2013年高考一轮复习讲义第四讲(学生)---正弦余弦定理

戴氏教育2013年高三（文科）一轮复习讲义主讲人：王老师TEL:136892901621第四讲正余弦定理及其应用本讲义主要内容：第一部分：【知识回顾】知识点一正弦定理和余弦定理（1）正弦定理在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，这一结论就叫正弦定理。即CcBbAasinsinsin（2）余弦定理①余弦定理三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍，即CabbacBcaacbAbccbacos2cos2cos2222222222②余弦定理的变形式（1）abcbaCcabacBbcacbA2cos,2cos,2cos222222222（2）ACBCBAcossinsin2sinsinsin222,BCACABcossinsin2sinsinsin222CBABACcossinsin2sinsinsin222知识点二正、余弦定理解决的两类问题利用正弦定理的式子结构特征可知，运用正弦定理可以解决以下两类问题：1.已知三角形的两角及任意一边，求另外的一角和两边。根据三角形的内角和定理先求出另外一角，再由正弦定理就不难求出另外两边。据此得出的解是唯一的。2.已知两边和其中一边的对角，求另外的两角和一边。利用余弦定理可以解决以下两类解三角形的问题：（1）已知三边，求三个角；（2）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角.这两种类型问题在求解时都只有一个解，具体如下表：形式应用CabbacBcaacbAbccbacos2cos2cos2222222222已知两边及其夹角，求第三边abcbaCcabacBbcacbA2cos2cos2cos222222222（1）“知三求一”：已知三边求角；（2）某些需要进行边角转换的问题（将内角的余弦转换为边）知识点三三角形面积公式ABC的面等于底乘高除以2，还可以用三角形的边与角表示为CabBcaAbcSABCsin21sin21sin21注意：三角形面积公式的其他形式（1）cbachbhahS212121（cbahhh,,分别为cba,,边上的高）；（2）rcbaS)(21（r是ABC内切圆的半径）；（3）)sin(2sinsin)sin(2sinsin)sin(2sinsin222BABAcACCCbCBCBaS；（4）CBARSsinsinsin22（R是ABC外接圆的半径）；（5）RabcS4（R是ABC外接圆的半径）.第二部分：【经典例题】考点一正弦定理、余弦定理的简单应用【例题1】在ABC中，060,10,15Aba，则Bcos=（）A.36B.322C.36D.322【例题2】在ABC中，若32,3,1Ccb，则a=__________.【例题3】（1）在ABC中，已知045,2,3Bba，求CA,和c.（2）已知在ABC中，5,3,7cba，求三角形中的最大角及角C的正弦值.戴氏教育2013年高三（文科）一轮复习讲义主讲人：王老师TEL:136892901622【变式练习1】1.用正弦定理解下列题：（1）已知在ABC中，0045,75,10CAa,求角B,边cb,.（1）已知030,8,4Bcb,求角AC,及边a.；（2）已知030,33,4Bcb，求角A及边a.2.用余弦定理解下列题：（1）已知在ABC中，)13(:6:2::cba，求各角的度数.（2）在ABC中，,,bACaBC且ba,是方程02322xx的两根，1)cos(2BA，求AB的长.（3）在ABC中，已知045,32,32Bba,求角CA,及边c.考点二巧用三角形面积公式【例题4】在ABC中，已知63,31cos600ACCB，,求ABC的面积.【例题5】在ABC中，32,45,6000aBA，求ABC的面积.【变式练习2】已知ABC的面积为1，2tan,21tanCB,求ABC的边长以及ABC的外接圆的面积.考点三三角形形状的判断【例题6】在ABC中，BbAacoscos,试判断ABC的形状.【例题7】在ABC中，若22:tan:tanbaBA，试判断ABC的形状.戴氏教育2013年高三（文科）一轮复习讲义主讲人：王老师TEL:136892901623【变式练习3】已知方程0cos(bcosA)-2Baxx的两根之积等于两根之和，且BA,为ABC的内角，ba,为BA,的对边，试判断ABC的形状.考点四正余弦定理的实际应用【例题8】某炮兵阵地位于地面A处，两观测所分别位于地面上点C和点D处，已知mCD6000，045ACD,075ADC.目标出现位于地面上点B处时，测得030BCD,015BDC,如图所示，求炮兵阵地到目标的距离（精确到1m）.【例题9】如图所示，当甲船位于A处时获悉，在其正东方向相距20海里的B处有一艘渔船遇险等待营救。甲船立即前往救援，同时把消息告知在甲船的南偏西30°，相距10海里C处的乙船.（1）求处于C处的乙船和遇险渔船间的距离；（2）设乙船沿直线CB方向前往B处救援，其方向与CB成角，求xxfsinsin)(2)(cosc2Rxxos的值域.【变式练习4】某单位在抗震救灾中，需要在BA,两地之间架设高压电线，测量人员在相距6000m的DC,两地（DCBA,,,在同一平面上），测得BDCBCDADC,30,7500015（如图所示），假设考虑到电线的自然下垂的施工损耗等原因，实际所需电线长度大约是BA,距离的1.2倍，问施工单位至少应该准备多长的电线？（参考数据：3,4.126.27,7.1）考点五综合应用【例题10】已知向量0),cos,(cos),cos,sin3(xxbxxa，记函数baxf)(，已知)(xf的最小正周期为2.（1）求的值；（2）设ABC的三边cba,,满足acb2，且边b所对的角为x，求此函数)(xf的值域.BC10A北DBCADBCA戴氏教育2013年高三（文科）一轮复习讲义主讲人：王老师TEL:136892901624【例题11】在ABC中，内角CBA,,的对边分别为cba、、,已知bac2cosB2cosC-cosA.（1）求ACsinsin的值；（2）若2,41cosbB，求ABC的面积.【变式练习5】在ABC中，内角CBA,,的对边分别为cba、、，已知CCcossin2sin1C.（1）求Csin的值；（2）若8)(422baba，求边c的值.第三部分：【实战演练】【实战演练一】一、选择题1.在△ABC中，a、b分别是角A、B所对的边，条件“ab”是使“cosAcosB”成立的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件2.已知圆的半径为4，a、b、c为该圆的内接三角形的三边，若abc＝162，则三角形的面积为()A.22B.82C.2D.223.如果等腰三角形的周长是底边长的5倍，那么它的顶角的余弦值为（）A.518B.34C.32D.784.满足A＝45°，c＝6，a＝2的△ABC的个数记为m，则am的值为()A.4B.2C.1D.不确定5.在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且cos2A2＝2bcc，则△ABC是()A.直角三角形B.等腰三角形或直角三角形C.正三角形D.等腰直角三角形6.在不等边三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，a为最大边，如果sin2(B＋C)sin2B＋sin2C，则角A的取值范围为()A.(0，π2)B.(π4，π2)C.(π6，π3)D.(π3，π2)二、填空题7.在△ABC中，已知sinA∶sinB＝2∶1，c2＝b2＋2bc，则三内角A、B、C的度数依次是.8.在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c.若(3b－c)cosA＝acosC，则cosA＝.9.在△ABC中，已知(b＋c)∶(c＋a)∶(a＋b)＝4∶5∶6，给出下列结论：①由已知条件，这个三角形被唯一确定；②△ABC一定是钝角三角形；③sinA∶sinB∶sinC＝7∶5∶3；④若b＋c＝8，则△ABC的面积是1532.其中正确结论的序号是.戴氏教育2013年高三（文科）一轮复习讲义主讲人：王老师TEL:136892901625三、解答题10.在△ABC中，C－A＝π2，sinB＝13.(1)求sinA的值；(2)设AC＝6，求△ABC的面积.11.在△ABC中，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边长，已知2sinA＝3cosA.(1)若a2－c2＝b2－mbc，求实数m的值；(2)若a＝3，求△ABC面积的最大值.12.设△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且A＝60°，c＝3b.求：(1)ac的值；(2)tanB＋tanC的值.【实战演练二】一、选择题1.已知如图所示两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离都等于akm，灯塔A在观察站C的北偏东20°，灯塔B在观察站C的南偏东40°，则灯塔A与B的距离为()A.akmB.3akmC.2akmD.2akm2.在△ABC中，角A，B均为锐角，且cosAsinB，则△ABC的形状是()A.直角三角形B.锐角三角形C.钝角三角形D.等腰三角形3.2009年8月4日发生的2009年第8号台风“莫拉克”造成台湾省461人死亡，192人失踪，其台风中心最大风力达到12级以上，大风降雨给灾区带来严重的灾害，不少大树被大风折断.某路边一树干被台风吹断后，折成与地面成45°角，树干也倾斜为与地面成75°角，树干底部与树尖着地处相距20米，则折断点与树干底部的距离是()A.2063米B.106米C.1063米D.202米4.如图，四边形ABCD中，∠B＝∠C＝120°，AB＝4，BC＝CD＝2，则该四边形的面积等于()A.3B.53C.63D.735.如果把直角三角形的三边都增加同样的长度，则这个新的三角形的形状为()A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.由增加的长度决定6.某人在C点测得某塔在南偏西80°，塔顶仰角为45°，此人沿南偏东40°方向前进10米到D，测得塔顶A的仰角为30°，则塔高为()A.15米B.5米C.10米D.12米二、填空题7.已知如图所示，一船以每小时15km的速度向东航行，船在A处看到一个灯塔M在北偏东60°方向，行驶4h后，船到B处，看到这个灯塔在北偏东15°方向，这时船与灯塔的距离为.戴氏教育2013年高三（文科）一轮复习讲义主讲人：王老师TEL:1368929016268.在△ABC中，已知sinAsinBcosC＝sinAsinCcosB＋sinBsinCcosA，若a、b、c分别是角A、B、C所对的边，则abc2的最大值为.9.已知如图所示，线段AB外有一点C，∠ABC＝60°，AB＝200km，汽车以80km/h的速度由A向B行驶，同时摩托车以50km/h的速度由B向C行驶，则运动开始h后，两车的距离最小.三、解答题10.如图，A、B、C、D都在同一个与水平面垂直的平面内，B、D为两岛上的两座灯塔的塔顶.测量船于水面A处测得B点和D点的仰角分别为75°,30°，于水面C处测得B点和D点的仰角均为60°，AC＝0.1km.试探究图中B，D间距离与另外哪两点间距离相等，然后求B，D的距离(计算结果精确到0.01km，2≈1.414，6≈2.449).12.在一个特定时段内，以点E为中心的7海里以内海域被设为警戒水域.点E正北55海里处有一个雷达观测站A.某时刻测得一艘匀速直线行驶的船只位于点A北偏东45°且与点A相距402海里的位置B，经过40分钟又测得该船已行驶到点A北偏东45°＋θ(其中sinθ＝2626，0°θ90°)且与点A相距1013海里