2015年全国中考数学试卷解析分类汇编 专题39 开放性问题(第二期)

第1页共7页开放性问题一.选择题1.二.填空题1.（2015•江苏盐城，第13题3分）如图，在△ABC与△ADC中，已知AD=AB，在不添加任何辅助线的前提下，要使△ABC≌△ADC，只需再添加的一个条件可以是DC=BC或∠DAC=∠BAC．[来源&:中^*教@#网]考点：全等三角形的判定．[w^ww.z%zstep.co~&m*]专题：开放型．分析：添加DC=BC，利用SSS即可得到两三角形全等；添加∠DAC=∠BAC，利用SAS即可得到两三角形全等．解答：解：添加条件为DC=BC，在△ABC和△ADC中，，∴△ABC≌△ADC（SSS）；[来源:中国教育^出%#版&网@]若添加条件为∠DAC=∠BAC，在△ABC和△ADC中，，∴△ABC≌△ADC（SAS）．故答案为：DC=BC或∠DAC=∠BAC点评：此题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解本题的关键．2.（2015•娄底，第13题3分）如图，已知AB=BC，要使△ABD≌△CBD，还需添加一个条件，你添加的条件是∠ABD=∠CBD或AD=CD．．（只需写一个，不添加辅助线）第2页共7页考点：全等三角形的判定．专题：开放型．分析：由已知AB=BC，及公共边BD=BD，可知要使△ABD≌△CBD，已经具备了两个S了，然后根据全等三角形的判定定理，应该有两种判定方法①SAS，②SSS．所以可添∠ABD=∠CBD或AD=CD．解答：解：答案不唯一．①∠ABD=∠CBD．在△ABD和△CBD中，∵，∴△ABD≌△CBD（SAS）；[来源:^*中&%教网@]②AD=CD．在△ABD和△CBD中，∵，∴△ABD≌△CBD（SSS）．故答案为：∠ABD=∠CBD或AD=CD．点评：本题主要考查了全等三角形的判定定理，能灵活运用判定进行证明是解此题的关键．熟记全等三角形的判定方法有：SSS，SAS，ASA，AAS．三.解答题1.（2015•昆明第23题，9分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+x+c（a≠0）与x轴交于A、B两点（点A在点B的右侧），与y轴交于点C，点A的坐标为（4，0），抛物线的对称轴是直线x=．（1）求抛物线的解析式；[w*ww~.^zz#step.com&]第3页共7页（2）M为第一象限内的抛物线上的一个点，过点M作MG⊥x轴于点G，交AC于点H，当线段CM=CH时，求点M的坐标；（3）在（2）的条件下，将线段MG绕点G顺时针旋转一个角α（0°＜α＜90°），在旋转过程中，设线段MG与抛物线交于点N，在线段GA上是否存在点P，使得以P、N、G为顶点的三角形与△ABC相似？如果存在，请求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．考点：二次函数综合题．.专题：综合题．分析：（1）首先利用对称轴公式求出a的值，然后把点A的坐标与a的值代入抛物线的解析式，求出c的值，即可确定出抛物线的解析式．（2）首先根据抛物线的解析式确定出点C的坐标，再根据待定系数法，确定出直线AC解析式为y=﹣x+2；然后设点M的坐标为（m，﹣m2+m+2），H（m，﹣m+2），求出MH的值是多少，再根据CM=CH，OC=GE=2，可得MH=2EH，据此求出m的值是多少，再把m的值代入抛物线的解析式，求出y的值，即可确定点M的坐标．（3）首先判断出△ABC为直角三角形，然后分两种情况：①当=时；②当=时；根据相似三角形的性质，判断出是否存在点P，使得以P、N、G为顶点的三角形与△ABC相似即可．[中国教育出版&*^#@网]解答：解：（1）∵x=﹣=，b=，[来@源:^%*中教网#]∴a=﹣，把A（4，0），a=﹣代入y=ax2+x+c，可得（）×42+×4+c=0，解得c=2，则抛物线解析式为y=﹣x2+x+2．（2）如图1，连接CM，过C点作CE⊥MH于点E，第4页共7页，[w#ww.zz%s~@tep^.com]∵y=﹣x2+x+2，∴当x=0时，y=2，[中国~教@育&#出^版网]∴C点的坐标是（0，2），设直线AC解析式为y=kx+b（k≠0），把A（4，0）、C（0，2）代入y=kx+b，[来源:@z&zstep.^#%com]可得，解得：，∴直线AC解析式为y=﹣x+2，[来源^:中&国教育出%版网*@]∵点M在抛物线上，点H在AC上，MG⊥x轴，∴设点M的坐标为（m，﹣m2+m+2），H（m，﹣m+2），∴MH=﹣m2+m+2﹣（﹣m+2）=﹣m2+2m，[来源:中@#国*教育出版~网^]∵CM=CH，OC=GE=2，∴MH=2EH=2×[2﹣（﹣m+2）]=m，又∵MH=﹣m2+2m，[来~源*:中国教育出版^网@&]∴﹣m2+2m=m，即m（m﹣2）=0，解得m=2或m=0（不符合题意，舍去），∴m=2，当m=2时，y=﹣×22+×2+2=3，∴点M的坐标为（2，3）．第5页共7页（3）存在点P，使以P，N，G为顶点的三角形与△ABC相似，理由为：∵抛物线与x轴交于A、B两点，A（4，0），A、B两点关于直线x=成轴对称，∴B（﹣1，0），∵AC==2，BC==，AB=5，∴AC2+BC2=+=25，AB2=52=25，[w*&ww.zzste^~p.c@om]∵AC2+BC2=AB2=25，∴△ABC为直角三角形，∴∠ACB=90°，线段MG绕G点旋转过程中，与抛物线交于点N，当NP⊥x轴时，∠NPG=90°，[来源:%中国#@教*育~出版网]设P点坐标为（n，0），则N点坐标为（n，﹣n2+n+2），①如图2，[来&源:zzs%tep#.@*com]当=时，∵∠N1P1G=∠ACB=90°，∴△N1P1G∽△ACB，∴=，解得：n1=3，n2=﹣4（不符合题意，舍去），[@z#step.~co&m]当n1=3时，y=﹣×32+×3+2=2，∴P的坐标为（3，2）．②当=时，∵∠N2P2G=∠BCA=90°，[来%源:^zzst~ep.com@&]∴△N2P2G∽△BCA，第6页共7页∴，解得：n1=1，n2=1﹣（不符合题意，舍去），[中国&%@教育^出版~网]当n1=1时，y=﹣×（1+）2+×（1）+2=，[来源:*&中国教~#育出版网@]∴P的坐标为（1，）．[来^*源:&中国教育出版网#~]又∵点P在线段GA上，∴点P的纵坐标是0，∴不存在点P，使得以P、N、G为顶点的三角形与△ABC相似．点评：（1）此题主要考查了二次函数综合题，考查了分析推理能力，考查了分类讨论思想的应用，考查了数形结合思想的应用，考查了从已知函数图象中获取信息，并能利用获取的信息解答相应的问题的能力．[来源*:^zz#step.~co&m]（2）此题还考查了待定系数法求函数解析式的方法，要熟练掌握．[ww~w.z%^zst&ep.c@om]（3）此题还考查了相似三角形的性质和应用，以及直角三角形的性质和应用，要熟练掌握．2、（2015年浙江舟,19，6分）如图，正方形ABCD中，点E，F分别在AB，BC上，AF=DE，AF和DE相交于点G.（1）观察图形，写出图中所有与∠AED相等的角；（2）选择图中与∠AED相等的任意一个角，并加以证明.【答案】解：（1）与∠AED相等的角有,,DAGAFBCDE.（2）选择AEDAFB：正方形ABCD中，090,DABBADAB，[来源:z~@^zstep#*.com]又∵AF=DE，∴ADEABFSAS≌.∴AEDAFB.【考点】开放型；正方形的性质；平行的性质；全等三角形的判定和性质.【分析】（1）观察图形，可得结果.（2）答案不唯一，若选择AEDAFB，则由ADEABFSAS≌可得结论；第7页共7页若选择AEDCDE，则由正方形ABCD得到AB∥CD，从而得到结论；，[来源:z*@z#step%.c^om]若选择AEDDAG，则一方面，由ADEABFSAS≌可得AEDAFB，另一方面，由正方形ABCD得到AD∥BC，得到DAGAFB，进而可得结论