2013年高考数学必考知识点9等差等比数列的基本问题

2013年高考数学必考知识点9等差、等比数列的基本问题1．(2012·辽宁)在等差数列{an}中，已知a4＋a8＝16，则该数列前11项和S11＝()．A．58B．88C．143D．176答案：B[利用等差数列的性质及求和公式求解．因为{an}是等差数列，所以a4＋a8＝2a6＝16⇒a6＝8，则该数列的前11项和为S11＝a1＋a112＝11a6＝88.]2．(2012·新课标全国)已知{an}为等比数列，a4＋a7＝2，a5a6＝－8，则a1＋a10＝()．A．7B．5C．－5D．－7答案：D[设数列{an}的公比为q，由a4＋a7＝2，a5·a6＝a4·a7＝－8得a4＝4，a7＝－2或a4＝－2，a7＝4，所以a1＝－8，q3＝－12或a1＝1，q3＝－2，所以a1＝－8，a10＝1或a1＝1，a10＝－8，所以a1＋a10＝－7.]3．(2012·福建)等差数列{an}中，a1＋a5＝10，a4＝7，则数列{an}的公差为()．A．1B．2C．3D．4答案：B[在等差数列{an}中，∵a1＋a5＝10，∴2a3＝10，∴a3＝5，又a4＝7，∴所求公差为2.]4．(2012·浙江)设公比为q(q＞0)的等比数列{an}的前n项和为Sn.若S2＝3a2＋2，S4＝3a4＋2，则q＝________.解析∵S4－S2＝a3＋a4＝3(a4－a2)，∴a2(q＋q2)＝3a2(q2－1)，∴q＝－1(舍去)或q＝32.答案32本部分在高考中常以选择题和填空题的形式出现，考查这两种数列的概念、基本性质、简单运算、通项公式、求和公式等，属于中档题；以解答题出现时，各省市的要求不太一样，有的考查等差、等比数列的通项公式与求和等知识，属于中档题；有的与函数、不等式、解析几何等知识结合考查，难度较大．(1)深刻理解两种数列的基本概念和性质，熟练掌握常用的方法和技能；掌握等差数列和等比数列的判定、证明方法，这类问题经常出现在以递推数列为背景的试题的第(1)问中．(2)熟练掌握等差数列和等比数列的性质，并会灵活应用，这是迅速、准确地进行计算的关键.必备知识等差数列的有关公式与性质(1)an＋1－an＝d(n∈N*，d为常数)．(2)an＝a1＋(n－1)d.(3)Sn＝na1＋an2＝na1＋nn－2d.(4)2an＝an－1＋an＋1(n∈N*，n≥2)．(5)①an＝am＋(n－m)d(n，m∈N*)；②若m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq(m，n，p，q∈N*)；③等差数列{an}的前n项和为Sn，则Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…成等差数列．等比数列的有关公式与性质(1)an＋1an＝q(n∈N*，q为非零常数)．(2)an＝a1qn－1.(3)Sn＝a1－qn1－q＝a1－anq1－q(q≠1)．(4)a2n＝an－1an＋1(n∈N*，n≥2)．(5)①an＝amqn－m；②若m＋n＝p＋q，则am·an＝ap·aq；③等比数列{an}(公比q≠－1)的前n项和为Sn，则Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也成等比数列．必备方法1．运用方程的思想解等差(比)数列是常见题型，解决此类问题需要抓住基本量a1、d(或q)，掌握好设未知数、列出方程、解方程三个环节，常通过“设而不求，整体代入”来简化运算．2．深刻理解等差(比)数列的定义，能正确使用定义和等差(比)数列的性质是学好本章的关键．解题时应从基础处着笔，首先要熟练掌握这两种基本数列的相关性质及公式，然后要熟悉它们的变形使用，善用技巧，减少运算量，既准又快地解决问题．3．等差、等比数列的判定与证明方法：(1)定义法：an＋1－an＝d(d为常数)⇔{an}是等差数列；an＋1an＝q(q为非零常数)⇔{an}是等比数列；(2)利用中项法：2an＋1＝an＋an＋2(n∈N*)⇔{an}是等差数列；a2n＋1＝an·an＋2(n∈N*)⇔{an}是等比数列(注意等比数列的an≠0，q≠0)；(3)通项公式法：an＝pn＋q(p，q为常数)⇔{an}是等差数列；an＝cqn(c，q为非零常数)⇔{an}是等比数列；(4)前n项和公式法：Sn＝An2＋Bn(A，B为常数)⇔{an}是等差数列；Sn＝mqn－m(m为常数，q≠0)⇔{an}是等比数列；(5)若判断一个数列既不是等差数列又不是等比数列，只需用a1，a2，a3验证即可．等差比数列的基本运算等差数列和等比数列在公式和性质上有许多相似性，是高考必考内容，着重考查等差、等比数列的基本运算、基本技能和基本思想方法，题型不仅有选择题、填空题、还有解答题，题目难度中等．【例1】►(2011·江西)已知两个等比数列{an}、{bn}满足a1＝a(a0)，b1－a1＝1，b2－a2＝2，b3－a3＝3.(1)若a＝1，求数列{an}的通项公式；(2)若数列{an}唯一，求a的值．[审题视点][来源:学科网ZXXK][来源:学#科#网][听课记录][审题视点](1)利用b1、b2、b3等比求解；(2)利用(1)问的解题思路，结合方程的相关知识可求解．解(1)设{an}的公比为q，则b1＝1＋a＝2，b2＝2＋aq＝2＋q，b3＝3＋aq2＝3＋q2.由b1，b2，b3成等比数列得(2＋q)2＝2(3＋q2)，即q2－4q＋2＝0，解得q1＝2＋2，q2＝2－2，所以{an}的通项公式为an＝(2＋2)n－1或an＝(2－2)n－1.(2)设{an}的公比为q，则由(2＋aq)2＝(1＋a)(3＋aq2)，得aq2－4aq＋3a－1＝0.(*)由a0得，Δ＝4a2＋4a0，故方程(*)有两个不同的实根，由{an}唯一，知方程(*)必有一根为0，代入(*)得a＝13.关于等差(等比)数列的基本运算，一般通过其通项公式和前n项和公式构造关于a1和d(或q)的方程或方程组解决，如果在求解过程中能够灵活运用等差(等比)数列的性质，不仅可以快速获解，而且有助于加深对等差(等比)数列问题的认识．【突破训练1】(2011·广东改编)等差数列{an}前9项的和等于前4项的和．若a1＝1，ak＋a4＝0，则k＝()．A．10B．12C．15D．20答案：A[设等差数列{an}的前n项和为Sn，则S9－S4＝0，即a5＋a6＋a7＋a8＋a9＝0,5a7＝0，故a7＝0，而ak＋a4＝0，故k＝10.]等差、等比数列的判断与证明高考对该内容的考查主要是等差、等比数列的定义，常与递推数列相结合考查．常作为数列解答题的第一问，为求数列的通项公式做准备，属于中档题．【例2】►设数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝1，Sn＋1＝4an＋2.(1)设bn＝an＋1－2an，证明：数列{bn}是等比数列；(2)求数列{an}的通项公式．[审题视点](1)先利用an＋1＝Sn＋1－Sn将Sn＋1＝4an＋2转化为关于an的递推关系式，再利用bn＝an＋1－2an的形式及递推关系式构造新数列来求证．(2)借助(1)问结果，通过构造新数列的方式求通项．(1)证明由a1＝1，及Sn＋1＝4an＋2，有a1＋a2＝4a1＋2，a2＝3a1＋2＝5，∴b1＝a2－2a1＝3，由Sn＋1＝4an＋2，①则当n≥2时，有Sn＝4an－1＋2.②①－②得an＋1＝4an－4an－1.∴an＋1－2an＝2(an－2an－1)．又∵bn＝an＋1－2an，∴bn＝2bn－1，∴{bn}是首项b1＝3，公比为2的等比数列，(2)解由(1)可得bn＝an＋1－2an＝3·2n－1，∴an＋12n＋1－an2n＝34.∴数列an2n是首项为12，公差为34的等差数列，∴an2n＝12＋(n－1)×34＝34n－14，所以an＝(3n－1)·2n－2.判断一个数列是等差数列或等比数列的首选方法是根据定义去判断，其次是由等差中项或等比中项的性质去判断．【突破训练2】在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝2an＋2n.(1)设bn＝an2n－1.证明：数列{bn}是等差数列；(2)求数列{an}的前n项和Sn.(1)证明∵an＋1＝2an＋2n，∴an＋12n＝an2n－1＋1.即有bn＋1＝bn＋1，所以{bn}是以1为首项，1为公差的等差数列．(2)解由(1)知bn＝n，从而an＝n·2n－1.Sn＝1×20＋2×21＋3×22＋…＋(n－1)×2n－2＋n×2n－1，∴2Sn＝1×21＋2×22＋3×23＋…＋(n－1)×2n－1＋n×2n.两式相减得，Sn＝n×2n－20－21－22－…－2n－1＝n×2n－2n＋1＝(n－1)2n＋1.等差数列与等比数列的综合应用从近几年的考题看，对于等差与等比数列的综合考查也频频出现．考查的目的在于测试考生灵活运用知识的能力，这个“灵活”就集中在“转化”的水平上．【例3】►(2012·石家庄二模)已知等比数列{an}的前n项和为Sn，a1＝2，S1、2S2、3S3成等差数列．(1)求数列{an}的通项公式；[来源:Zxxk.Com](2)数列{bn－an}是首项为－6，公差为2的等差数列，求数列{bn}的前n项和．[审题视点][听课记录][审题视点](1)列出关于公比q的方程求q；(2)先求出bn后，再根据公式求和．解(1)由已知4S2＝S1＋3S3,4(a1＋a1q)＝a1＋3a1(1＋q＋q2)，3q2－q＝0，∴q＝0(舍)，或q＝13，∴an＝2·13n－1.(2)由题意得：bn－an＝2n－8，bn＝an＋2n－8＝213n－1＋2n－8.设数列{bn}的前n项和为Tn，Tn＝21－13n1－13＋n－6＋2n－2＝31－13n＋n(n－7)＝－13n－1＋n2－7n＋3.(1)在等差数列与等比数列的综合问题中，特别要注意它们的区别，避免用错公式．(2)方程思想的应用往往是破题的关键．[来源:学#科#网]【突破训练3】数列{an}为等差数列，an为正整数，其前n项和为Sn，数列{bn}为等比数列，且a1＝3，b1＝1，数列{ban}是公比为64的等比数列，b2S2＝64.(1)求an，bn；(2)求证：1S1＋1S2＋…＋1Sn＜34.(1)解设{an}的公差为d，{bn}的公比为q，则d为正整数，an＝3＋(n－1)d，bn＝qn－1.依题意有ban＋1ban＝q3＋ndq3＋n－d＝qd＝64＝26，S2b2＝＋dq＝64，①由(6＋d)q＝64知q为正有理数，故d为6的因子1,2,3,6之一，解①得d＝2，q＝8，故an＝3＋2(n－1)＝2n＋1，bn＝8n－1.(2)证明Sn＝3＋5＋…＋(2n＋1)＝n(n＋2)，∴1S1＋1S2＋…＋1Sn＝11×3＋12×4＋13×5＋…＋1nn＋＝121－13＋12－14＋13－15＋…＋1n－1n＋2＝121＋12－1n＋1－1n＋2＜34.递推数列及其应用递推数列问题一直是高考命题的特点，递推数列在求数列的通项、求和及其它应用中往往起至关重要的纽带作用，是解决后面问题的基础和台阶，此类题目需根据不同的题设条件，抓住数列递推关系式的特点，选择恰当的求解方法．【示例】►(2011·湖北)已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足：a1＝a(a≠0)，an＋1＝rSn(n∈N*，r∈R，r≠－1)．(1)求数列{an}的通项公式；(2)若存在k∈N*，使得Sk＋1，Sk，Sk＋2成等差数列，试判断：对于任意的m∈N*，且m≥2，am＋1，am，am＋2是否成等差数列，并证明你的结论．[满分解答](1)由已知an＋1＝rSn，可得an＋2＝rSn＋1，两式相减，得an＋2－an＋1＝r(Sn＋1－Sn)＝ran＋1，即an＋2＝(r＋1)an＋1.(2分)又a2＝ra1＝ra，所以，当r＝0时，数列{an}为：a,0，…，0，…；(3分)当r≠0，r≠－1时，由已知a≠0，所以an≠0(n∈N*)，于