2013年四川初中(初二组)数学联赛决赛试卷及其解析

2013年四川初中数学联赛（初二组）决赛试卷及其解析（考试时间：2013年3月24日上午8:45—11:15）一、选择题（本大题满分42分，每小题7分）1、设13x，则13xx的最大值与最小值的和（）（A）0（B）1（C）2（D）3解析：由条件13x，可得1324xxx，当1x，得最小值-2，当3x，得最大值2，故选A2、设5x，y是不超过x的最大整数，求1xy=（）（A）52（B）52（C）51（D）51解析：易得2y，代入代数式经分母有理化得52，故选B.3、如图，已知在四边形ABCD中，∠ACB=∠BAD=105°，∠ABC=∠ADC=45°，则∠CAD=（）（A）65°（B）70°（C）75°（D）80°解析：此题由三角形内角和及角的构成容易得，答案为C.4、由1、2、4分别各用一次，组成一个三位数，这样的三位数中是4的倍数的三位数共有（）（A）1个（B）2个（C）3个（D）4个解析：是4的倍数必然个位数不能是1，再将124、142、214、412试除以4，便可得答案为B.5、已知：,,xyz为三个非负实数，且满足325231xyzxyz，设37sxyz，则s的最大值是（）（A）111（B）111（C）57（D）75解析：由方程组解出73711xzyz，由,xy非负实数，可解得37711z，∵373(73)711732sxyzzzzz，取711z代入即可求得，答案为A6、如图，∠DAP=∠PBC=∠CDP=90°，AP=PB=4，AD=3，则BC的长是（）（A）323（B）16（C）413（D）412解析：延长DP交CB延长线于点E，如图，由三角形全等可证PE=DP,AD=BE，由勾股定理可求DP=5，故DE=10，再由DCBADPCBAEDPCBA△EBP∽△EDC，可得EBEPEDEC,求得EC=503，BC=EC-EB=503-3=413，答案C二、填空题（本大题满分28分，每小题7分）1、关于x的不等式组3361xxax的解是13x，则a的值是解析：解不等式组得313ax，故33,123aa2、如果281pp与都是质数，则p解析：考虑到是初二竞赛，试值可求得P=33、设,xy为两个不同的非负整数，且213xyxy，则xy的最小值是解析：∵,xy为两个不同的非负整数，∴0213x，故x取0~6的整数，代入再求符合条件的y，符合条件的整数解只有024,,1331xxxyyy三组，故xy的最小值为5.4、如图，已知ABCD为正方形，△AEP为等腰直角三角形，∠EAP=90°，且D、P、E三点共线，若EA=AP=1，PB=5，则DP=解析：连结BE，易证△AEB≌△APD，故PD=EB，∠APD=∠AEB。∵△AEP为等腰直角三角形，∠EAP=90°∴∠AEP=∠APE=45°∴∠APD=135°故∠AEB=135°∴∠PEB=∠AEB-∠AEP=135°-45°=90°可求PE=2,再由勾股定理可求得BE=3,所以PD=3三、（本大题满分20分）设实数k满足01k，解关于x的分式方程22111kkxxxx解∵22111kkxxxx∴221(1)(1)(1)(1)kxkxxxxxxx∴21(1)(1)kxkx…………………………………………………………5分∴(1)kxk，又∵01kEPBCDAEPBCDA∴1kxk…………………………………………………………10分当12k时，1x为增根，原方程无解………………………………………15分当01k且12k时，原方程的解是1kxk…………………………………20分四、（本大题满分25分）已知一次函数(0)ykxbk的图像与x轴的正半轴交于E点，与y轴的正半轴交于F点，与一次函数21yx的图像相交于A(m,2)，且A点为EF的中点.（1）求一次函数ykxb的表达式；（2）若一次函数21yx的图像与x轴相交于P点，求三角形APE的面积。解析：∵函数21yx过点A(m,2)∴32mA点坐标3(,2)2……………………5分∵A3(,2)2点为EF的中点.∴E（3,0）F（0,4）………………………………10分∴一次函数解析式为443yx……………………………………………15分∵一次函数21yx的图像与x轴相交于P点，∴P1(,0)2………………………………20分如图：所以PE=52，PE边上的高为2，∴5152222S…………………………………25分五、（本大题满分25分）如图，已知AB=AC,∠BAC=∠CDE=90°，DC=DE，F是BE的中点，求证：FA=FD且FA⊥FD解析：连结AF、DF，并延长AF至G，使FG=AF,连结DG、EG∵BFEFAFBGFEFGFA∴△AFB≌△GFE∴AB=GE,∠B=∠FEG……………………5分BOPAFEyx∵ABED为四边形，且∠BAC=∠CDE=90°，∴∠B+∠FED+∠CAD+∠CDA=180°，又∵∠C+∠CAD+∠CDA=180°∴∠C=∠B+∠FED=∠FEG+∠FED=∠GED………………10分又因为GE=AB=AC,CD=ED∴△ACD≌△GED…………………………………15分∴AD=GD，∠ADC=∠GDE而AF=GF∴AF⊥DF…………………………………20分又∵∠GDE+∠GDC=∠CDE=90°∴∠ADC+∠GDC=90°即∠ADG=90°∴DF=AF…………………………………25分