机械振动学习题解答(一).

《机械振动学》习题解答（一）2013-04-191－4一简谐振动频率为10Hz，最大速度为4.57m/s，求其振幅、周期和最大加速度。解：简谐振动的位移速度速度幅值加速度加速度幅值由题意，所以，圆频率振幅周期最大加速度()sin()nxtAt()cos()nnxtAt2()sin()nnxtAtmaxnxA2maxnxAmax10Hz,4.57m/snfxmax0.072734mnxA1/0.1snTf22maxmax287.14m/snnxAx220nnf1－6一台面以一定频率作垂直正弦运动，如要求台面上的物体保持与台面接触，则台面的最大振幅可有多大？解：对物体受力分析要使物体保持与台面接触，必须N≥0，即所以又由于所以xmgNmxNmgmgmx2maxnxA2/nAg物体台面maxxg1－7计算两简谐运动和之和。其中εω。如发生拍的现象，求其振幅和拍频。解：当εω时，拍振的振幅为2X，拍频为（不是）课本p.6tXxcos12cosxXt1222cos()cos()22xxXtt122cos()cos2xxXtt可变振幅12=80=4510cos(2)cos(80)Xxxtt例：当，，时，2f振幅为10拍频为2Hz拍的周期为0.5s（不是1s）400.511.52-1001010cos(2)t可变振幅拍振的振幅为（假设X2较小），拍频为补充若两简谐运动振幅和频率都不同：12121222122122coscos()coscoscoscos()cos2coscos2coscos22xxxXtXtXtXtXtXtXXtXttXXXtt4f振幅为13拍频为1Hz122()2cos2AtXXXtmaxmin22AAX可变振幅00.511.52-130131212=80=485310cos(2)cos(80)XXxxtt例：当，，，时，310cos(2)t2－2如图所示，长度为L、质量为m的均质刚性杆由两根刚度为k的弹簧系住，求杆绕O点微幅振动的微分方程。解：（力法）假设杆顺时针偏转了θ角，则杆受到重力mg和弹簧弹力F产生的力矩（均为逆时针方向）,其中F为两边弹簧弹力之和由动量矩定理得又由于上式可化简为2sin2LFkmgFθiiJT2cossin322mLLLFmg1cos,sin0223kLmgm（能量法）设系统处于静平衡位置时势能为0。当杆顺时针偏转θ角时势能动能由能量守恒原理化简得θcos122sin2212LmgLkU23221221mLJV032sin222mLLmgkL0223kLmgm0)(VUdtd列系统微分方程的一般步骤力法1）设系统相对于平衡位置发生了广义位移x（或θ）；2）分析系统受到的所有力（或力矩）；3）由牛顿第二定律（或动量矩定理）列方程。能量法1）设系统相对于平衡位置发生了广义位移x（或θ）；2）写出系统势能U（包括重力势能mgh和弹簧弹性势能），动能V=（或），耗散能P：3）由能量守恒原理列方程。iF()0dUVPdtiTiiFmxiiTJ212kx212mx212J2dPcxdt2－5求图示弹簧－质量－滑轮系统的振动微分方程。解：（力法）静平衡时有：（Δ为弹簧的伸长量）假设弹簧相对于平衡位置伸长x，则圆盘沿逆时针方向转过x/r角质量m圆盘M联立得mgFxM,rkmgkmxmgF2()2MrxFrkxrr02kxxmM考虑若假设弹簧相对于平衡位置缩短x，会如何？FF’（能量法）设系统处于静平衡位置时势能为0，当弹簧相对于平衡位置伸长x时势能动能由能量守恒原理化简得221221221221kxmgxkxkxmgxkxkUmxM,rk22122221xmrxMrV0)(VUdtd02kxxmMkmg静平衡关系注意：重物和弹簧满足可见，计算势能时，若系统静平衡时已有弹簧发生静变形，则参与静平衡的质量的重力势能恰好与弹簧静变形的弹性势能抵消，可以不写。解：（力法）静平衡时（假设此时弹簧被压缩，即m3的力矩大于m1的力矩）假设L2杆顺时针旋转θ角由动量矩定理化简得232434343322112433222211cLLLkLLkLLgmgLmgLmLLmLmLm2－6图示系统垂直放置，L2杆处于铅垂位置时系统静平衡，求系统作微振动的微分方程。（刚性杆质量忽略）TJ1143433gLmLLkLLgm222221122334322340mLmLmLLcLmgLkLL注：阻尼元件的耗散能等于阻尼力所做的功，即所以（能量法）设系统处于静平衡位置时势能为0势能动能耗散能由能量守恒原理化简得223cLPdtd0PVUdtd222221122334322340mLmLmLLcLmgLkLL0xPcxdx2dPdPdxcxxcxdtdxdtm1和m3参与静平衡，重力势能抵消了弹簧静变形的势能。2221122334111()()[()]222VmLmLmLL234221[()](1cos)2UkLLmgL2－7求图示系统的振动微分方程。（刚性杆质量忽略）解：（能量法）设系统处于静平衡位置时势能为0动能势能由能量守恒原理化简得2221221122raUkkrb0)(VUdtdm1参与静平衡，重力势能抵消了弹簧k1和k2静变形的势能。22222211122220aJMrmrkrkrb圆盘转动圆盘平动质量块平动2－11求图所示系统对于广义坐标x的等效刚度。解：对小车m沿x方向施加作用力F，使小车产生位移x。则弹簧k1伸长，弹簧k2伸长。小车受力其中所以等效刚度cosx/axb112222222cos//FkxFbFakaxbaFkxab22212/cos/ekFxkkab12cosFFF2FF2FF1F22－12一质量为m、长度为L的均匀刚性杆，在距左端O为nL处设一支承点，如图所示。求杆对O点的等效质量。解：设弹簧k以速度发生变形，则杆的质心的运动速度为于是系统动能：而等效系统的动能：由Ve=V，得绕质心转动随质心平动x222221111122221222ccmLxnVJmxmxnLn2122LcnLnxxxnLn212eeVmx21113emmnn2－13如图所示，悬臂梁长度为L，弯曲刚度为EI，质量不计。求系统的等效刚度和等效质量。解：当悬臂梁在自由端受到弯曲力F时，自由端的位移为，所以悬臂梁自由端的等效刚度为333kLEIEIkbkkbkkek3333//LEIEIFLFxFbk而系统的等效刚度相当于悬臂梁的等效刚度与弹簧k串联系统的等效质量emm33FLxEI计算系统等效刚度、等效质量的方法1）计算等效刚度的原则是利用等效前后系统弹性势能不变。但通常只需根据刚度的定义即可算出。即：在质量上施加外力F，使其发生位移x，则ke=F/x。2）计算等效质量的原则是利用等效前后系统动能不变。即：令弹簧以速度发生变形，3）计算系统等效刚度时，也可“分部”计算，即：把系统分成几个部分，计算每部分的等效刚度，再把各个刚度串联或并联起来。x3－1如图所示，设杆a和杆b为质量和转动惯矩可忽略的刚性杆，并能在图示平面内自由移动和转动。求质量m上、下振动的固有频率。解：在a点施加竖直作用力Fa，使其产生位移xa，并设此时k1变形x1，k2变形x2。由杆a受到的力矩平衡，知。所以a点等效刚度12/2axxx112222121222122114/2//2aaaFkxkxkxkkkxxxkxkx33123111111144aakkkkkk1122kxkxka与k3串联后的等效刚度为b点的等效刚度计算与a点类似：于是质量m的固有频率/nbkm3412341111114444bakkkkkkk3－3如图所示，一长度为L、质量为m的均匀刚性杆铰接在O点，并以弹簧和粘性阻尼器支承。求：(1)系统作微振动的微分方程；(2)系统的无阻尼固有频率；(3)系统的临界阻尼。解：(1)（力法）化简得(2)(3)根据临界阻尼时的条件得到注意：临界阻尼是指阻尼元件c的临界值，不是系统阻尼项的临界值。3－5如图所示，质量为m1的重物悬挂在刚度为k的弹簧上并处于静平衡位置，质量为m2的重物从高度为h处自由降落到m1上而无弹跳，求系统的运动规律。解：系统的运动规律为简谐振动：且系统位于平衡位置处的弹簧伸长量所以系统的初始位移，即m1单独悬挂时的弹簧伸长量减去平衡位置处弹簧伸长量而系统的初始速度可根据两物体接触瞬间所满足的动量定理得到m2m1k210mgcxkkmmghmxc21220221mmk12/mmgk21202mghmmx5－2一振动系统具有下列参数：质量m=17.5kg，弹簧刚度k=70.0N/cm，粘性阻尼系数c=0.70Ns/cm。求：(1)阻尼比ζ；(2)有阻尼固有频率；(3)对数衰减率；(4)任意二相临振幅比值。解：(1)(2)(3)(4)1.070005.17270,2cccmkcc)/(9.195.17700001.0121sradnd631.021211.879nnxex5－4带粘性阻尼的单自由度系统，等效质量m=5kg，等效刚度k=10kN/m，其任意两相邻振幅比为1：0.98，求：(1)系统的有阻尼固有频率；(2)对数衰减率；(3)阻尼系数c；(4)阻尼比ζ．解：(2)由得(4)由得(1)(3)0204.198.0:11enxnx2120032.02242)/(7.445100000032.0121sradndmsNkmccc/43.12对数衰减率：时间-位移曲线上两相邻极大值之比再取对数。0202.00204.1ln