2013年高考数学总复习 12-2 坐标系与参数方程 新人教B版

2013年高考数学总复习12-2坐标系与参数方程新人教B版1.(2011·北京海淀期中)在极坐标系下，已知圆C的方程为ρ＝2cosθ，则下列各点中，在圆C上的是()A．(1，－π3)B．(1，π6)C．(2，3π4)D．(2，5π4)[答案]A[解析]将备选答案代入圆C的方程，因为2cos(－π3)＝2×12＝1，所以A成立．2．(2010·湖南文，4)极坐标方程ρ＝cosθ和参数方程x＝－1－ty＝2＋t(t为参数)所表示的图形分别是()A．直线、直线B．直线、圆C．圆、圆D．圆、直线[答案]D[解析]由ρ＝cosθ得ρ2＝ρcosθ，∴x2＋y2－x＝0.此方程所表示的图形是圆．消去方程x＝－1－ty＝2＋t中的参数t可得，x＋y－1＝0，此方程所表示的图形是直线．3．(文)(2011·湖南十二校联考)若直线的参数方程为x＝1＋3ty＝2－3t(t为参数)，则直线的倾斜角为()A．30°B．60°C．120°D．150°[答案]D[解析]由直线的参数方程知，斜率k＝y－2x－1＝－3t3t＝－33＝tanθ，θ为直线的倾斜角，所以该直线的倾斜角为150°.(理)直线的参数方程为x＝tsin50°－1y＝－tcos50°(t为参数)，则直线的倾斜角为()A．40°B．50°C．140°D．130°[答案]C[解析]将直线的参数方程变形得，x＝－1－tcos140°y＝－tsin140°，∴倾斜角为140°.4．(文)(2011·皖中地区示范高中联考)在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为x＝ty＝t＋1(t∈R)，圆的参数方程为x＝cosθ＋1y＝sinθ(θ∈[0,2π))，则圆心C到直线l的距离为()A．0B．2C.2D.22[答案]C[解析]化直线l的参数方程x＝ty＝t＋1(t∈R)为普通方程为x－y＋1＝0，化圆的参数方程x＝cosθ＋1y＝sinθ(θ∈[0,2π))为普通方程为(x－1)2＋y2＝1，则圆心C(1,0)到直线l的距离为|1－0＋1|12＋－2＝2.(理)(2011·上海奉贤区摸底)已知点P(3，m)在以点F为焦点的抛物线x＝4t2y＝4t(t为参数)上，则|PF|＝()A．1B．2C．3D．4[答案]D[解析]将抛物线的参数方程化为普通方程为y2＝4x，则焦点F(1,0)，准线方程为x＝－1，又P(3，m)在抛物线上，由抛物线的定义知|PF|＝3－(－1)＝4.5．(文)(2011·北京市西城区高三模拟)在极坐标系中，过点(1,0)并且与极轴垂直的直线方程是()A．ρ＝cosθB．ρ＝sinθC．ρcosθ＝1D．ρsinθ＝1[答案]C[解析]过点(1,0)且与极轴垂直的直线，在直角坐标系中的方程为x＝1，所以其极坐标方程为ρcosθ＝1，故选C.(理)(2011·衡阳市联考)在极坐标系中，曲线ρcosθ＋ρsinθ＝2(0≤θ2π)与θ＝π4的交点的极坐标为()A．(1,1)B．(1，π4)C．(2，π4)D．(－2，π4)[答案]C[解析]将θ＝π4代入到ρcosθ＋ρsinθ＝2中得交点(2，π4)．[点评]本题也可以先化为直角坐标方程求解，但求出交点后还需要再化为极坐标，不如直接求解简便．6．抛物线x2－2y－6xsinθ－9cos2θ＋8cosθ＋9＝0的顶点的轨迹是(其中θ∈R)()A．圆B．椭圆C．抛物线D．双曲线[答案]B[解析]原方程变形为：y＝12(x－3sinθ)2＋4cosθ.设抛物线的顶点为(x，y)，则x＝3sinθy＝4cosθ，消去参数θ得轨迹方程为x29＋y216＝1.它是椭圆．7．(文)极坐标系中，点A在曲线ρ＝2sinθ上，点B在曲线ρcosθ＝－2上，则|AB|的最小值为________．[答案]1[解析]ρ＝2sinθ⇒ρ2＝2ρsinθ∴x2＋y2－2y＝0，即x2＋(y－1)2＝1；∵ρcosθ＝－2，∴x＝－2，易知圆心(0,1)到直线x＝－2的距离为2，圆半径为1，故|AB|min＝1.(理)(2011·安徽“江南十校”联考)在极坐标系中，直线ρsin(θ－π4)＝22与圆ρ＝2cosθ的位置关系是________．[答案]相离[解析]直线的直角坐标方程为x－y＋1＝0，圆的直角坐标方程为(x－1)2＋y2＝1，其圆心C(1,0)，半径r＝1.因为圆心到直线的距离d＝22＝21，故直线与圆相离．8．(文)(2010·湖南师大附中)已知曲线C1，C2的极坐标方程分别为ρcosθ＝3，ρ＝4cosθ(ρ≥0,0≤θπ2)，则曲线C1与C2交点的极坐标为________．[答案]23，π6[解析]化为直角坐标方程为x＝3和x2＋y2＝4x(y≥0)，故交点为(3，3)，其极坐标为23，π6.[点评]可直接解ρcosθ＝3ρ＝4cosθ，得ρ＝23θ＝π6.(理)(2010·广东文)在极坐标系(ρ，θ)(0≤θ＜2π)中，曲线ρ(cosθ＋sinθ)＝1与ρ(sinθ－cosθ)＝1的交点的极坐标为__________．[答案](1，π2)[解析]曲线ρ(cosθ＋sinθ)＝1化为直角坐标方程为x＋y＝1，ρ(sinθ－cosθ)＝1化为直角坐标方程为y－x＝1.联立方程组x＋y＝1y－x＝1，得x＝0y＝1，则交点为(0,1)，对应的极坐标为(1，π2)．[点评]可直接由两方程联立解出交点坐标，由ρcosθ＋ρsinθ＝1ρsinθ－ρcosθ＝1得，ρcosθ＝0ρsinθ＝1，∵ρ≠0，∴cosθ＝0，∴θ＝π2＋kπ(k∈Z)，∴sinθ＝±1，∵ρ0，∴sinθ＝1，∴θ＝π2＋2nπ(n∈Z)，ρ＝1，令n＝0得，交点的一个极坐标为(1，π2)．9．(文)直线x＝1＋4t，y＝－1－3t(t为参数)被曲线ρ＝2cos(θ＋π4)所截的弦长为________．[答案]75[解析]由x＝1＋4ty＝－1－3t得直线方程为3x＋4y＋1＝0，∵ρ＝2cos(θ＋π4)＝cosθ－sinθ，∴ρ2＝ρcosθ－ρsinθ，∴x2＋y2＝x－y，即(x－12)2＋(y＋12)2＝12.圆心到直线的距离d＝110，∴弦长＝2×12－1100＝75.(理)(2011·安徽皖南八校联考)已知直线l的参数方程是x＝1＋12ty＝32t(t为参数)，以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为ρ＝2cosθ＋4sinθ，则直线l被圆C所截得的弦长等于________．[答案]4[解析]依题意得，直线l的普通方程是y＝3(x－1)，即3x－y－3＝0；圆C的直角坐标方程是x2＋y2＝2x＋4y，即(x－1)2＋(y－2)2＝5.圆心C(1,2)到直线l的距离d＝|3×1－2－3|3＋1＝1，因此直线l被圆C所截得的弦长等于252－12＝4.[点评]∵(12)2＋(32)2＝1，∴可只将⊙C方程化为普通方程x2＋y2－2x－4y＝0，将x＝1＋12ty＝32t代入得t2－23t－1＝0，∴t1＋t2＝23，t1t2＝－1，∴|t1－t2|＝t1＋t22－4t1t2＝4，∴直线l被⊙C所截弦长为4.10．(文)(2010·吉林省调研)已知曲线C1：ρ＝2sinθ，曲线C2：x＝－35t＋2y＝45t(t为参数)．(1)化C1为直角坐标方程，化C2为普通方程；(2)若M为曲线C2与x轴的交点，N为曲线C1上一动点，求|MN|的最大值．[解析](1)曲线C1的方程化为ρ2＝2ρsinθ又x2＋y2＝ρ2，x＝ρcosθ，y＝ρsinθ所以曲线C1的直角坐标方程x2＋y2－2y＝0，因为曲线C2的参数方程是x＝－35t＋2y＝45t，消去参数t得曲线C2的普通方程4x＋3y－8＝0.(2)在曲线C2的方程中，令y＝0得x＝2，即M点的坐标为(2,0)，又曲线C1为圆，其圆心坐标为C1(0,1)，半径r＝1，则|MC1|＝5，∴|MN|≤|MC1|＋r＝5＋1，|MN|的最大值为5＋1.(理)(2010·哈师大附中)在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为：x＝1＋45ty＝－1－35t(t为参数)，若以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线C的极坐标方程为ρ＝2cos(θ＋π4)，求直线l被曲线C所截的弦长．[解析]将方程x＝1＋45ty＝－1－35t(t为参数)化为普通方程得，3x＋4y＋1＝0，将方程ρ＝2cosθ＋π4化为普通方程得，x2＋y2－x＋y＝0，它表示圆心为12，12，半径为22的圆，则圆心到直线的距离d＝110，弦长为2r2－d2＝212－1100＝75.11.(文)(2011·广东理，14)已知两曲线参数方程分别为x＝5cosθy＝sinθ(0≤θπ)和x＝54t2y＝t(t∈R)，它们的交点坐标为________．[答案]1，255[解析]x＝5cosθy＝sinθ(0≤θ≤π)化为普通方程为x25＋y2＝1(0≤y≤1)，而x＝54t2y＝t化为普通方程为x＝54y2，由x25＋y2＝yx＝54y2得x＝1y＝255，即交点坐标为1，255.(理)(2011·西安检测)已知直线l：x＝1－22ty＝1＋22t(t为参数)与圆C：x＝1＋2cosθy＝1＋2sinθ(θ为参数)，它们的公共点个数为________个．[答案]2[解析]直线l的普通方程为x＋y－2＝0，⊙C的圆心(1,1)，半径r＝2，圆心C在直线l上，∴l与⊙C相交．12．(文)(2011·咸阳模拟)若直线3x＋4y＋m＝0与圆x＝1＋cosθy＝－2＋sinθ(θ为参数)没有公共点，则实数m的取值范围是________．[答案](－∞，0)∪(10，＋∞)[解析]由条件知，圆心C(1，－2)到直线3x＋4y＋m＝0的距离大于圆的半径1，∴|3－8＋m|51，∴m0或m10.(理)已知直线l的参数方程：x＝2ty＝1＋4t(t为参数)，曲线C的极坐标方程：ρ＝22sinθ＋π4，求直线l被曲线C截得的弦长为________．[答案]2305[分析]可将参数方程和极坐标方程化为直角坐标方程求解；也可将曲线C的方程化为直角坐标方程后，将l方程代入利用t的几何意义求解．[解析]将直线l的参数方程化为普通方程为y＝2x＋1，将圆C的极坐标方程化为普通方程为(x－1)2＋(y－1)2＝2，从圆方程中可知：圆心C(1,1)，半径r＝2，所以圆心C到直线l的距离d＝|2×1－1＋1|22＋－2＝252＝r.所以直线l与圆C相交．所以直线l被圆C截得的弦长为2r2－d2＝22－45＝2305.13．(2011·天津理，11)已知抛物线C的参数方程为x＝8t2，y＝8t，(t为参数)，若斜率为1的直线经过抛物线C的焦点，且与圆(x－4)2＋y2＝r2(r0)相切，则r＝________.[答案]2[解析]根据抛物线C的参数方程x＝8t2y＝8t，得出y2＝8x，得出抛物线焦点坐标为(2,0)，所以直线方程：y＝x－2，利用圆心到直线距离等于半径，得出r＝22＝2.14．(2011·课标全国文，23)在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为x＝2cosα，y＝2＋2sinα.(α为参数)．M是C1上的动点，P点满足OP→＝2OM→，P点的轨迹为曲线C2.(1)求C2的方程；(2)在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线θ＝π3与C1的异于极点的交点为A，与C2的异于极点的交点为B，求|AB|.[解析](1)设P(x，y)，则由条件知M(x2，y2)．由于M点在C1上，所以