2013年高考数学总复习3-1导数的概念及运算但因为测试新人教B版

2013年高考数学总复习3-1导数的概念及运算但因为测试新人教B版1.(文)(2011·龙岩质检)f′(x)是f(x)＝13x3＋2x＋1的导函数，则f′(－1)的值是()A．1B．2C．3D．4[答案]C[解析]∵f′(x)＝x2＋2，∴f′(－1)＝3.(理)(2011·青岛质检)设f(x)＝xlnx，若f′(x0)＝2，则x0＝()A．e2B．eC.ln22D．ln2[答案]B[解析]f′(x)＝1＋lnx，∴f′(x0)＝1＋lnx0＝2，∴lnx0＝1，∴x0＝e，故选B.2．(2011·皖南八校联考)直线y＝kx＋b与曲线y＝x3＋ax＋1相切于点(2,3)，则b的值为()A．－3B．9C．－15D．－7[答案]C[解析]将点(2,3)分别代入曲线y＝x3＋ax＋1和直线y＝kx＋b，得a＝－3,2k＋b＝3.又k＝y′|x＝2＝(3x2－3)|x＝2＝9，∴b＝3－2k＝3－18＝－15.3．(文)(2011·广东省东莞市模拟)已知曲线y＝18x2的一条切线的斜率为12，则切点的横坐标为()A．4B．3C．2D.12[答案]C[解析]k＝y′＝14x＝12，∴x＝2.(理)(2011·广东华南师大附中测试)曲线y＝2x2在点P(1，2)处的切线方程是()A．4x－y－2＝0B．4x＋y－2＝0C．4x＋y＋2＝0D．4x－y＋2＝0[答案]A[解析]k＝y′|x＝1＝4x|x＝1＝4，∴切线方程为y－2＝4(x－1)，即4x－y－2＝0.4．(文)(2010·黑龙江省哈三中)已知y＝tanx，x∈0，π2，当y′＝2时，x等于()A.π3B.23πC.π4D.π6[答案]C[解析]y′＝(tanx)′＝sinxcosx′＝cos2x＋sin2xcos2x＝1cos2x＝2，∴cos2x＝12，∴cosx＝±22，∵x∈0，π2，∴x＝π4.(理)(2010·黑龙江省哈三中)已知y＝sinx1＋cosx，x∈(0，π)，当y′＝2时，x等于()A.π3B.2π3C.π4D.π6[答案]B[解析]y′＝cosx＋cosx－sinx－sinx＋cosx2＝11＋cosx＝2，∴cosx＝－12，∵x∈(0，π)，∴x＝2π3.5．(2011·山东淄博一中期末)曲线y＝13x3＋x在点1，43处的切线与坐标轴围成的三角形面积为()A．1B.19C.13D.23[答案]B[解析]∵y′＝x2＋1，∴k＝2，切线方程y－43＝2(x－1)，即6x－3y－2＝0，令x＝0得y＝－23，令y＝0得x＝13，∴S＝12×13×23＝19.6．(文)已知f(x)＝logax(a1)的导函数是f′(x)，记A＝f′(a)，B＝f(a＋1)－f(a)，C＝f′(a＋1)，则()A．ABCB．ACBC．BACD．CBA[答案]A[解析]记M(a，f(a))，N(a＋1，f(a＋1))，则由于B＝f(a＋1)－f(a)＝fa＋－faa＋－a，表示直线MN的斜率，A＝f′(a)表示函数f(x)＝logax在点M处的切线斜率；C＝f′(a＋1)表示函数f(x)＝logax在点N处的切线斜率．所以，ABC.(理)设函数f(x)＝sinωx＋π6－1(ω0)的导函数f′(x)的最大值为3，则f(x)图象的一条对称轴方程是()A．x＝π9B．x＝π6C．x＝π3D．x＝π2[答案]A[解析]f′(x)＝ωcosωx＋π6的最大值为3，即ω＝3，∴f(x)＝sin3x＋π6－1.由3x＋π6＝π2＋kπ得，x＝π9＋kπ3(k∈Z)．故A正确．7．如图，函数y＝f(x)的图象在点P(5，f(5))处的切线方程是y＝－x＋8，则f(5)＋f′(5)＝________.[答案]2[解析]由条件知f′(5)＝－1，又在点P处切线方程为y－f(5)＝－(x－5)，∴y＝－x＋5＋f(5)，即y＝－x＋8，∴5＋f(5)＝8，∴f(5)＝3，∴f(5)＋f′(5)＝2.8．(文)(2011·北京模拟)已知函数f(x)＝3x3＋2x2－1在区间(m,0)上总有f′(x)≤0成立，则m的取值范围为________．[答案][－49，0)[解析]∵f′(x)＝9x2＋4x≤0在(m,0)上恒成立，且f′(x)＝0的两根为x1＝0，x2＝－49，∴－49≤m0.(理)设a∈R，函数f(x)＝x3＋ax2＋(a－3)x的导函数是f′(x)，若f′(x)是偶函数，则曲线y＝f(x)在原点处的切线方程为________．[答案]y＝－3x[解析]f′(x)＝3x2＋2ax＋(a－3)，又f′(－x)＝f′(x)，即3x2－2ax＋(a－3)＝3x2＋2ax＋(a－3)对任意x∈R都成立，所以a＝0，f′(x)＝3x2－3，f′(0)＝－3，曲线y＝f(x)在原点处的切线方程为y＝－3x.9．(2011·济南模拟)设曲线y＝xn＋1(n∈N*)在点(1,1)处的切线与x轴的交点的横坐标为xn，令an＝lgxn，则a1＋a2＋…＋a99的值为________．[答案]－2[解析]点(1,1)在曲线y＝xn＋1(n∈N*)上，点(1,1)为切点，y′＝(n＋1)xn，故切线的斜率为k＝n＋1，曲线在点(1,1)处的切线方程y－1＝(n＋1)(x－1)，令y＝0得切点的横坐标为xn＝nn＋1，故a1＋a2＋…＋a99＝lg(x1x2…x99)＝lg(12×23×…×99100)＝lg1100＝－2.10．(文)设函数y＝ax3＋bx2＋cx＋d的图象与y轴交点为P，且曲线在P点处的切线方程为12x－y－4＝0.若函数在x＝2处取得极值0，试确定函数的解析式.[解析]∵y＝ax3＋bx2＋cx＋d的图象与y轴的交点为P(0，d)，又曲线在点P处的切线方程为y＝12x－4，P点坐标适合方程，从而d＝－4；又切线斜率k＝12，故在x＝0处的导数y′|x＝0＝12而y′|x＝0＝c，从而c＝12；又函数在x＝2处取得极值0，所以y′|x＝2＝0f＝0即12a＋4b＋12＝08a＋4b＋20＝0解得a＝2，b＝－9所以所求函数解析式为y＝2x3－9x2＋12x－4.(理)(2010·北京东城区)已知函数f(x)＝ax2＋blnx在x＝1处有极值12.(1)求a，b的值；(2)判断函数y＝f(x)的单调性并求出单调区间．[解析](1)因为函数f(x)＝ax2＋blnx，所以f′(x)＝2ax＋bx.又函数f(x)在x＝1处有极值12，所以f＝0f＝12，即2a＋b＝0a＝12，可得a＝12，b＝－1.(2)由(1)可知f(x)＝12x2－lnx，其定义域是(0，＋∞)，且f′(x)＝x－1x＝x＋x－x.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：x(0,1)1(1，＋∞)f′(x)－0＋f(x)↘极小值↗所以函数y＝f(x)的单调减区间是(0,1)，单调增区间是(1，＋∞).11.(文)(2011·聊城模拟)曲线y＝ex在点(2，e2)处的切线与坐标轴所围成的三角形的面积为()A.94e2B．2e2C．e2D.e22[答案]D[解析]y′|x＝2＝e2，∴切线方程为y－e2＝e2(x－2)，令x＝0得y＝－e2，令y＝0得x＝1，∴所求面积S＝e22.(理)(2011·湖南文，7)曲线y＝sinxsinx＋cosx－12在点M(π4，0)处的切线的斜率为()A．－12B.12C．－22D.22[答案]B[解析]∵y′＝cosxsinx＋cosx－sinxx－sinxx＋cosx2＝1x＋cosx2，∴y′|x＝π4＝12.12．(文)(2011·江西理，4)若f(x)＝x2－2x－4lnx，则f′(x)＞0的解集为()A．(0，＋∞)B．(－1,0)∪(2，＋∞)C．(2，＋∞)D．(－1,0)[答案]C[解析]因为f(x)＝x2－2x－4lnx，∴f′(x)＝2x－2－4x＝x2－x－x0，即x0x2－x－20，解得x2，故选C.(理)(2011·广东省汕头市四校联考)已知函数f(x)(x∈R)满足f(1)＝1，且f(x)的导函数f′(x)12，则f(x)x2＋12的解集为()A．{x|－1x1}B．{x|x－1}C．{x|x－1或x1}D．{x|x1}[答案]D[解析]令φ(x)＝f(x)－x2－12，则φ′(x)＝f′(x)－120，∴φ(x)在R上是减函数，φ(1)＝f(1)－12－12＝1－1＝0，∴φ(x)＝f(x)－x2－120的解集为{x|x1}，选D.13．(文)二次函数y＝f(x)的图象过原点，且它的导函数y＝f′(x)的图象是过第一、二、三象限的一条直线，则函数y＝f(x)的图象的顶点在()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限[答案]C[解析]由题意可设f(x)＝ax2＋bx，f′(x)＝2ax＋b，由于f′(x)图象是过第一、二、三象限的一条直线，故2a0，b0，则f(x)＝a(x＋b2a)2－b24a，顶点(－b2a，－b24a)在第三象限，故选C.(理)函数f(x)＝xcosx的导函数f′(x)在区间[－π，π]上的图象大致为()[答案]A[解析]∵f(x)＝xcosx，∴f′(x)＝cosx－xsinx，∴f′(－x)＝f′(x)，∴f′(x)为偶函数，排除C；∵f′(0)＝1，排除D；由f′π2＝－π20，f′(2π)＝10，排除B，故选A.14．(文)(2011·山东省济南市调研)已知函数f(x)的图象在点M(1，f(1))处的切线方程是2x－3y＋1＝0，则f(1)＋f′(1)＝________.[答案]53[解析]由题意知点M在f(x)的图象上，也在直线2x－3y＋1＝0上，∴2×1－3f(1)＋1＝0，∴f(1)＝1，又f′(1)＝23，∴f(1)＋f′(1)＝53.(理)(2011·朝阳区统考)若曲线f(x)＝ax3＋lnx存在垂直于y轴的切线，则实数a的取值范围是________．[答案](－∞，0)[解析]由题意，可知f′(x)＝3ax2＋1x，又因为存在垂直于y轴的切线，所以3ax2＋1x＝0⇒a＝－13x3(x0)⇒a∈(－∞，0)．15．(文)(2010·北京市延庆县模考)已知函数f(x)＝x3－(a＋b)x2＋abx，(0ab)．(1)若函数f(x)在点(1,0)处的切线的倾斜角为3π4，求a，b的值；(2)在(1)的条件下，求f(x)在区间[0,3]上的最值；(3)设f(x)在x＝s与x＝t处取得极值，其中st，求证：0satb.[解析](1)f′(x)＝3x2－2(a＋b)x＋ab，tan3π4＝－1.由条件得f＝0f＝－1，即1－a＋b＋ab＝03－a＋b＋ab＝－1，解得a＝1，b＝2或a＝2，b＝1，因为ab，所以a＝1，b＝2.(2)由(1)知f(x)＝x3－3x2＋2x，f′(x)＝3x2－6x＋2，令f′(x)＝3x2－6x＋2＝0，解得x1＝1－33，x2＝1＋33.在区间[0,3]上，x，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：x0(0，x1)x1(x1，x2)x2(x2,3)3f′(x)＋0－0＋f(x)0递增239递减－239递增6所以f(x)max＝6；f(x)min＝－239.(3)证明：f′(x)＝3x2－2(a＋b)x＋ab，依据题意知s，t为二次方程f′(x)＝0的两根．∵f′(0)＝ab0，f′(a)＝a2－ab＝a(a－b)0，f′(b)＝b2－ab＝b(b－a)0，∴f′(x)＝0在区间(0，a)与(a，b)内分别有一个根．∵st，∴0satb.(理)已知定义在正实数集上的函数f(x)＝12x2＋2ax，g(x)＝3a2lnx＋b，其中a0.设两曲线y＝f(x)，y＝g(x)有公共点，且在该点处的切线相同．(1)用a表示b，并求b的最大值