2013年高考数学总复习6-1数列的概念新人教B版

2013年高考数学总复习6-1数列的概念新人教B版1.(2011·沈阳六校模考、广东深圳一检)设数列{(－1)n}的前n项和为Sn，则对任意正整数n，Sn＝()A.n－n－1]2B.－n－1＋12C.－n＋12D.－n－12[答案]D[解析]因为数列{(－1)n}是首项与公比均为－1的等比数列，所以Sn＝－1－－n－1－－＝－n－12，选D.[点评]直接检验，S1＝－1，排除B，C；S3＝－1，排除A，故选D.2．(文)(2011·许昌月考)已知数列{an}的通项公式是an＝2n3n＋1，那么这个数列是()A．递增数列B．递减数列C．摆动数列D．常数列[答案]A[解析]an＝23－2an＋3，∵n∈N*，∴an随n的增大而增大，故选A.[点评]上面解答过程利用了反比例函数y＝－1x的单调性，也可以直接验证an＋1－an0.(理)已知数列{an}的通项公式是an＝n2＋kn＋2，若对任意n∈N*，都有an＋1an成立，则实数k的取值范围是()A．k0B．k－1C．k－2D．k－3[答案]D[解析]由an＋1an知道数列是一个递增数列，又因为通项公式an＝n2＋kn＋2，可以看作是关于n的二次函数，考虑到n∈N*，所以－k232，即得k－3，故选D.3．(文)(2011·惠州二模，天津南开中学月考)已知整数按如下规律排成一列：(1,1)，(1,2)，(2,1)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，……则第60个数对是()A．(5,5)B．(5,6)C．(5,7)D．(5,8)[答案]C[解析]根据题中规律知，(1,1)为第1项，(1,2)为第2项，(1,3)为第4项，…，(1,11)为第56项，因此第60项为(5,7)．(理)将数列{3n－1}按“第n组有n个数”的规则分组如下：(1)，(3,9)，(27,81,243)，…，则第100组中的第一个数是()A．34950B．35000C．35010D．35050[答案]A[解析]由“第n组有n个数”的规则分组中，各组数的个数构成一个以1为首项，公差为1的等差数列，前99组数的个数共有＋2＝4950个，故第100组中的第1个数是34950，选A.4．(2011·太原模拟)已知正数数列{an}对任意p，q∈N*，都有ap＋q＝ap·aq，若a2＝4，则a9＝()A．256B．512C．1024D．502[答案]B[解析]依题意得a2＝a1·a1＝4，a1＝2(a1＝－2舍去)，a4＝a2·a2＝16，a8＝a4·a4＝16×16＝256，a9＝a1·a8＝2×256＝512，故选B.5．(2011·三亚联考)已知数列{an}的通项公式为an＝log3nn＋1(n∈N*)，设其前n项和为Sn，则使Sn－4成立的最小自然数n等于()A．83B．82C．81D．80[答案]C[解析]∵an＝log3nn＋1＝log3n－log3(n＋1)，∵Sn＝log31－log32＋log32－log33＋…＋log3n－log3(n＋1)＝－log3(n＋1)－4，解得n34－1＝80.6．(文)在数列{an}中，已知an＋1＋an－1＝2an(n∈N＋，n≥2)，若平面上的三个不共线的向量OA→、OB→、OC→，满足OC→＝a1005OA→＋a1006OB→，三点A、B、C共线，且直线不过O点，则S2010等于()A．1005B．1006C．2010D．2011[答案]A[解析]由条件知{an}成等差数列，∵A、B、C共线，∴a1005＋a1006＝1，∴S2010＝a1＋a20102＝1005(a1005＋a1006)＝1005.(理)(2011·太原模考)设数列{an}满足a1＋2a2＝3，且对任意的n∈N*，点列{Pn(n，an)}恒满足PnPn＋1＝(1,2)，则数列{an}的前n项和Sn为()A．n(n－43)B．n(n－34)C．n(n－23)D．n(n－12)[答案]A[解析]设Pn＋1(n＋1，an＋1)，则PnPn＋1＝(1，an＋1－an)＝(1,2)，即an＋1－an＝2，所以数列{an}是以2为公差的等差数列．又a1＋2a2＝3，所以a1＝－13，所以Sn＝n(n－43)，选A.7．(2011·合肥三检)已知数列{an}中，a1＝12，an＋1＝1－1an(n≥2)，则a16＝________.[答案]12[解析]由题可知a2＝1－1a1＝－1，a3＝1－1a2＝2，a4＝1－1a3＝12，∴此数列是以3为周期的周期数列，∴a16＝a3×5＋1＝a1＝12.8．(文)(2011·吉林部分中学质量检测)已知数列{an}的前n项和Sn＝2n－3，则数列{an}的通项公式为________．[答案]an＝－1，n＝12n－1，n≥2[解析]当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n－1，当n＝1时，a1＝S1＝－1，所以an＝－1，n＝12n－1，n≥2.(理)(2011·湖南湘西联考)设关于x的不等式x2－x2nx(n∈N*)的解集中整数的个数为an，则数列{an}的前n项和Sn＝________.[答案]n2＋n(n∈N*)[解析]由x2－x2nx(n∈N*)得0x2n＋1，则an＝2n，所以Sn＝n2＋n.9．(文)(2010·河东区模拟)设数列{an}的前n项和为Sn，对于所有n∈N*，Sn＝a1n－2，且a4＝54，则a1＝______.[答案]2[解析]a4＝S4－S3＝40a1－13a1＝27a1＝54，∴a1＝2.(理)(2010·山东济宁模拟)已知数列2008,2009,1，－2008，－2009，…这个数列的特点是从第二项起，每一项都等于它的前后两项之和，则这个数列的前2011项之和S2011等于________．[答案]2008[解析]由题意an＋1＋an－1＝an(n≥2)，an＋an＋2＝an＋1，两式相加得an＋2＝－an－1，∴an＋3＝－an，∴an＋6＝an，即{an}是以6为周期的数列．∵2011＝335×6＋1，a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＝0，∴a1＋a2＋…＋a2011＝335×0＋a1＝2008.10．(文)已知数列{an}的各项均为正数，Sn为其前n项和，对于任意的n∈N*满足关系式2Sn＝3an－3.(1)求数列{an}的通项公式；(2)设数列{bn}的通项公式是bn＝1log3an·log3an＋1，前n项和为Tn，求证：对于任意的正数n，总有Tn1.[解析](1)由已知得2Sn＝3an－32Sn－1＝3an－1－3(n≥2)．故2(Sn－Sn－1)＝3an－3an－1，故an＝3an－1(n≥2)．故数列{an}为等比数列，且公比q＝3.又当n＝1时，2a1＝3a1－3，∴a1＝3.∴an＝3n.(2)证明：bn＝1nn＋＝1n－1n＋1.∴Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝1－12＋12－13＋…＋1n－1n＋1＝1－1n＋11.(理)(2011·邯郸模拟)已知数列{an}满足前n项和Sn＝n2＋1，数列{bn}满足bn＝2an＋1，且前n项和为Tn，设cn＝T2n＋1－Tn.(1)求数列{bn}的通项公式；(2)判断数列{cn}的增减性．[解析](1)Sn＝n2＋1，∴an＝Sn－Sn－1＝(n2＋1)－[(n－1)2＋1]＝2n－1(n≥2)，当n＝1时，a1＝S1＝2，∵bn＝2an＋1，∴b1＝2a1＋1＝23，n≥2时，bn＝2n－＋1＝1n，∴bn＝23n＝1nn.(2)由题设知，Tn＝b1＋b2＋…＋bn，T2n＋1＝b1＋b2＋…＋b2n＋1，∴cn＝T2n＋1－Tn＝bn＋1＋bn＋2＋…＋b2n＋1，∴cn＋1－cn＝(bn＋2＋bn＋3＋…＋b2n＋3)－(bn＋1＋bn＋2＋…＋b2n＋1)＝b2n＋2＋b2n＋3－bn＋1＝12n＋2＋12n＋3－1n＋112n＋2＋12n＋2－1n＋1＝0，∴cn＋1cn，即数列{an}为递减数列.11.(文)下图是用同样规格的黑、白两色正方形瓷砖铺设的若干图案，则按此规律第n个图案中需用黑色瓷砖的块数为(用含n的代数式表示)()A．4nB．4n＋1C．4n－3D．4n＋8[答案]D[解析]第(1)，(2)，(3)个图案黑色瓷砖数依次为3×5－3＝12；4×6－2×4＝16；5×7－3×5＝20，代入选项验证可得答案为D.(理)(2011·福州一模)把1,3,6,10,15,21这些数叫做三角形数，这是因为这些数目的点子可以排成一个正三角形(如图所示)．则第七个三角形数是()A．27B．28C．29D．30[答案]B[分析]观察三角形数的增长规律，可以发现每一项与它的前一项多的点数正好是本身的序号，所以根据这个规律计算即可．[解析]根据三角形数的增长规律可知第七个三角形数是1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＝28.12．(2011·赣州市摸底、大连模拟)设a1，a2，…，a50是从－1，0,1这三个整数中取值的数列，若a1＋a2＋…＋a50＝9，且(a1＋1)2＋(a2＋1)2＋…＋(a50＋1)2＝107，则a1，a2，…，a50中数字1的个数为()A．24B．15C．14D．11[答案]A[解析]a1＋a2＋…＋a50＝9a1＋2＋a2＋2＋…＋a50＋2＝107⇒a21＋a22＋…＋a250＝39.故a1，a2，…，a50中有11个零，设有x个1，y个－1，则x＋y＝39x－y＝9⇒x＝24，y＝15.故选A.13．(文)(2011·辽宁大连模拟)数列{an}中，a1＝2，且an＋1＝an＋2n(n∈N*)，则a2010＝()A．22010－1B．22010C．22010＋2D．22011－1[答案]B[解析]由条件知an＋1－an＝2n，a1＝2，∴an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1＝2n－1＋2n－2＋…＋22＋2＋2＝n－1－2－1＋2＝2n，∴a2010＝22010.(理)(2011·大同市模拟)已知定义在R上的函数f(x)，g(x)满足fxgx＝ax，且f′(x)g(x)f(x)g′(x)，fg＋f－g－＝52，若有穷数列{fngn}(n∈N*)的前n项和等于3132，则n等于()A．4B．5C．6D．7[答案]B[解析]f′(x)g(x)f(x)g′(x)⇒fxgx－fxgx[gx20⇒[fxgx]′0⇒0a1，fg＋f－g－＝52⇒a＋a－1＝52⇒2a2－5a＋2＝0⇒a＝12或a＝2(舍去)，∴fngn＝(12)n，∴{fngn}(n∈N*)是以12为首项，12为公比的等比数列．∴12[1－12n]1－12＝3132，∴(12)n＝132，∴n＝5.故选B.14．(文)已知f(x)＝sinπx2，an＝f(n)＋f′(n)，数列{an}的前n项和为Sn，则S2013＝________.[答案]1[解析]f′(x)＝π2cosπx2，an＝sinnπ2＋π2cosnπ2，∴a1＝1，a2＝－π2，a3＝－1，a4＝π2，且{an}的周期为4，又2013＝503×4＋1且a1＋a2＋a3＋a4＝0，∴S2013＝503×0＋a1＝1.(理)(2011·山西忻州市联考)数列{an}中，a1＝35，an＋1－an＝2n－1(n∈N*)，则ann的最小值是________．[答案]10[解析]由an＋1－an＝2n－1可知，当n≥2时，an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋(an－2－an－3)＋…＋(a2－a1)＋a1＝[2(n－1)－1]＋[2(n－2)－1]＋[2(n－3)－1]＋…＋(2×1－1)＋35＝2[1＋2＋3＋…＋(n－1)]－(n－1)＋35＝n2－2n＋36.∴ann＝n2－2n＋36n＝n＋36n－2≥2×n·36n－2＝10，当且仅当n＝6时，取等号．15．(文)(2010·吉林市质检