2013年中考复习(二次函数含答案)

二次函数(A)1．(2011年上海)抛物线y＝－(x＋2)2－3的顶点坐标是()A．(2，－3)B．(－2,3)C．(2,3)D．(－2，－3)2．(2012年山东泰安)将抛物线y＝3x2向上平移3个单位，再向左平移2个单位，那么得到的抛物线的解析式为()A．y＝3(x＋2)2＋3B．y＝3(x－2)2＋3C．y＝3(x＋2)2－3D．y＝3(x－2)2－33．(2011年重庆)已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)在平面直角坐标系中的位置如图X3－4－1所示，则下列结论中，正确的是()A．a＞0B．b＜0C．c＜0D．a＋b＋c＞0图X3－4－1图X3－4－2图X3－4－34．(2012年山东泰安)二次函数y＝a(x＋m)2＋n的图象如图X3－4－2，则一次函数y＝mx＋n的图象经过()A．第一、二、三象限B．第一、二、四象限C．第二、三、四象限D．第一、三、四象限5．(2012年山东济南)如图X3－4－3，二次函数的图象经过(－2，－1)，(1,1)两点，则下列关于此二次函数的说法正确的是()A．y的最大值小于0B．当x＝0时，y的值大于1C．当x＝－1时，y的值大于1D．当x＝－3时，y的值小于0图X3－4－4图X3－4－56．(2012年山东日照)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图X3－4－4所示，给出下列结论：①b2－4ac0；②2a＋b0；③4a－2b＋c＝0；④a∶b∶c＝－1∶2∶3.其中正确的是()A．①②B．②③C．③④D．①④7．(2011年广西玉林)已知拋物线y＝－13x2＋2，当1≤x≤5时，y的最大值是()A．2B.23C.53D.738．(2012年山东滨州)抛物线y＝－3x2－x＋4与坐标轴的交点个数是()A．3B．2C．1D．09．(2011年江苏淮安)抛物线y＝x2－2x－3的顶点坐标是__________．10．(2012年山东枣庄)二次函数y＝x2－2x－3的图象如图X3－4－5所示．当y＜0时，自变量x的取值范围是____________．(B)11．(2012年山东枣庄)抛物线y＝ax2＋bx－3经过点(2,4)，则代数式8a＋4b＋1的值为()A．3B．9C．15D．－1512．(2011年湖北襄阳)已知二次函数y＝(k－3)x2＋2x＋1的图象与x轴有交点，则k的取值范围是()A．k4B．k≤4C．k4且k≠3D．k≤4且k≠313．(2011年甘肃兰州)如图X3－4－7所示的二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象中，刘星同学观察得出了下面四条信息：(1)b2－4ac0；(2)c1；(3)2a－b0；(4)a＋b＋c0.你认为其中错误．．的有()A．2个B．3个C．4个D．1个图X3－4－7图X3－4－814．(2011年安徽芜湖)二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图X3－4－8所示，则反比例函数y＝ax与一次函数y＝bx＋c在同一坐标系中的大致图象是()ABCD15．某商场购进一种单价为40元的篮球，如果以单价50元出售，那么每月可售出500个，根据销售经验，售价每提高1元，销售量相应减少10个．(1)假设销售单价提高x元，那么销售每个篮球所获得的单利润是__________元；这种篮球每月的销售量是__________个；(用含x的代数式表示)(2)8000元是否为每月销售这种篮球的最大利润？如果是，请说明理由；如果不是，请求出最大利润，并求出此时篮球的售价应定为多少元．(C)16．(2012年山东济南)如图X3－4－10，抛物线y＝ax2＋bx＋3与x轴相交于点A(－3,0)，B(－1,0)，与y轴相交于点C，⊙O1为△ABC的外接圆，交抛物线于另一点D.(1)求抛物线的解析式；(2)求cos∠CAB的值和⊙O1的半径；(3)如图X3－4－11，抛物线的顶点为P，连接BP，CP，BD，M为弦BD中点，若点N在坐标平面内，满足△BMN∽△BPC，请直接写出所有符合条件的点N的坐标．图X3－4－10图X3－4－1117．(2012年广东肇庆)已知二次函数y＝mx2＋nx＋p图象的顶点横坐标是2，与x轴交于A(x1,0)，B(x2,0)，x10x2，与y轴交于点C，O为坐标原点，tan∠CAO－tan∠CBO＝1.(1)求证：n＋4m＝0；(2)求m，n的值；(3)当p0且二次函数图象与直线y＝x＋3仅有一个交点时，求二次函数的最大值．18．(2012年广东广州)如图X3－4－13，抛物线y＝－38x2－34x＋3与x轴交于A，B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C.(1)求点A，B的坐标；(2)设D为已知抛物线的对称轴上的任意一点，当△ACD的面积等于△ACB的面积时，求点D的坐标；(3)若直线l过点E(4,0)，M为直线l上的动点，当以A，B，M为顶点所作的直角三角形有且只有三个时，求直线l的解析式．图X3－4－13参考答案1．D2.A3.D4.C5.D6.D7.C8.A9．(1，－4)10.－1＜x＜312．C13.D14.D15.D16．解：(1)10＋x500－10x(2)设月销售利润为y元．根据题意，得y＝(10＋x)(500－10x)，整理得y＝－10(x－20)2＋9000当x＝20时，y有最大值9000(元)，此时篮球的售价为：20＋50＝70(元)．答：8000元不是最大利润，最大利润是9000元，此时篮球售价应为70元．17．解：(1)∵抛物线y＝ax2＋bx＋3与x轴相交于点A(－3,0)，B(－1,0)，∴9a－3b＋3＝0，a－b＋3＝0，解得a＝1，b＝4.∴抛物线的解析式为：y＝x2＋4x＋3.(2)由(1)知，抛物线解析式为：y＝x2＋4x＋3，∵令x＝0，得y＝3，∴C(0,3)．∴OC＝OA＝3，则△AOC为等腰直角三角形．∴∠CAB＝45°.∴cos∠CAB＝22.在Rt△BOC中，由勾股定理得：BC＝12＋32＝10.如图D41所示，连接O1B，O1C，由圆周角定理得：∠BO1C＝2∠BAC＝90°.∴△BO1C为等腰直角三角形．∴⊙O1的半径O1B＝22BC＝22×10＝5.图D41图D42(3)抛物线y＝x2＋4x＋3＝(x＋2)2－1，∴顶点P坐标为(－2，－1)，对称轴为x＝－2.又∵A(－3,0)，B(－1,0)，可知点A，B关于对称轴x＝2对称．如图D42所示：由圆及抛物线的对称性可知：点D，点C(0,3)关于对称轴对称，∴D(－4,3)．又∵点M为BD中点，B(－1,0)，∴M－52，32.∴BM＝－52－－12＋322＝322.在△BPC中，B(－1,0)，P(－2，－1)，C(0,3)，由两点间的距离公式得：BP＝2，BC＝10，PC＝25.∵△BMN∽△BPC，∴BMBP＝BNBC＝MNPC，即3222＝BN10＝MN25.解得：BN＝3210，MN＝35.设N(x，y)，由两点间的距离公式可得：x＋12＋y2＝32102，x＋522＋y－322＝352，解之得，x1＝72，y1＝32，x2＝12，y2＝－92.∴点N的坐标为72，－32或12，－92.18．(1)证明：∵二次函数y＝mx2＋nx＋p图象的顶点横坐标是2，∴抛物线的对称轴为x＝2，即－n2m＝2，化简得：n＋4m＝0.(2)解：∵二次函数y＝mx2＋nx＋p与x轴交于A(x1,0)，B(x2,0)，x1＜0＜x2，∴OA＝－x1，OB＝x2；x1＋x2＝－nm，x1·x2＝pm.令x＝0，得y＝p，∴C(0，p)．∴OC＝|p|.由三角函数定义得：tan∠CAO＝OCOA＝|p|－x1＝－|p|x1，tan∠CBO＝OCOB＝|p|x2.∵tan∠CAO－tan∠CBO＝1，即－|p|x1－|p|x2＝1，化简得：x1＋x2x1·x2＝－1|p|.将x1＋x2＝－nm，x1·x2＝pm代入得：－nmpm＝－1|p|，化简得：n＝p|p|＝±1.由(1)知n＋4m＝0，∴当n＝1时，m＝－14；当n＝－1时，m＝14.∴m，n的值为：m＝14，n＝－1(此时抛物线开口向上)或m＝－14，n＝1(此时抛物线开口向下)．(3)解：由(2)知，当p＞0时，n＝1，m＝－14，∴抛物线解析式为：y＝－14x2＋x＋p.联立抛物线y＝－14x2＋x＋p与直线y＝x＋3解析式得到：－14x2＋x＋p＝x＋3，化简得：x2－4(p－3)＝0.∵二次函数图象与直线y＝x＋3仅有一个交点，∴一元二次方程根的判别式等于0，即△＝02＋16(p－3)＝0，解得p＝3.∴抛物线解析式为：y＝－14x2＋x＋3＝－14(x－2)2＋4.当x＝2时，二次函数有最大值，最大值为4.∴当p＞0且二次函数图象与直线y＝x＋3仅有一个交点时，二次函数的最大值为4.20．解：(1)在y＝－38x2－34x＋3中，令y＝0，即－38x2－34x＋3＝0，解得x1＝－4，x2＝2.∵点A在点B的左侧，∴A，B点的坐标为A(－4,0)，B(2,0)．(2)由y＝－38x2－34x＋3得，对称轴为x＝－1.在y＝－38x2－34x＋3中，令x＝0，得y＝3.∴OC＝3，AB＝6，SΔACB＝12AB·OC＝12×6×3＝9.在Rt△AOC中，AC＝OA2＋OC2＝42＋32＝5，∴sin∠OCA＝45.设△ACD中AC边上的高为h，则有12AC·h＝9，解得h＝185.如图D47，在坐标平面内作直线平行于AC，且到AC的距离h＝185，这样的直线有2条，分别是L1和L2，则直线与对称轴x＝－1的两个交点即为所求的点D.图D47设L1交y轴于点E，过点C作CF⊥L1于点F，则CF＝h＝185，∴CE＝CFsin∠CEF＝CFsin∠OCA＝18545＝92.设直线AC的解析式为y＝kx＋b，将点A(－4,0)，点C(0,3)坐标代入，得－4k＋b＝0，b＝3，解得k＝34，b＝3.∴直线AC解析式为y＝34x＋3.直线L1可以看做直线AC向下平移CE长度单位92个长度单位而形成的，∴直线L1的解析式为y＝34x＋3－92＝34x－32.则D1的纵坐标为34×()－1－32＝－94.∴D1－1，－94.同理，直线AC向上平移92个长度单位得到L2，可求得D2－1，274.(3)如图D48，以AB为直径作⊙F，圆心为F.过E点作⊙F的切线，这样的切线有2条．图D48连接FM，过M作MN⊥x轴于点N.∵A(－4,0)，B(2,0)，∴F(－1,0)，⊙F半径FM＝FB＝3.又FE＝5，则在Rt△MEF中，ME＝52－32＝4，sin∠MFE＝45，cos∠MFE＝35.在Rt△FMN中，MN＝FN·sin∠MFE＝3×45＝125，FN＝FM·cos∠MFE＝3×35＝95，则ON＝45，∴M点坐标为45，125.直线l过M45，125，E(4,0)，设直线l的解析式为y＝k1x＋b1，则有45k＋b＝125，4k＋b＝0，解得k＝－34，b＝3.∴直线l的解析式为y＝－34x＋3.同理，可以求得另一条切线的解析式为y＝34x－3.综上所述，直线l的解析式为y＝－34x＋3或y＝34x－3.