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2013年11月1161622024的高中数学组卷菁优网©2010-2013菁优网2013年11月1161622024的高中数学组卷一.选择题(共1小题)1.(2011•卢湾区一模)在三棱锥P﹣ABC中,所有棱长均相等,若M为棱AB的中点,则PA与CM所成角的余弦值为()A.B.C.D.二.解答题(共7小题)2.已知E、F、G、H是所在线段上的点,且EH∥FG.求证:EH∥BD.3.(2011•重庆)如图,在四面体ABCD中,平面ABC⊥ACD,AB⊥BC,AD=CD,∠CAD=30°(Ⅰ)若AD=2,AB=2BC,求四面体ABCD的体积.(Ⅱ)若二面角C﹣AB﹣D为60°,求异面直线AD与BC所成角的余弦值.4.(2011•江西)如图,在△ABC中,∠B=,AB=BC=2,P为AB边上一动点,PD∥BC,P为AB边上一动点,PD∥BC交AC于点D,现将△PDA沿PD翻折至△PDA′,使平面PDA′⊥平面PBCD.(1)当棱锥A′﹣PBCD的体积最大时,求PA的长;(2)若点P为AB的中点,E为A′C的中点,求证:A′B⊥DE.菁优网©2010-2013菁优网5.(2009•浙江)如图,DC⊥平面ABC,EB∥DC,AC=BC=EB=2DC=2,∠ACB=120°,P,Q分别为AE、AB的中点.(I)证明:PQ∥平面ACD;(II)求异面直线AE与BC所成角的余弦值;(III)求AD与平面ABE所成角的正弦值.6.(2012•姜堰市模拟)如图,在三棱锥P﹣ABC中,已知AB=AC=2,PA=1,∠PAB=∠PAC=∠BAC=60°,点D、E分别为AB、PC的中点.(1)在AC上找一点M,使得PA∥面DEM;(2)求证:PA⊥面PBC;(3)求三棱锥P﹣ABC的体积.7.已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,D,E,F分别是AC、BB1、CC1的中点,(1)求证:AE∥平面BDF;(2)若AB=BC=AA1=2,∠ABC=90°,求二面角A1﹣BF﹣D的余弦值.8.(2011•福建)如图,四棱锥P﹣ABCD中,PA⊥底面ABCD,AB⊥AD,点E在线段AD上,且CE∥AB.(Ⅰ)求证:CE⊥平面PAD;菁优网©2010-2013菁优网(Ⅱ)若PA=AB=1,AD=3,CD=,∠CDA=45°,求四棱锥P﹣ABCD的体积.菁优网©2010-2013菁优网2013年11月1161622024的高中数学组卷参考答案与试题解析一.选择题(共1小题)1.(2011•卢湾区一模)在三棱锥P﹣ABC中,所有棱长均相等,若M为棱AB的中点,则PA与CM所成角的余弦值为()A.B.C.D.考点:异面直线及其所成的角.4080853专题:计算题.分析:本题采用几何法求异面直线所成的角,作辅助线,作出两线所成的角,再在三角形中求角即可解答:解:如图取PB中点N,连接MN与CN,由题设条件M为棱AB的中点,故MN∥PA,故角NMC即为PA与CM所成角∵三棱锥P﹣ABC中,所有棱长均相等不妨令棱长皆为2∴MN==1,CN=CM==故cos∠CMN==故选C点评:本题考查异面直线所成角的求法,其步骤是:作角,证明,求角,本题中的易错点就是忘记证明所作的角即为异面直线所成的角,而直接求值致使丢失步骤分,做题时要注意解题步骤的完整性.二.解答题(共7小题)菁优网©2010-2013菁优网2.已知E、F、G、H是所在线段上的点,且EH∥FG.求证:EH∥BD.考点:平行公理.4080853专题:空间位置关系与距离.分析:根据一条直线在平面上,一条直线与这条直线平行,根据这两个条件得到直线与平面平行,根据线与面平行的性质,得到线与线平行,得到结论.解答:证明:∵点E、F、G、H为空间四边形边AB、BC、CD、DA上的点∴直线EH⊄平面BCD,直线FG⊂平面BCD又EH∥FG∴直线EH∥平面BCD又∵EH⊂平面ABD且平面ABD∩平面BCD=BD∴EH∥BD点评:本题考查线与面平行的判断,线与面平行的性质,考查线面平行的判定和性质的综合应用,本题是一个考查知识点比较集中的题目,只考线与面的平行,是一个目标很明确的题目.3.(2011•重庆)如图,在四面体ABCD中,平面ABC⊥ACD,AB⊥BC,AD=CD,∠CAD=30°(Ⅰ)若AD=2,AB=2BC,求四面体ABCD的体积.(Ⅱ)若二面角C﹣AB﹣D为60°,求异面直线AD与BC所成角的余弦值.考点:异面直线及其所成的角;棱柱、棱锥、棱台的体积.4080853专题:计算题;综合题;数形结合.分析:(I)要求四面体ABCD的体积,必须确定它的高和底面,由已知,△ABC作为底面,高易作,根据线段的长度,即可求得四面体ABCD的体积;(Ⅱ)利用三垂线定理找出二面角C﹣AB﹣D的平面角,根据该角为60°,找到各边之间的关系,利用平移的方法找出异面直线AD与BC所成角,解三角形,即可求得异面直线AD与BC所成角的余弦值.解答:解:(I)设F为AC的中点,由于AD=CD,所以DF⊥AC.故由平面ABC⊥平面ACD,知DF⊥平面ABC,即DF是四面体ABCD的面ABC上的高,且DF=ADsin30°=1,AF=ADcos30°=,在Rt△ABC中,因AC=2AF=2,AB=2BC,由勾股定理易知BC=,AB=.菁优网©2010-2013菁优网故四面体ABCD的体积V==.(II)设G,H分别为边CD,BD的中点,则FG∥AD,GH∥BC,从而∠FGH是异面直线AD与BC所成角或其补角.设E为边AB的中点,则EF∥BC,由AB⊥BC,知EF⊥AB,又由(I)有DF⊥平面ABC,故由三垂线定理知DE⊥AB,所以∠DEF为二面角C﹣AB﹣D的平面角,由题设知∠DEF=60°.设AD=a,则DF=AD•SsinCAD=,在Rt△DEF中,EF=DF•cotDEF==,从而GH=BC=EF=,因Rt△ADE≌Rt△BDE,故在Rt△BDF中,FH=.又FG=AD=,从而在△FGH中,因FG=FH,由余弦定理得cosFGH==.点评:此题是个中档题.考查棱锥的体积公式和异面直线所成角问题,求解方法一般是平移法,找二面角的平面角时注意三垂线定理及其逆定理的应用,体现了数形结合和转化的思想.4.(2011•江西)如图,在△ABC中,∠B=,AB=BC=2,P为AB边上一动点,PD∥BC,P为AB边上一动点,PD∥BC交AC于点D,现将△PDA沿PD翻折至△PDA′,使平面PDA′⊥平面PBCD.(1)当棱锥A′﹣PBCD的体积最大时,求PA的长;(2)若点P为AB的中点,E为A′C的中点,求证:A′B⊥DE.考点:空间中直线与直线之间的位置关系;棱柱、棱锥、棱台的体积;平面与平面垂直的性质.4080853专题:综合题;转化思想.分析:(1)令PA=x(0<x<2)求出体积表达式,利用导数确定函数的单调性,求出函数的最大值.(2)设F为A′B的中点,连接PF,FE,通过PDEF是平行四边形,证明A′B⊥DE.解答:解:(1)令PA=x(0<x<2),则A′P=PD=x.BP=2﹣x,因为A′P⊥PD且平面A′PD⊥平面PBCD,故A′P⊥平面PBCD,所以令f(x)=,由f′(x)=得x=,菁优网©2010-2013菁优网当x∈(0,)时,f′(x)>0,f(x)单调递增,当x∈(,2)时,f′(x)<0,f(x)单调递减,所以,当x=时,f(x)取得最大值,即:体积最大时,PA=.(2)设F为A′B的中点,连接PF,FE,则有EF∥BC,EF=BC,PD∥BC,PD=BC,所以DE∥PF,又A′P=PB,所以PF⊥A′B.故DE⊥A′B点评:本题是中档题,考查几何体的体积计算,函数最大值的求法,直线与直线的垂直的证明方法,考查空间想象能力,计算能力.5.(2009•浙江)如图,DC⊥平面ABC,EB∥DC,AC=BC=EB=2DC=2,∠ACB=120°,P,Q分别为AE、AB的中点.(I)证明:PQ∥平面ACD;(II)求异面直线AE与BC所成角的余弦值;(III)求AD与平面ABE所成角的正弦值.考点:空间中直线与平面之间的位置关系.4080853专题:证明题.分析:(I)先利用P、Q分别是AE、AB的中点⇒PQ∥BE,PQ=,再利用DC∥BE,DC=可以推出PQ∥DC进而证明PQ∥平面ACD;(II)取BE的中点F,可以先推出QF∥AE且QF=AE,所以∠DFQ就是异面直线AE与BC所成的角,然后在△DFQ中求出∠DFQ的余弦值即可.(III)由AC=BC和Q为AB的中点可得CQ⊥AB,再利用DC⊥平面ABC,可得CQ⊥平面ABE,进而推出DP⊥平面ABE,所以∠DAP就是AD与平面ABE所成的角,在△DAP中求出∠DAP即可.解答:解:(I)证明:由已知:P、Q分别是AE、AB的中点,所以,PQ∥BE,PQ=BE,菁优网©2010-2013菁优网又DC∥BE,DC=BE所以,PQ∥DC所以,PQ∥平面ACD(4分)(II)取BE的中点F,连接QF,DF,DQ,可以推出QF∥AE且QF=AE,易证∠DFQ就是异面直线AE与BC所成的角易知CQ=1,AB=2,AE=4,QF=2,DF=BC=2,DQ=由余弦定理:可得cos∠DFQ=(8分)(III)由AC=BC和Q为AB的中点可得CQ⊥AB,再利用DC⊥平面ABC,可得CQ⊥平面ABE,进而推出DP⊥平面ABE所以∠DAP就是AD与平面ABE所成的角DP=CQ=1,AD=所以AD与平面ABE所成角的正弦值为.(12分)点评:本题涉及了线面平行以及线线所成角和线面所成角,是对立体几何知识的综合考查.在证明线面平行时,其常用方法是在平面内找已知直线平行的直线.当然也可以用面面平行来推导线面平行.6.(2012•姜堰市模拟)如图,在三棱锥P﹣ABC中,已知AB=AC=2,PA=1,∠PAB=∠PAC=∠BAC=60°,点D、E分别为AB、PC的中点.(1)在AC上找一点M,使得PA∥面DEM;(2)求证:PA⊥面PBC;(3)求三棱锥P﹣ABC的体积.考点:直线与平面平行的性质;直线与平面垂直的判定.4080853专题:综合题;空间位置关系与距离.分析:(1)M为AC的中点时,PA∥面DEM,利用三角形的中位线性质,证明EM∥PA,从而可证PA∥面DEM;(2)由AB=AC=2,PA=1,∠PAB=∠PAC=60°,利用余弦定理求出PB=PC=,从而可得AP⊥PB,AP⊥PC,进而可证PA⊥面PBC;(3)在△PBC中,PB=PC=,BC=2,从而可得△PBC的面积,进而可求体积.解答:(1)解:M为AC的中点时,PA∥面DEM.连接EM,DM菁优网©2010-2013菁优网∵M为AC的中点,E为PC的中点∴EM∥PA∵EM⊂面DEM,PA⊄面DEM∴PA∥面DEM;(2)∵AB=AC=2,PA=1,∠PAB=∠PAC=60°,∴PB=PC==∴AB2=AP2+PB2,AC2=AP2+PC2,∴AP⊥PB,AP⊥PC∵PB∩PC=P∴PA⊥面PBC;(3)在△PBC中,PB=PC=,BC=2,∴∴=点评:本题考查线面平行、线面垂直,考查三棱锥体积的计算,正确掌握线面平行、线面垂直的判定是关键.7.已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,D,E,F分别是AC、BB1、CC1的中点,(1)求证:AE∥平面BDF;(2)若AB=BC=AA1=2,∠ABC=90°,求二面角A1﹣BF﹣D的余弦值.考点:二面角的平面角及求法;直线与平面平行的判定.4080853专题:证明题.分析:(1)要证AE∥平面BDF,只需在平面BDF内找到一条直线与AE平行即可,因为D为AC的中点,可思考连结CE,交BF于K,连结DK后利用三角形中位线知识证线线平行,从而得到线面平行;
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