2015年保定市高考数学一模试题及详解

2015年保定市第一次高考模拟考试理科数学(A卷)（命题人：李红敏孙国营审定人：冯振好华文杰王英陈云平）注意事项：1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。写在本试卷上无效。3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。4.考试结束后，将答题卡交回。1.已知集合A＝{1，2，3，4}，n,nBxxA，则A∩B的子集个数是A.2B.3C.4D.16解析：集合1232B，，，，所以{}12ABI＝，，故A∩B的子集个数为4.(文)已知集合A＝{1，2，3，4}，n,nBxxA，则A∩B=A.{1,2,3}B.1232，，，C.{1,2}D.{1}解析：集合1232B，，，，所以{}12AB＝，2.已知p：是第一象限角，q：2，则p是q的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3.已知i是虚数单位，则31()1ii=A.1B.iC.-iD-1.解析：231(1)2,().1(1)(1)2iiiiiiiii（文）已知i是虚数单位，则1||1ii=A.iB.1C.2D.021(1)2,1.1(1)(1)2iiiiiiii即11ii1.4.sin15cos15ooA.22B.12C.22D.12解析2112(sin15cos151-2sin15cos15=1-=,sin15cos150,sin15cos15222）ooooooooQQ法2:2sin15cos15sin(4530)cos(4530)2oooooo法3：2sin15cos152(sin15cos45cos15sin45)2sin(1545)2oooooooo5.一简单组合体的三视图如图所示，则该组合体的表面积为A.38B.382C.382D.12解析：由三视图知，此组合体为一个长为4，宽为3，高为1的长方体、中心去除一个半径为1的圆柱，故其表面积为22(343141)2121386.在边长为4的正方形ABCD内任取一点M，则∠AMB90°的概率为A.8B.1-8C.4D.1-4解析：2122p==4487.已知函数(2)fx是R上的偶函数，当2x时，2()1fxx，则当2x时，()fxA.21xB.285xxC.245xxD.2817xx解析1：2x时，4-x2,(2)fx是偶函数22(2x)(2)f(x)f(4x)(4x)1817ffxxx解析2：可画图观察求解。8.设向量ar，br满足|ar|＝|br|＝|ar＋br|＝1，则|ar－tbr|(t∈R)的最小值为A.32B.12C.1D.2解析：由于|ar|＝|br|＝|ar＋br|＝1，于是|ar＋br|2＝1，即ar2＋2ar·br＋br2＝1，即ar·br＝－12|ar－tbr|2＝ar2－2tar·br＋t2br2＝(1＋t2)－2tar·br＝t2＋t＋1≥34，故|ar－tbr|的最小值为32.（文）已知平行四边形ABCD中，若(30),(223)ABBCuuuruuur，，，则ABCDS=A.63B.103C.6D.12解析：由已知ABCD1334,cos=-sinsin=6322ABBCBBABBCBS，，Yuuuruuuruuuruuur9.执行如下图所示的程序框图，若输出k的值为6，则判断框内可填入的条件是图（1）侧视图俯视图正视图120.50.5121A．s45B．s710C．s35D．s12B[解析]第一次循环结束，得s＝1×910＝910，k＝8；第二次循环结束，得s＝910×89＝45，k＝7；第三次循环结束，得s＝45×78＝710，k＝6，此时退出循环，输出k＝6.故判断框内可填s710.10.已知x，y满足20(0),20,0,kxykxyy则使目标函数z＝y－x取得最小值－4的最优解为A．（2，0）B．（－4,0）C.（4,0）D．（－12，0）[解析]可行域如图所示，当k-1时,不符合题意，当-1k0时，目标函数线过可行域内A点时z有最小值.联立y＝0，kx－y＋2＝0，解得－2k，0，故zmin＝0＋2k＝－4，即k＝－12.此时(4,0)（文）若0,1a，当x，y满足20,10,240xayxyxy时，z=x+y的最小值为A．4B．3C.2D．无法确定解析：因为x﹣ay=2是恒过（2，0）点的直线系，所以可行域如图：是三角形ABC的区域，当目标函数经过可行域的B点时，目标函数确定最小值为2．故选C11.司机甲、乙加油习惯不同，甲每次加定量的油，乙每次加固定钱数的油，恰有两次甲、乙同时加同单价的油，但这两次的油价不同，则从这两次加油的均价角度分析A.甲合适B.乙合适C.油价先高后低甲合适D.油价先低后高甲合适解析：设甲每次加m升油、乙每次加n元钱的油，第一次加油x元/升，第二次加油y元/升。甲的平均单价为：22mxmyxym，乙的平均单价为:22nxynnxyxyQxy∴222421244xyxyxyxyxyxyxyxy，即乙的两次平均单价低，乙的方式更合适。12.设等差数列na满足11,0,naanN（）其前n项和为nS，若数列{nS}也为等差数列，则102nnSa的最大值是A．310B．212C.180D．121解析：设数列na的公差为d，依题意2132SSS，11aQ即1112233adaad，化简可得12da=2，所以22221022121(21)(10)1012122()()(1)121(21)2121421nnnSnnannnn第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。第13~第21题为必考题，每个考生都必须做答。第22~24题为选考题，考生根据要求做答。二.填空题：本大题共4小题，每小题5分。13.双曲线2221xy的离心率为________．解析：314.已知等比数列ａn，满足ａａａａａａ1234568,4,则ａ11q________．14.解析：Q23456113123(1)1816321312aaaaaqqqaaaqq（文）已知等比数列ａn，满足ａａａａａａ1234568,1,则ａ11q________．14.解析：Q345611231164,8219aaaaqqaaaq15.若直线y=kx与曲线2y＝xx所围成的封闭图形的面积为112，则k=．解析：可得抛物线2.y＝xx与y＝kx两交点的横坐标为121,0xkx。所以330220111(1)1()d()23612kkkxkkxxxx＝x＝或1201()d12kkxxxx解得3412k或341+2k.（文）函数fxlnxax＝＋的图象存在与直线20xy－＝平行的切线，则实数a的取值范围是______.解析：(－∞，2)，函数f(x)＝lnx＋ax图象存在与直线2x－y＝0平行的切线，即f′(x)＝2在(0，＋∞)上有解，而f′(x)＝1x＋a，即1x＋a＝2在(0，＋∞)上有解，a＝2－1x，因为x＞0，所以2－1x＜2，所以a的取值范围是(－∞，2).16.由5个元素构成的集合4,3,1,0,1M，记M的所有非空子集为1231,,,MMM，每一个(1,2,,31)iMi中所有元素的积为im(若集合中只有一个元素时，规定其积等于元素自身)，则1231_______.mmm解析：该题的设计是从不同的层面考查学生的思维能力，实质上，设M中的5个元素分别为12345,,,,aaaaa，则1231125(1)(1)(1)1mmmaaa，注意到M中的元素有1，所以，所求结果为1，这就是该题要考查的思维能力，而0和1的设置为思维一般的同学也能找到下手的机会，如果命题时把1去掉，就变成蛮算的题目。苏学良供（文）正四面体ABCD的棱长为4，E为棱BC的中点，过E作其外接球的截面，则截面面积的最小值为________．解析：依题意，设正四面体ABCD外接球的球心为O，顶点A在底面BCD内的射影为G，则OA＝OB＝R，BG＝32×4×23＝433，AG＝463，∵OB2＝OG2＋BG2，∴R2＝463－R2＋4332，R＝6，OE＝2.当OE垂直于截面时，截面半径r最小，r＝R2－OE2＝2，∴截面面积的最小值为πr2＝4π.或：由已知，过点E与OE垂直的截面圆面积最小，过点E作OE的垂线,都在一个平面内,易知BC垂直于OE,所以BC在这个截面上,又B、C在球面上，所以直接BC就是该截面圆的直径，所求圆面积就出来了。三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17.（本小题满分12分）已知函数1()sincos()cos2.62fxxxx（1）求函数)(xf的最大值；（2）已知ABC的面积为3，且角CBA,,的对边分别为1,,,(),5,2abcfAbc若求a的值.解：(1)2231131()sincossincossincoscos22222fxxxxxxxx131111sin2cos2sin22224264xxx.……………………………4分∴函数)(xf的最大值为34.……………………………………………6分(2)由题意111()sin22642fAA,化简得1sin(2).62A,0A,132(,)666A,∴5266A,∴.3A……………………………8分1sin34,521,44,101bcAbcbcbcbc由得又或分在ABC中,根据余弦定理,得2222cos13abcbcA.所以a13…………………………………………………12分18.（本小题满分12分）小明参加某项资格测试，现有10道题，其中6道客观题，4道主观题，小明需从10道题中任取3道题做答．(1)求小明至少取到1道主观题的概率；(2)若所取的3道题中有2道客观题，1道主观题．设小明答对每道客观题的概率都是35，答对每道主观题的概率都是45，且各题答对与否相互独立，设X表示小明答对题的个数，求X的分布列和数学期望．18．解：(1)设事件A＝“小明所取的3道题至少有1道主观题”，则有A＝“小明所取的3道题都是客观题”．因为P(A)＝C36C310＝16，所以P(A)＝1－P(A)＝56..........................4分(2)X所有的可能取值为0，1，2，3.P(X＝0)＝252·15＝4125；P(X＝1)＝C12·351·251·15＋252·45＝28125；P(X＝2)＝352·15＋C12351·251·45＝57125；P(X＝3)＝352·45＝36125..............................................8分X的分布列为：X0123P4125281255712536125..................................................