2015年1月上海市杨浦区高三数学(理科)一模试卷及参考答案

第1页共7页2015年1月上海市杨浦区高三数学(理科)一模试卷考生注意：1.本次测试有试题纸和答题纸，解答必须在答题纸上，写在试题纸上的解答无效．2.答卷前，考生务必在答题纸上将姓名、学校、考试号，以及试卷类型等填写清楚，并在规定区域内贴上条形码．3.本试卷共有16道试题，满分150分．考试时间120分钟．一、填空题（54分）本大题共有9题，要求在答题纸相应题序的空格内直接填写结果，每个空格填对得6分，否则一律得零分．1．若复数i21i2a（i是虚数单位）是纯虚数，则实数a．2．若)(xf为R上的奇函数，当0x时，)2(log)(2xxf，则)2()0(ff．3．设定点)1,0(A，若动点P在函数)0(2xxxy图像上，则PA的最小值为．4．用数字“1,2”组成一个四位数，则数字“1,2”都出现的四位偶数有个．5．设Nn，圆122141:()(1)41nnnCxyn的面积为nS，则nnSlim．6．在RtABC中，3ACAB，,MN是斜边BC上的两个三等分点，则AMAN的值为．7．设函数)sin(215)(xxf，若存在)1,1(0x同时满足以下条件：①对任意的Rx，都有)()(0xfxf成立；②22200[()]xfxm，则m的取值范围是．8．若不等式21xxa的解集是区间33，的子集，则实数a的取值范围为．9．关于曲线1:34yxC，给出下列四个结论：①曲线C是双曲线；②关于y轴对称；③关于坐标原点中心对称；④与x轴所围成封闭图形面积小于2．则其中正确结论的序号是．（注：把你认为正确结论的序号都填上）二、选择题（18分）本大题共有3题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把答题纸上相应题序内的正确结论代号涂黑，选对得6分，否则一律得零分.10．“2a”是“关于yx,的二元一次方程组1)1(32yaxyax有唯一解”的【】A．必要不充分条件；B．充分不必要条件；第2页共7页C．充要条件；D．既不充分也不必要条件．11．已知等比数列}{na前n项和为nS，则下列一定成立的是【】A．若30a，则20150a；B．若40a，则20140a；C．若30a，则20150S；D．若40a，则20140S．12．对于集合A，定义了一种运算“”，使得集合A中的元素间满足条件：如果存在元素eA，使得对任意Aa，都有eaaea，则称元素e是集合A对运算“”的单位元素．例如：RA，运算“”为普通乘法；存在R1，使得对任意Ra，都有11aaa，所以元素1是集合R对普通乘法的单位元素．下面给出三个集合及相应的运算“”：①RA，运算“”为普通减法；②A{mnmnAA表示mn阶矩阵，N,Nnm}，运算“”为矩阵加法；③AXXM（其中M是任意非空集合），运算“”为求两个集合的交集．其中对运算“”有单位元素的集合序号为【】A．①②；B．①③；C．①②③；D．②③．三、解答题（本题满分78分）本大题共有4题，解答下列各题必须在答题纸的规定区域（对应的题号）内写出必要的步骤．13．（本题满分18分，第（1）小题9分，第（2）小题9分）请仔细阅读以下材料：已知()fx是定义在(0,)上的单调递增函数．求证：命题“设R,ba，若1ab，则)1()1()()(bfafbfaf”是真命题．证明因为R,ba，由1ab得01ba．又因为()fx是定义在(0,)上的单调递增函数，于是有)1()(bfaf．①同理有)1()(afbf．②由①+②得)1()1()()(bfafbfaf．故，命题“设R,ba，若1ab，则)1()1()()(bfafbfaf”是真命题．请针对以上阅读材料中的()fx，解答以下问题：第3页共7页（1）试用命题的等价性证明：“设R,ba，若11()()()()fafbffab，则：1ab”是真命题；（2）解关于x的不等式11()(2)()(2)xxxxfaffaf（其中0a）．14．（本题满分20分，第（1）小题6分，第（2）小题6分，第（3）小题8分）如图，在海岸线EF一侧有一休闲游乐场，游乐场的前一部分边界为曲线段FGBC，该曲线段是函数sin()(0,0,(0,))yAxA，[4,0]x的图像，图像的最高点为(1,2)B．边界的中间部分为长1千米的直线段CD，且CDEF∥．游乐场的后一部分边界是以O为圆心的一段圆弧．（1）求曲线段FGBC的函数表达式；（2）曲线段FGBC上的入口G距海岸线EF最近距离为1千米，现准备从入口G修一条笔直的景观路到O，求景观路GO长；（3）如图，在扇形ODE区域内建一个平行四边形休闲区OMPQ，平行四边形的一边在海岸线EF上，一边在半径OD上，另外一个顶点P在圆弧上，且POE，求平行四边形休闲区OMPQ面积的最大值及此时的值．15．（本题满分20分，第（1）小题6分，第（2）小题7分，第（3）小题7分）已知12,FF分别是椭圆2222:1(0,0)xyCabab的左、右焦点，椭圆C过点(3,1)且与抛物线28yx有一个公共的焦点．（1）求椭圆C方程；（2）斜率为k的直线l过右焦点2F，且与椭圆交于BA,两点，求弦AB的长；（3）P为直线3x上的一点，在第（2）题的条件下，若△ABP为等边三角形，求直线l的方程．16．（本题满分20分，第（1）小题6分，第（2）小题6分，第（3）小题8分）设数列na满足：①11a；②所有项Nna；③1211nnaaaa．设集合N,|mmanAnm，将集合mA中的元素的最大值记为mb．换句话说，mb是数列na中满足不等式man的所有项的项数的最大值．我们称数列nb为数列na的Cy2-1MEQPOxDBGF(-4,0)第4页共7页伴随数列．例如，数列1,3,5的伴随数列为1,1,2,2,3．（1）若数列na的伴随数列为1,1,1,2,2,2,3，请写出数列na；（2）设13nna，求数列na的伴随数列nb的前100之和；（3）若数列na的前n项和23122nSnnc（其中c常数），试求数列na的伴随数列nb前m项和mT．理科答案一．填空题：4.1；2.2；3.2；7.4；4.5；4.6；),2()2,.(7；8.(,5]；9.②④二．选择题：10.11.12.ACD三．解答题：13.解：（1）原命题与原命题的逆否命题是等价命题.原命题的逆否命题：设Rba,，若1ab，则：11()()()()fafbffab……4分下面证明原命题的逆否命题为真命题：因为Rba,，由1ab得：10ab，…………………………1分又()fx是定义在(0,)上的单调递增函数所以1()()fafb…………（1）…………………………1分同理有：1()()fbfa…………（2）…………………………1分由（1）+（2）得：11()()()()fafbffab…………………………1分所以原命题的逆否命题为真命题所以原命题为真命题.…………………………1分（2）由（1）的结论有：121xxa，即：(2)xaa………………………3分①当21a时，即12a时，不等式的解集为：2(log,)aa……………2分②当021a时，即102a时，不等式的解集为：2(,log)aa………2分③当21a时，即12a时，不等式的解集为：R……………2分14.解：（1）由已知条件，得2,A……………………………1分第5页共7页又∵23,12,46TT……………………………2分又∵当1x时，有22sin()263y……2分∴曲线段FBC的解析式为22sin(),[4,0]63yxx．………1分（2）由22sin()163yx得6(1)4()kxkkZ…………2分又[4,0]0,3(3,1)xkxG…2分10OG……………………1分∴景观路GO长为10千米……………1分(3)如图，3,1,2,6OCCDODCOD……………………………………1分作xPP1轴于1P点，在1OPPRt中，sin2sin1OPPP……………1分在OMP中，)60sin(120sin00OMOP…………………1分∴sin332cos2)60sin(34120sin)60sin(000OPOM……………1分sin2)sin332cos2(1PPOMSOMPQ平行四边形…………………1分2sin334cossin43322cos3322sin2332)62sin(334)3,0(…………………2分当262时，即6时：平行四边形面积最大值为332…………………1分15.解（1）由题意得1(2,0)F2c…………………2分又223114aa，得，428120aa，解得26a或22a（舍去），…………………2分则22b，…………1分故椭圆方程为22162xy．…………………1分（2）直线l的方程为(2)ykx．…………………1分联立方程组22(2),1.62ykxxyCP1y2-1MEQPOxDBGF(-4,0)第6页共7页消去y并整理得2222(31)121260kxkxk．…………………3分设11(,)Axy，22(,)Bxy．故21221231kxxk，212212631kxxk．…………………1分则]4))[(1(1212212212xxxxkxxkAB2226(1)31kk．…2分（3）设AB的中点为00(,)Mxy．可得202631kxk，…………………1分02231kyk．…………………1分直线MP的斜率为1k，又3Px，所以220222113(1)1(31)PkkMPxxkkk．…………………2分当△ABP为正三角形时，ABMP23，可得22222213(1)326(1)(31)231kkkkkk，…………………1分解得1k．…………………1分即直线l的方程为20xy，或20xy．…………………1分16.解：（1）1,4,7．………………6分（2）由13nnam，得*31log()nmmN∴当*12,mmN时，121bb…………………………1分当*38,mmN时，3482bbb…………………1分当*926,mmN时，910263bbb…………………1分当Nmm,8027时，4802827bbb……………1分当Nmm,10081时，51008281bbb……………1分∴384205544183622110021bbb…………1分（3）∵1111aSc∴0c…………………1分当2n时，132nnnaSSn∴*32()nannN…………………2分由32nanm得：*2()3mnmN因为使得nam成立的n的最大值为mb，所以*123456323131,2,,()tttbbbbbbbbbttN……1分当*32()mttN时：第7页共7页21(1)313(1)(1)(2)226mtttTttmm…………………1分当*31()mttN时：21(