2015年-高考试卷及答案解析-数学-理科-福建(精校版)

2015年普通高等学校招生全国统一考试（福建理）一.选择题：本小题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.若集合234,,,Aiiii（i是虚数单位），1,1B，则ABI等于（）A.1B.1C.1,1D.2.下列函数为奇函数的是（）A.yxB.sinyxC.cosyxD.xxyee3.若双曲线22:1916xyE的左、右焦点分别为12,FF，点P在双曲线E上，且13PF，则2PF等于（）A.11B.9C.5D.34.为了解某社区居民的家庭年收入所年支出的关系，随机调查了该社区5户家庭，得到如下统计数据表：收入x（万元）8.28.610.011.311.9支出y（万元）6.27.58.08.59.8根据上表可得回归直线方程ˆˆˆybxa，其中ˆˆˆ0.76,baybx，据此估计，该社区一户收入为15万元家庭年支出为（）A.11.4万元B.11.8万元C.12.0万元D.12.2万元5.若变量,xy满足约束条件20,0,220,xyxyxy则2zxy的最小值等于（）A.52B.2C.32D.26.阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出的结果为（）A.2B.1C.0D.-17.若,lm是两条不同的直线，m垂直于平面，则“lm”是“//l”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件8.若,ab是函数20,0fxxpxqpq的两个不同的零点，且,,2ab这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则则pq的值等于（）A.6B.7C.8D.99.已知1,,ABACABACttuuuruuuruuuruuur，若点P是ABC所在平面内一点，且4ABACAPABACuuuruuuruuuruuuruuur，则PBPCuuruuur的最大值等于（）A.13B.15C.19D.2110.若定义在R上的函数fx满足01f，其导函数fx满足1fxk，则下列结论中一定错误的是（）A.11fkkB.111fkkC.1111fkkD.111kfkk二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分。把答案填在答题卡的相应位置。11.52x的展开式中，2x的系数等于_____.（用数字作答）12.若锐角ABC的面积为103，且5,8ABAC，则BC等于_____.13.如图，点A的坐标为1,0，点C的坐标为2,4，函数2fxx，若在矩形ABCD内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等于_____.14.若函数6,2,3log,2,axxfxxx（0a且1a）的值域是4,，则实数a的取值范围是_____.15.一个二元码是由0和1组成的数字串*12nxxxnNL，其中1,2,,kxknL称为第k位码元，二元码是通信中常用的码，但在通信过程中有时会发生码元错误（即码元由0变为1，或者由1变为0）已知某种二元码127xxx的码元满足如下校验方程组：4567236713570,0,0,xxxxxxxxxxxx其中运算定义为：000,011,101,110其中运算定义为：00=0，01=1,10=1,11=0现已知一个这种二元码在通信过程中仅在第k位发生码元错误后变成了1101101，那么利用上述校验方程组可判定k等于_____.三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16．（本小题满分13分）某银行规定，一张银行卡若在一天内出现3次密码尝试错误，该银行卡将被锁定，小王到银行取钱时，发现自己忘记了银行卡的密码，但是可以确定该银行卡的正确密码是他常用的6个密码之一，小王决定从中不重复地随机选择1个进行尝试.若密码正确，则结束尝试；否则继续尝试，直至该银行卡被锁定.(1)求当天小王的该银行卡被锁定的概率；(2)设当天小王用该银行卡尝试密码次数为X，求X的分布列和数学期望.17.（本小题满分13分）如图，在几何体ABCDE中，四边形ABCD是矩形，AB丄平面BEG，BEEC，2,,ABBEECGF分别是线段,BEDC的中点.(1)求证：GF//平面ADE(2)求平面AEF与平面BEC所成锐二面角的余弦值.18.(本小题满分13分)已知椭圆E：22221(a0)xybab过点(0,2），且离心率为22e.(1)求椭圆E的方程；(2)设直线:1lxmymR交椭圆E于,AB两点，判断点9(4G-,0)与以线段AB为直径的圆的位置关系，并说明理由.19.（本小题满分13分）已知函数()fx的图像是由函数()cosgxx的图像经如下变换得到：先将()gx图像上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变），再将所得到的图像向右平移2个单位长度.(1)求函数()fx的解析式，并求其图像的对称轴方程；(2)已知关于x的方程()g()fxxm在0,2内有两个不同的解,①求实数m的取值范围；②证明：22cos15m20.（本小题满分14分）已知函数()ln(1)fxx，gxkxxR(1)证明：当0x时，fxx；(2)证明：当1k时，存在00x,使得对任意的0,xt恒有()()fxgx；(3)确定k的所以可能取值，使得存在0t，对任意的0,xt，恒有2|()()|fxgxx.21.本题设有三个选考题，每题7分，请考生任选2题作答.满分14分，如果多做，则按所做的前两题计分，作答时，先用2B铅笔在答题卡上吧所选题目对应题号右边的方框涂黑，并将所选题号填入括号中。（1）（本小题满分7分）选修4-2：矩阵与变换已知矩阵2111,4301AB(1)求A的逆矩阵1A；(2)求矩阵C，使得ACB.（2）（本小题满分7分）选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xoy中，圆C的参数方程为13cos23sinxtyt（t为参数）在极坐标系（与平面直角坐标系xoy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴非负半轴为极轴）中，直线l的方程为2sin4mmR①求圆C的普通方程及直线l的直角坐标方程；②设圆心C到直线l的距离等于2，求m的值.（3）（本小题满分7分）选修4-5：不等式选讲已知0,0,0abc，函数fxxaxbc的最小值为4.(1)求abc的值;(2)求2221149abc的最小值为.2015年普通高等学校招生全国统一考试答案（福建理）1.答案：C解析：因为,1,,1Aii，1,1B，所以1,1ABI，故选C.2.答案：D解析：yx的定义域为[0,),所以函数yx为非奇非偶函数；sinyx与cosyx;,xxyfxeexRfxfx,xxyee，故选D.3.答案：B解析：138PFac,P2126PFPFa,29PF故选B.4.答案：B5.答案：A试题分析：画出可行域，如图所示，目标函数变形为，当最小时，直线的纵截距最大，故将直线经过可行域，尽可能向上移到过点时，取到最小值，最小值为，故选A．6.答案：C试题分析：程序在执行过程中的值依次为：；；；；；，程序结束，输出，故选C．7.答案：B8.答案：D试题分析：由韦达定理得，，则，当适当排序后成等比数列时，必为等比中项，故，．当适当排序后成等差数列时，必不是等差中项，当是等差中项时，，解得，；当是等差中项时，，解得，，综上所述，，所以，选D．9.答案：A10.答案：C2yxzz2yxz2yx1(1,)2Bz152(1)22z,Si0,1Si0,2Si1,3Si1,4Si0,5Si0,6Si0Sabpabq0,0ab,,2ab24abq4ba2a422aa1a4b4a82aa4a1b5abppq911.答案：80试题分析：的展开式中项为，所以的系数等于．12.答案：7试题分析：由已知得的面积为，所以，，所以．由余弦定理得，．13.答案：512试题分析：由已知得阴影部分面积为．所以此点取自阴影部分的概率等于．14.答案：(1,2]15.答案：516.解析：（1）设“当天小王的该银行卡被锁定”的事件为A，52x2x2325280Cx2x80ABC1sin20sin2ABACAA1033sin2A(0,)2A3A2222cosBCABACABACA497BC221754433xdx553412则5431()=6542PA（2）依题意得，X所有可能的取值是1，2，3又1511542(=1),(=2),(=3)1=.6656653PXPXPX所以X的分布列为所以1125()1236632EX.17.解析：(1)如图，取AB中点M，连接,MGMF，由G是BE的中点，可知GM//AE，∵AE平面ADE，GM平面ADE，∴GM//平面ADE.在矩形ABCD中，由,MF分别是,ABCD的中点得MF//AD．又AD平面ADE，MF平面ADE.∴MF//平面ADE．又∵GMMFMI，GM平面GMF，平面MFC//平面GMF.∴平面GMF//平面ADE，∵GF平面GMF，∴GF//平面ADE(2)如图，在平面BEG内，过点B作BQ//EC,因为BE丄CE,∴BQ丄BE又∵AB丄平面BEC，∴,ABBEABBQ以B为原点，分别以,,BEBQBAuuuruuuruur的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系，则0,0,2,0,0,0,2,0,0,2,2,1ABEF∵AB丄平面BEC，∴A=(B0,0,2)uuur为平面BEC的法向量，设(x,y,z)nr为平面AEF的法向量.又AE(2,0,-2)AF=(2,2,-1)，uuuruur由AE0AF0nnruuurruur，，得220,220,xzxyz取2z得=(2,-1,2)nr.从而A42cos,A=,323|||A|nBnBnBruuurruuurruuur∴平面AEF与平面BEC所成锐二面角的余弦值为23.18.解析：(1)由已知得222222bcaabc解得222abc所以椭圆E的方程为22142xy.(2)设点1122(y),B(,y),AxxAB中点为00H(,y)x.由221142xmyxy得22(m2)y230,my∴12122223y+y=,yy=m2m2m，从而022ym2.∴222222200000095525GH|()y(my)y(m+1)y+my+44216x.22222121212|AB|()(y)(m+1)(y)444xxyy22221212012(m+1)[(y)4y](m+1)(yy)4yyy,故222222012222|AB|52553(m+1)25172|GH|my(m+1)y042162(m2)m21616(m2)mmy所以|AB||GH|2，故9(4G-,0)在以AB为直径的圆外.19.解析：(1)将()cosgxx的图像上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变）得到y2cosx的图像，再将y2cosx的图像向右平移2个单位长度后得到y2co