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2015复变函数与积分变换复习提纲第一章复数复数的表示:直角坐标表示、三角函数表示、指数表示。基本运算:加、减、乘、除、共轭核心问题:复数三种表示之间的关系,如何相互变换;加、减、乘、除及共轭运算的基本性质。第二章复变函数§2.1、复变函数:(1)区域、边界、连通;(2)复变函数的极限、连续。§2.2、解析函数的概念(1)导数、解析;(2)Cauchy-Riemann条件和函数可微的关系(定理)。§2.3、解析函数和调和函数共轭调和函数的概念和其几何意义。§2.4、初等解析函数和多值函数(1)初等单值函数:,,sin(),cos()nzzezz(2)初等多值函数:,(),Arcsin(),Arccos()nzLnzzz(3)支点、支割线概念意义。核心问题:复变函数的表示及基本运算;导数的计算方法(利用极限定义),函数解析的性质和判断依据;支点、支割线概念的定义,引入的意义,常见多值函数的性质。第三章Cauchy定理与Cauchy积分§3.1、复变函数积分的定义、计算。§3.2、Cauchy积分定理(解析函数):(1)Cauchy积分定理的描述;(2)解析函数的不定积分计算;(3)复围线上的Cauchy积分定理。§3.3、Cauchy积分公式(1)Cauchy积分公式的描述:1()()()2CffzdzDiz(2)由Cauchy积分公式引出的解析函数的无限次可微性:1!()()2nnCnffzdiz(3)模的最大值原理,平均值定理,Cauchy不等式,整函数,Liouvile定理核心问题:复变积分的定义及计算方法;解析函数积分和非解析函数积分有什么重要的区别,Cauchy积分定理的描述,注意的问题(函数的解析性);Cauchy积分公式、复围线Cauchy积分公式的表示,与Cauchy积分定理之间的关系。第四章解析函数的幂级数表示§4.1、函数项级数的基本性质(1)复数项收敛、绝对收敛(条件收敛)(2)函数项级数的一致性收敛的定义和判据。§4.2、幂级数与解析函数(1)幂级数项级数的收敛性,Abel定理及推论。(2)收敛半径的计算;(3)解析函数的Taylor展开。§4.3、Laurant级数:Laurant展开的定义及意义。§4.4、单值函数的孤立奇点:(1)0点的定义以及阶数的确定;(2)孤立奇点的分类、判断;(要掌握利用0点的性质确定奇点行为的方法)核心问题:函数项级数一致收敛性的定义,如何证明一个函数项级数一致收敛,而一致收敛的函数项级数都有哪些重要性质;幂级数、双边幂级数的收敛特性,收敛半径的计算方法;Taylor展开、Laurent展开的表示,两个重要的问题:展开中心、收敛半径,利用奇点如何判断收敛半径;孤立奇点的判断依据,孤立奇点的类型,分别如何判断。第五章留数及其应用§5.1、留数及留数定理(1)理解留数定理与复围线Cauchy积分定理之间的关联。(2)掌握留数的计算(可去奇点和常点、n阶极点、本性奇点)、复闭合围道积分的运算。§5.2、利用留数定理计算实变函数的积分三种类型实积分的运算:(1)20(cos,sin)Rd,(2)(),()sin(),()cos()fxdxfxmxdxfxmxdx,(3)实轴上存在奇点。核心问题:留数的定义,引入的意义;留数定理的表述,如何利用留数定理计算闭合围道积分;利用留数定理如何计算常见实变函数的积分,特别是()sinfxmx类型的积分,另外要注意如何处理积分路径上如果有奇点如何数学处理(有定理)。第七章积分变换1、Fourier积分变换的定义,象函数及原象的计算;2、Laplace变换的定义,Laplace变换与Fourier变换的区别及联系;3、展开定理及Laplace逆变换。核心问题:Fourier积分变换的定义及意义,基本的计算方法,重要性质;Laplace变换的定义,与Fourier积分变换的联系,重要的问题(的含义),Laplace变换重要的基本性质和计算方法;展开定理的描述,如何利用展开定理计算Laplace变换的原象函数。
本文标题:2015复变函数复习大纲
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