2015年四川高考文科数学试题和答案详解

2015年四川高考数学文科卷详细解答第1页绝密★启封并使用完毕前2015年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷）数学（文史类）本试题卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）。第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页。满分l50分。考试时间l20分钟。考生作答时，须将答案答在答题卡上，在本试题卷、草稿纸上答题无效。考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回。第Ⅰ卷（选择题共50分）注意事项：必须使用2B铅笔在答题卡上将所选答案对应的标号涂黑。第Ⅰ卷共10小题。一、选择题：本大题共10个小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.设集合{|(1)(2)0}Axxx，集合{|13}Bxx，则AB（A）1|3xx（B）|11xx（C）|12xx（D）|23xx【答案】A【解析】∵{|12}Axx，{|13}Bxx，{|13}ABxx，选A.2.设向量(2,4)a与向量(,6)bx共线，则实数x(A)2(B)3(C)4(D)6【答案】B【解析】由共线向量11,axy，22,bxy的坐标运算可知12210xyxy，即26403xx，选B.3.某学校为了了解三年级、六年级、九年级这三个年级之间的学生视力是否存在显著差异，拟从这三个年级中按人数比例抽取部分学生进行调查，则最合理的抽样方法是（A)抽签法（B）系统抽样法（C）分层抽样法（D）随机数法【答案】C【解析】因为是为了解各年级之间的学生视力是否存在显著差异，所以选择分层抽样法。4.设a，b为正实数，则“1ab”是“22loglogab”的(A)充要条件(B)充分不必要条件(C)必要不充分条件(D)既不充分也不必要条件2015年四川高考数学文科卷详细解答第2页【答案】A【解析】由已知当1ab时，22loglog0ab∴，“1ab”是“22loglogab”的充分条件。反过来由22loglog0ab，可得1ab，∴“1ab”是“22loglogab”的必要条件，综上，“1ab”是“22loglogab”的充要条件，选A.5.下列函数中，最小正周期为的奇函数是A.sin(2)2yxB.cos(2)2yxC.sin2cos2yxxD.sincosyxx【答案】A【解析】A.cos(2)sin22yxx,可知其满足题意;B.sin(2)cos22yxx,可知其最小正周期为，偶函数;C.sin2cos22sin(2)4yxxx,最小正周期为，非奇非偶函数;D.sincos2sin()4yxxx,可知其最小正周期为2，非奇非偶函数.选A6.执行如图所示的程序框图，输出S的值是(A)32-(B)32(C)-12(D)12【答案】D【解析】易得当k=1,2,3,4时执行的是否，当k=5时就执行是的步骤，所以51sin62S，选D.7.过双曲线2213yx的右焦点且与x轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于A，B两点，则AB（A）433（B）23（C）6（D）43【答案】D【解析】由题意可知双曲线的渐近线方程为3yx，且右焦点(2,0)，则直线2x与两条渐近线的交点分别为A(2,23)，B(2,23)，∴||43AB,选D.2015年四川高考数学文科卷详细解答第3页8.某食品的保鲜时间y（单位：小时）与储藏温度x（单位：°C）满足函数关系kxbye（e=2.718为自然对数的底数，k，b为常数）。若该食品在°0C的保鲜时间是192小时，在23°C的保鲜时间是48小时，则该食品在33°C的保鲜时间是(A)16小时(B)20小时(C)24小时(D)21小时【答案】C【解析】0+192kbe①，2248kbe②，∴221142kkee②①，∴当33x时，33kbex③，∴3331248192kkxeex③①,选C.9.设实数,xy满足2102146xyxyxy，则xy的最大值为(A)252(B)492(C)12(D)14【答案】A【解析】由第一个条件得：25yx。于是，252525222xxxyxx，xy当且仅当5,52xy时取到最大值252。经验证，5,52xy在可行域内，选A.10.设直线l与抛物线24yx相交于A，B两点，与圆22250xyrr相切于点M，且M为线段AB的中点.若这样的直线l恰有4条，则r的取值范围是（A）13，（B）14，（C）23，（D）24，【答案】D【解析】设11,Axy，22,Bxy，5cos,sinMrr，则21122244yxyx两式相减，得：1212124yyyyxx，当直线l的斜率不存在时，显然符合条件的直线l有两条。当直线l的斜率存在时，可得：1212121222sin4sinAByyryyxxkxxr，又∵xyBOMCA2015年四川高考数学文科卷详细解答第4页sin0sin5cos5cosMCrkr，∴1cossinABMCkk，∴2cos22sinsincosrr由于M在抛物线的内部，∴2sin45cos204cos204212rrr，∴sin23r，∴2224sin423164rrrrrrr，因此，24r，选D.第Ⅱ卷（非选择题共100分）注意事项：必须使用0.5毫米黑色墨迹签字笔在答题卡上题目说只是的区域内作答。作图可先用铅笔绘出，确认后再用0.5毫米黑色墨迹签字笔描清楚。答在试卷、草稿纸上无效。二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。11.设i是虚数单位，则复数1ii_________.【答案】2i【解析】由题意可知：212iiiiiiii12.2lg0.01log16的值是________.【答案】2【解析】2422lg0.01log16lg10log224213..已知sin2cos0，则22sincoscos的值是________.【答案】-1【解析】由已知sin2cos0得，tan2，∴222222sincoscos2tan1412sincoscos1sincostan14114.三棱柱111ABCABC中，90BAC，其正视图和侧视图都是边长为1的正方形，俯视图是直角边长为1的等腰直角三角形，设点M,N,P分别是AB，BC，11BC的中点，则三棱锥1PAMN的体积是_______.【答案】124【解析】采用等积法，11112211322424PAMNMAPNVV2015年四川高考数学文科卷详细解答第5页15.已知函数2xfx，2gxxax(其中aR)。对于不相等的实数1x，2x，设1212fxfxmxx，1212gxgxnxx，现有如下命题：(1)对于任意不相等的实数1x，2x，都有0m；(2)对于任意a的及任意不相等的实数1x，2x，都有0n；(3)对于任意的a，存在不相等的实数1x，2x，使得nm；(4)对于任意的a，存在不相等的实数1x，2x，使得nm。其中的真命题有_________________(写出所有真命题的序号）。【答案】(1)(4)【解析】(1)设1x，2x,∵函数2xy是增函数，∴1222xx，120xx，则2121)()(xxxfxfm=21x2122xxx0,所以正确；(2)设12xx，则120xx，∴22121122121212gxgxxaxxaxnxxaxxxx不妨我们设121,2,3xxa，则60n，矛盾，所以(2)错。(3)∵nm，由(1)(2)可得：12121212fxfxgxgxmnxxxx，化简得到，1212fxfxgxgx，也即1122fxgxfxgx，令22xhxfxgxxax，即对于任意的a函数hx在定义域范围内存在有两个不相等的实数根1x，2x。则'2ln22xhxxaaxnxx22l2)(h，显然当a时，'0hx恒成立，即hx单调递增，最多与x轴有一个交点，不满足题意，所以错误。(4)同理可得1122fxgxgxfx，设22xhxfxgxxax，即对于任意的a函数hx在定义域范围内存在有两个不相等的实数根1x，2x，从而hx不是恒为单调函数。'2ln22xhxxa，2''2ln220xhx恒成立，∴'hx单调递增，又∵x时，'0h，x时，'0h。所以hx为先减后增的函数，满足要求，所以正确。2015年四川高考数学文科卷详细解答第6页三、简答题：本大题共6小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。16.（本小题满分12分）设数列{}na的前n项和12nnSaa，且1a，21a，3a成等差数列。（Ⅰ）求数列{}na的通项公式；（Ⅱ）记数列1{}na的前n项和nT，求nT。【解答】：（Ⅰ）当2n时有，11112(2)nnnnnaSSaaaa则12nnaa(2)n，12nnaa-=（2n³），∴数列na是以1a为首项，2为公比的等比数列。又由题意得21322aaa，1112224aaa，∴12a，∴2nna*()nN（Ⅱ）由题意得112nna，∴111[1()]11221()12212nnnniiT17.（本小题满分12分）一个小客车有5个座位，其座位号为1,2,3,4,5，乘客12345,,,,PPPPP的座位号为1,2,3,4,5，他们按照座位号顺序先后上车，乘客1P因身体原因没有坐自己号座位，这时司机要求余下的乘客按以下规则就坐：如果自己的座位空着，就只能坐自己的座位。如果自己的座位已有乘客就坐，就在这5个座位的剩余空位中选择座位.（I）若乘客1P坐到了3号座位，其他乘客按规则就座，则此时共有4种坐法。下表给出其中两种坐法，请填入余下两种坐法（将乘客就坐的座位号填入表中空格处）乘客1P2P3P4P5P座位号3214532451（II）若乘客1P坐到了2号座位，其，他乘客按规则就坐，求乘客5P坐到5号座位的概率。【解答】（Ⅰ）当乘客1P坐在3号位置上，此时2P的位置没有被占，只能坐在2位置，3P位置被占，可选剩下的任何，即可选1、4、5:①当3P选1位置，4P位置没被占，只能选4位置，5P选剩下的，只有一种情况；②当3P选4位置，4P可选5位置也可选1位置，5P选剩下的，有两种情况；③当3P选5位置，4P只可2015年四川高考数学文科卷详细解答第7页选4位置5P选剩下的，有一种情况；乘客1P2P3P4P5P座位号32145324513241532541（Ⅱ）这个问情况比较复杂，需要列表解答，当1P坐2位置时，2P位置被占，可选剩下的1,3,4,5座位，下表列出了所有可能乘客1P2P3P4P5P座位号2134523451234152314523541243152435125341综上，共有8种情况，5P坐在5位置上的情况有4种，所求概率为4182P==18.（本小题满分12分）一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示。（I）请将字母,,FGH标