2an－1，∴anan－1＝2(n≥2)，∴数列{an}是以a1＝12为首项，2为公比的等比数列，∴an＝2n－2，a1＝12也适合此式，故an＝2n－2.从而bn＝4－2n，其前n项和Tn＝－n2＋3n.(2)证明：∵{an}为等比数列、{bn}为等差数列，bnan＝4－2n2n－2.∴Un＝212＋01＋－22＋…＋6－2n2n－3＋4－2n2n－2，③12Un＝21＋02＋－222＋…＋6－2n2n－2＋4－2n2n－1，④③－④得12Un＝4－21－22－222－…－22n－2－4－2n2n－1，∴Un＝4n2n－1.易知U1＝U2＝4，当n≥3时，Un－Un－1＝2－n2n－30，∴当n≥3时，数列{Un}是递减数列，∴0Un≤U3＝3.5综上，0Un≤4.12．(13分)在数列{an}，{bn}中，a1＝2，b1＝4，且an，bn，an＋1成等差数列，bn，an＋1，bn＋1成等比数列(n∈N*)．求a2，a3，a4及b2，b3，b4，由此猜测{an}，{bn}的通项公式，并证明你的结论．解：由条件得2bn＝an＋an＋1，a2n＋1＝bnbn＋1，由此可得a2＝6，b2＝9，a3＝12，b3＝16，a4＝20，b4＝25.猜测an＝n(n＋1)，bn＝(n＋1)2，n∈N*.用数学归纳法证明：①当n＝1时，由已知a1＝2，b1＝4可得结论成立．②假设当n＝k(k≥2且k∈N*)时，结论成立，即ak＝k(k＋1)，bk＝(k＋1)2，那么当n＝k＋1时，ak＋1＝2bk－ak＝2(k＋1)2－k(k＋1)＝(k＋1)(k＋2)，bk＋1＝a2k＋1bk＝k＋2k＋2k＋2＝(k＋2)2.所以当n＝k＋1时，结论也成立．由①②可知，an＝n(n＋1)，bn＝(n＋1)2对一切n∈N*都成立．