2013年高考数学总复习阶段性测试题三新人教B版

阶段性测试题三(导数及其应用)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。满分150分。考试时间120分钟。第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1．(2011～2012·北京西城区期末)设函数f(x)＝xsinx的导函数为f′(x)，则f′(x)等于()A．xsinx＋xcosxB．xcosx－xsinxC．sinx－xcosxD．sinx＋xcosx[答案]D[解析]f′(x)＝x′sinx＋x(sinx)′＝sinx＋xcosx，故选D.2．(2011～2012·滨州市沾化一中期末)曲线y＝4x－x3在点(－1，－3)处的切线方程是()A．y＝7x＋4B．y＝x－4C．y＝7x＋2D．y＝x－2[答案]D[解析]y′|x＝－1＝(4－3x2)|x＝－1＝1，∴切线方程为y＋3＝x＋1，即y＝x－2.3．(2011～2012·东营市期末)函数f(x)＝ex－x(e为自然对数的底数)在区间[－1,1]上的最大值是()A．1＋1eB．1C．e＋1D．e－1[答案]D[解析]f′(x)＝ex－1，当x0时，f′(x)0，f(x)为增函数，当x0时，f′(x)0，f(x)为减函数，∴x∈[－1,1]时，f(x)的最小值为f(0)＝e0－0＝1，又f(－1)＝1e＋132，f(1)＝e－12.5－1＝32，∴最大值为e－1.4．(2011～2012·泉州五中模拟)已知二次函数f(x)的图象如图所示，则其导函数f′(x)的图象大致形状是()[答案]C[解析]设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，∵二次函数的图象开口向上，∴a0，又对称轴为x＝1，即－b2a＝1，∴b＝－2a0，f′(x)＝2ax＋b，应是增函数，排除A、B，其纵截距为负值，排除D，故选C.5．(2011～2012·广东韶关一调)函数y＝xex的最小值是()A．－1B．－eC．－1eD．不存在[答案]C[解析]y′＝ex(1＋x)，由y′0得x－1，由y′0得x－1，∴x＝－1时，ymin＝－1e.6．(2011～2012·豫南九校联考)设曲线y＝x＋1x－1在点(3,2)处的切线与直线ax＋y＋3＝0垂直，则a＝()A．－2B．－12C.12D．2[答案]A[解析]y′＝－2x－2，y′|x＝3＝－12，∵(－12)·(－a)＝－1，∴a＝－2.7．(2011～2012·厦门市质检)函数y＝(3－x2)ex的单调递增区间是()A．(－∞，0)B．(－∞，－3)和(1，＋∞)C．(0，＋∞)D．(－3,1)[答案]D[解析]y′＝(－2x)·ex＋(3－x2)·ex＝－(x2＋2x－3)ex，由y′0得，x2＋2x－30，∴－3x1，故选D.8．(文)点P是曲线y＝2－ln2x上任意一点，则点P到直线y＝－x的最小距离为()A.542B.342C.3－2ln22D.3－ln22[答案]D[解析]点P(x,2－ln2x)到直线x＋y＝0的距离d＝|x＋2－ln2x|2，令f(x)＝x＋2－ln2x(x0)，则f′(x)＝1－1x，故f(x)在x＝1处取得极小值3－ln2，∴f(x)≥3－ln20，∴d≥3－ln22.(理)设曲线y＝1＋cosxsinx在点π2，1处的切线与直线x－ay＋1＝0平行，则实数a等于()[来源:学,科,网Z,X,X,K]A．－1B.12C．－2D．2[答案]A[解析]∵y′＝－sin2x－＋cosxxsin2x＝－1－cosxsin2x∴f′π2＝－1，由条件知1a＝－1，∴a＝－1，故选A.9．(文)若关于x的不等式x3－3x2－9x＋2≥m对任意x∈[－2,2]恒成立，则m的取值范围是()A．(－∞，7]B．(－∞，－20]C．(－∞，0]D．[－12,7][答案]B[解析]令f(x)＝x3－3x2－9x＋2，则f′(x)＝3x2－6x－9，令f′(x)＝0得x＝－1或x＝3(舍去)．∵f(－1)＝7，f(－2)＝0，f(2)＝－20.∴f(x)的最小值为f(2)＝－20，故m≤－20，综上可知应选B.(理)已知曲线C：f(x)＝x3－ax＋a，若过曲线C外一点A(1,0)引曲线C的两条切线，它们的倾斜角互补，则a的值为()A.278B．－2C．2D．－278[答案]A[分析]由三次函数图象可知，切线的斜率一定存在，故只需处理好“导数值”与“斜率”间的关系即可．[解析]设切点坐标为(t，t3－at＋a)．切线的斜率为k＝y′|x＝t＝3t2－a①所以切线方程为y－(t3－at＋a)＝(3t2－a)(x－t)②将点(1,0)代入②式得－(t3－at＋a)＝(3t2－a)(1－t)，解之得：t＝0或t＝32.分别将t＝0和t＝32代入①式，得k＝－a和k＝274－a，由它们互为相反数得，a＝278.10．(2011～2012·成都市双流中学月考)函数y＝f(x)在定义域(－32，3)内的图象如图所示，记y＝f(x)的导函数为y＝f′(x)，则不等式f′(x)≤0的解集为()A．[－1，12]∪[43，83]B．[－13，1]∪[2,3)C．(－32，12]∪[1,2)D．(－32，－13]∪[12，43)∪[43，3)[答案]B[解析]∵f′(x)≤0，∴f(x)单调递减，观察图象可见f(x)在[－13，1]上和[2,3)上单调递减，故选B.11．(2011～2012·大庆铁人中学期末)已知点P在曲线y＝x3－3x上移动，在点P处的切线倾斜角为α，则α的取值范围是()A．[0，π2]B．[2π3，π)C．[0，π2)∪[2π3，π)D．[0，π2)∪[5π6，π)[答案]C[解析]y′＝3x2－3≥－3，由导数的几何意义及直线倾斜角的定义知tanα≥－3，∴0≤απ2或2π3≤απ.12．(2011～2012·辽宁本溪一中、庄河高中联考)已知奇函数f(x)的定义域为(－2,2)，导函数为f′(x)＝2＋cosx，且f(0)＝0，则满足f(1＋x)＋f(x－x2)0的实数x的取值范围为()A．(－1,1)B．(－1,1＋2)C．(1－2，1)D．(1－2，1＋2)[答案]C[解析]∵f′(x)＝2＋cosx0，∴f(x)在(－2,2)上为增函数，又∵f(x)为奇函数，f(1＋x)＋f(x－x2)0，∴f(1＋x)f(x2－x)，∴－21＋x2－2x2－x21＋xx2－x由(1)得，－3x1；由(2)得，－1x2；由(3)得1－2x1＋2，∴1－2x1，故选C.第Ⅱ卷(非选择题共90分)二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分，把正确答案填在题中横线上．)13．(2011～2012·南通市调研)曲线C：y＝xlnx在点M(e，e)处的切线方程为________．[答案]y＝2x－e[解析]y′|x＝e＝(lnx＋1)|x＝e＝2，∴切线方程为y－e＝2(x－e)，即y＝2x－e.14．(文)已知函数f(x)＝(m－2)x2＋(m2－4)x＋m是偶函数，函数g(x)＝－x3＋2x2＋mx＋5在(－∞，＋∞)内单调递减，则实数m等于________．[答案]－2[解析]∵f(x)＝(m－2)x2＋(m2－4)x＋m是偶函数，∴m2－4＝0，∴m＝±2.∵g(x)在(－∞，＋∞)内单调递减，∴g′(x)＝－3x2＋4x＋m≤0恒成立，则16＋12m≤0，解得m≤－43，∴m＝－2.(理)设n＝12(3x2－2)dx，则(x－2x)n展开式中含x2项的系数是________．[答案]40[解析]∵(x3－2x)′＝3x2－2，∴n＝12(3x2－2)dx＝(x3－2x)|21＝(23－2×2)－(1－2)＝5.∴(x－2x)5的通项公式为Tr＋1＝Cr5x5－r(－2x)r＝(－2)rCr5x5－3r2，令5－3r2＝2，得r＝2，∴x2项的系数是(－2)2C25＝40.15．(2011～2012·开封市模拟)双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的渐近线与抛物线y＝x2＋1相切，则双曲线的离心率是________．[答案]5[解析]设y＝bax与抛物线的切点为(x0，y0)，则y20＝x20＋1，∵y′|x＝x0＝2x0，∴切线方程为y－y0＝2x0(x－x0)，即y－x20－1＝2x0x－2x20，即y＝2x0x＋1－x20，由此可得1－x20＝0ba＝2x0，∵ba0，∴x00，∴x0＝1，∴ba＝2，∴c2＝a2＋b2＝a2＋(2a)2＝5a2，∴e2＝5，∵e1，∴e＝5.16．(文)(2011～2012·莆田一中质检)曲线y＝x3＋x－2在点P处的切线平行于直线y＝4x－1，则点P的坐标为________．[答案](1,0)或(－1，－4)[解析]设P(x0，y0)，则y′|x＝x0＝(3x2＋1)|x＝x0＝3x20＋1，令3x20＋1＝4，∴x0＝±1，当x0＝1时，y0＝0，当x0＝－1时，y0＝－4，∴点P坐标为(1,0)或(－1，－4)．(理)(2011～2012·黄冈市期末)对于三次函数y＝ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0)，给出定义：设f′(x)是函数y＝f(x)的导数，f″(x)是f′(x)的导数，若方程f″(x)＝0有实数解x0，则称点(x0，f(x0))为函数y＝f(x)的“拐点”．某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心．若f(x)＝13x3－12x2＋3x－512，请你根据这一发现，求：(1)函数f(x)＝13x3－12x2＋3x－512的对称中心为________；(2)计算f(12011)＋f(22011)＋f(32011)＋f(42011)＋…＋f(20102011)＝________.[答案](1)(12，1)(2)2010[解析]f′(x)＝x2－x＋3，f″(x)＝2x－1，由2x－1＝0得x＝12，f(12)＝13×(12)3－12×(12)2＋3×12－512＝1，由拐点的定义知f(x)的拐点即对称中心为(12，1)．∴f(k2011)＋f(1－k2011)＝f(k2011)＋f(2011－k2011)＝2(k＝1，2，…，10)，∴f(12011)＋f(22011)＋…＋f(20102011)＝[f(12011)＋f(20102011)]＋[f(22011)＋f(20092011)]＋…＋[f(10052011)＋f(10062011)]＝2×1005＝2010.三、解答题(本大题共6个小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．)17．(本小题满分12分)(文)(2011～2012·吉林省延吉市质检)已知函数f(x)＝x2＋alnx.(1)当a＝－2e时，求函数f(x)的单调区间和极值；(2)若函数g(x)＝f(x)＋2x在[1,4]上是减函数，求实数a的取值范围．[解析](1)函数f(x)的定义域为(0，＋∞)．当a＝－2e时，f′(x)＝2x－2ex＝x＋ex－ex.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下：x(0，e)e(e，＋∞)f′(x)－0＋f(x)↘极小值↗由上表可知，函数f(x)的单调递减区间是(0，e)；单调递增区间是(e，＋∞)．极小值是f(e)＝0.(2)由g(x)＝x2＋alnx＋2x，得g′(x)＝2x＋ax－2x2.又函数g(x)＝x2＋alnx＋2x在[1,4]上是单调减函数，则g′(x)≤0在[1,4]上恒成立，所以不等式2x－2x2＋ax≤0在[1,4]上恒成立．即a≤2x－2x2在[1,4]上恒成立．又φ(x)＝2x－2x2在[1,4]上为减函数，所以φ(x)的最小值为φ(4)＝－632.所以a≤－632.(理)(2011～2012·长安一中、高新一中、交大附中、师大附中、西安中学模拟)已知函数f(x)＝12x2－ax＋