2013年高考试题四川卷(理科数学)试题及每个题的详细解答

2013年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（四川卷）第Ⅰ卷一、选择题1．设集合A＝{x|x＋2＝0}，集合B＝{x|x2－4＝0}，则A∩B等于()A．{－2}B．{2}C．{－2,2}D．∅答案A解析A＝{x|x＋2＝0}＝{－2}，B＝{x|x2－4＝0}＝{－2，2}，∴A∩B＝{－2}∩{－2,2}＝{－2}，选A.2．如图，在复平面内，点A表示复数z，则图中表示z的共轭复数的点()A．AB．BC．CD．D答案B解析表示复数z的点A与表示z的共轭复数的点关于x轴对称，∴B点表示z.选B.3．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的直观图可以是()答案D解析由三视图可知上部是一个圆台，下部是一个圆柱，选D.4．设x∈Z，集合A是奇数集，集合B是偶数集．若命题p：∀x∈A,2x∈B，则()A．綈p：∀x∈A,2x∈BB．綈p：∀x∉A,2x∉BC．綈p：∃x∉A,2x∈BD．綈p：∃x∈A,2x∉B答案D解析命题p：∀x∈A,2x∈B是一个全称命题，其命题的否定綈p应为∃x∈A,2x∉B，选D.5．函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)(ω0，－π2φπ2)的部分图象如图所示，则ω，φ的值分别是()A．2，－π3B．2，－π6C．4，－π6D．4，π3答案A解析34T＝5π12－－π3，T＝π，∴ω＝2，∴2×5π12＋φ＝2kπ＋π2，k∈Z，∴φ＝2kπ－π3，又φ∈－π2，π2，∴φ＝－π3，选A.6．抛物线y2＝4x的焦点到双曲线x2－y23＝1的渐近线的距离是()A.12B.32C．1D.3答案B解析抛物线y2＝4x的焦点F(1,0)，双曲线x2－y23＝1的渐近线是y＝±3x，即3x±y＝0，∴所求距离为|3±0|32＋±12＝32.选B.7．函数y＝x23x－1的图象大致是()答案B解析对于函数y＝x23x－1定义域为{x∈R，且x≠0}去掉A，当x0时，3x－10，x20，∴y0，去掉C、D，选B.8．从1,3,5,7,9这五个数中，每次取出两个不同的数分别记为a，b，共可得到lga－lgb的不同值的个数是()A．9B．10C．18D．20答案C解析由于lga－lgb＝lgab(a0，b0)，从1,3,5,7,9中任取两个作为ab有A25种，又13与39相同，31与93相同，∴lga－lgb的不同值的个数有A25－2＝20－2＝18，选C.9．节日前夕，小李在家门前的树上挂了两串彩灯，这两串彩灯的第一次闪亮相互独立，且都在通电后的4秒内任一时刻等可能发生，然后每串彩灯以4秒为间隔闪亮，那么这两串彩灯同时通电后，它们第一次闪亮的时刻相差不超过2秒的概率是()A.14B.12C.34D.78答案C解析设在通电后的4秒钟内，甲串彩灯、乙串彩灯第一次亮的时刻为X、Y，X、Y相互独立，由题意可知0≤X≤40≤Y≤4|X－Y|≤2，如图所示．∴两串彩灯第一次亮的时间相差不超过2秒的概率为P(|X－Y|≤2)＝S正方形－2S△ABCS正方形＝4×4－2×12×2×24×4＝1216＝34.10．设函数f(x)＝ex＋x－a(a∈R，e为自然对数的底数)，若曲线y＝sinx上存在点(x0，y0)使得f(f(y0))＝y0，则a的取值范围是()A．[1，e]B．[e－1－1,1]C．[1，e＋1]D．[e－1－1，e＋1]答案A解析由于f(x)＝ex＋x－a(a∈R)在其定义域上为单调递增函数，所以其反函数f－1(x)存在，由于y0∈[－1,1]，且f(f(y0))＝y0，∴f－1(f(f(y0)))＝f－1(y0)，即f(y0)＝f－1(y0)，∴y＝f(x)与y＝f－1(x)的交点在y＝x上．即ex＋x－a＝x在x∈[－1,1]上有解，即ex＋x－a＝x在[0,1]上有解．∴a＝ex＋x－x2，x∈[0,1]，a′＝ex－2x＋1，当0x1时，a′＝ex－2x＋1e0－2×1＋1＝0，∴a＝ex＋x－x2在[0,1]上递增，当x＝0时，a最小＝1；当x＝1时，a最大＝e，故a的取值范围是[1，e]，选A.第二卷二、填空题11．二项式(x＋y)3的展开式中，含x2y3的项的系数是________．(用数字作答)答案10解析Tr＋1＝Cr5x5－ryr(r＝0,1,2,3,4,5)，由题意知5－r＝2r＝3，∴含x2y3的系数为C35＝5×4×33×2×1＝10.12．在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，AB→＋AD→＝λAO→，则λ＝________.答案2解析由于ABCD为平行四边形，对角线AC与BD交于点O，∴AB→＋AD→＝AC→＝2AO→，∴λ＝2.13．设sin2α＝－sinα，α∈π2，π，则tan2α的值是________．答案3解析∵sin2α＝－sinα，∴sinα(2cosα＋1)＝0，又α∈π2，π，∴sinα≠0,2cosα＋1＝0即cosα＝－12，sinα＝32，tanα＝－3，∴tan2α＝2tanα1－tan2α＝－231－－32＝3.14．已知f(x)是定义域为R的偶函数，当x≥0时，f(x)＝x2－4x，那么，不等式f(x＋2)5的解集是________．答案{x|－7x3}解析令x0，则－x0，∵x≥0时，f(x)＝x2－4x，∴f(－x)＝(－x)2－4(－x)＝x2＋4x，又f(x)为偶函数，∴f(－x)＝f(x)，∴x0时，f(x)＝x2＋4x，故有f(x)＝x2－4x，x≥0，x2＋4x，x＜0.再求f(x)5的解，由x≥0，x2－4x5，得0≤x＜5；由x0，x2＋4x5，得－5x0，即f(x)5的解为(－5,5)．由于f(x)向左平移两个单位即得f(x＋2)，故f(x＋2)5的解集为{x|－7x3}．15．设P1，P2，…，Pn为平面α内的n个点，在平面α内的所有点中，若点P到点P1，P2，…，Pn的距离之和最小，则称点P为点P1，P2，…，Pn的一个“中位点”．例如，线段AB上的任意点都是端点A、B的中位点．现有下列命题：①若三个点A，B，C共线，C在线段AB上，则C是A，B，C的中位点；②直角三角形斜边的中点是该直角三角形三个顶点的中位点；③若四个点A，B，C，D共线，则它们的中位点存在且唯一；④梯形对角线的交点是该梯形四个顶点的唯一中位点．其中的真命题是________．(写出所有真命题的序号)答案①④解析①正确，因为C点到A、B的距离之和小于AB上其它点到A、B的距离之和；②不正确，因为直角三角形斜边上的点到三个顶点的距离是可变的；③不正确，不妨认为B、C在线段AD上，则线段BC上的任一点到A、B、C、D距离之和均最小；④正确，每条对角线上的点到其两端点的距离之和最小，所以交点到梯形四个顶点的距离之和最小．三、解答题16．在等差数列{an}中，a1＋a3＝8，且a4为a2和a9的等比中项，求数列{an}的首项、公差及前n项和．解设该数列公差为d，前n项和为Sn，由已知，可得2a1＋2d＝8，(a1＋3d)2＝(a1＋d)(a1＋8d)．所以，a1＋d＝4，d(d－3a1)＝0，解得a1＝4，d＝0，或a1＝1，d＝3，即数列{an}的首项为4，公差为0，或首项为1，公差为3.所以，数列{an}的前n项和Sn＝4n或Sn＝3n2－n2.17．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2cos2A－B2cosB－sin(A－B)sinB＋cos(A＋C)＝－35.(1)求cosA的值；(2)若a＝42，b＝5，求向量BA→在BC→方向上的投影．解(1)由2cos2A－B2cosB－sin(A－B)sinB＋cos(A＋C)＝－35，得[cos(A－B)＋1]cosB－sin(A－B)sinB－cosB＝－35，即cos(A－B)cosB－sin(A－B)sinB＝－35.则cos(A－B＋B)＝－35，即cosA＝－35.(2)由cosA＝－35，0Aπ，得sinA＝45，由正弦定理，有asinA＝bsinB，所以，sinB＝bsinAa＝22.由题知ab，则AB，故B＝π4，根据余弦定理，有(42)2＝52＋c2－2×5c×－35，解得c＝1或c＝－7(舍去)．故向量BA→在BC→方向上的投影为|BA→|cosB＝22.18．某算法的程序框图如图所示，其中输入的变量x在1,2,3，…，24这24个整数中等可能随机产生．(1)分别求出按程序框图正确编程运行时输出y的值为i的概率Pi(i＝1,2,3)；(2)甲、乙两同学依据自己对程序框图的理解，各自编写程序重复运行n次后，统计记录了输出y的值为i(i＝1,2,3)的频数，以下是甲、乙所作频数统计表的部分数据．甲的频数统计表(部分)运行次数n输出y的值为1的频数输出y的值为2的频数输出y的值为3的频数3014610…………21001027376697乙的频数统计表(部分)当n＝2100时，根据表中的数据，分别写出甲、乙所编程序各自输出y的值为i(i＝1,2,3)的频率(用分数表示)，并判断两位同学中哪一位所编写程序符合算法要求的可能性较大；(3)将按程序框图正确编写的程序运行3次，求输出y的值为2的次数ξ的分布列及数学期望．解(1)变量x是在1,2,3，…，24这24个整数中随机产生的一个数，共有24种可能．当x从1,3,5,7,9,11,13,15,17,19,21,23这12个数中产生时，输出y的值为1，故P1＝12；当x从2,4,8,10,14,16,20,22这8个数中产生时，输出y的值为2，故P2＝13；当x从6,12,18,24这4个数中产生时，输出y的值为3，故P3＝16.所以，输出y的值为1的概率为12，输出y的值为2的概率为13，输出y的值为3的概率为16.(2)当n＝2100时，甲、乙所编程序各自输出y的值为i(i＝1,2,3)的频率如下：比较频率趋势与概率，可得乙同学所编程序符合算法要求的可能性较大．(3)随机变量ξ可能的取值为0,1,2,3.P(ξ＝0)＝C03×130×233＝827，P(ξ＝1)＝C13×131×232＝49，P(ξ＝2)＝C23×132×231＝29，P(ξ＝3)＝C33×133×230＝127，故ξ的分布列为ξ0123P8274929127所以，E(ξ)＝0×827＋1×49＋2×29＋3×127＝1.即ξ的数学期望为1.19．如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，AB＝AC＝2AA1，∠BAC＝120°，D，D1分别是线段BC，B1C1的中点，P是线段AD的中点．(1)在平面ABC内，试作出过点P与平面A1BC平行的直线l，说明理由，并证明直线l⊥平面ADD1A1；(2)设(1)中的直线l交AB于点M，交AC于点N，求二面角AA1MN的余弦值．解(1)如图，在平面ABC内，过点P作直线l∥BC，因为l在平面A1BC外，BC在平面A1BC内，由直线与平面平行的判定定理可知，l∥平面A1BC.由已知，AB＝AC，D是BC的中点，所以，BC⊥AD，则直线l⊥AD.因为AA1⊥平面ABC，所以AA1⊥直线l.又因为AD，AA1在平面ADD1A1内，且AD与AA1相交，所以直线l⊥平面ADD1A1.(2)方法一连接A1P，过A作AE⊥A1P于E，过E作EF⊥A1M于F，连接AF.由(1)知，MN⊥平面AEA1，所以平面AEA1⊥平面A1MN.所以AE⊥平面A1MN，则A1M⊥AE.所以A1M⊥平面AEF，则A1M⊥AF.故∠AFE为二面角AA1MN的平面角(设为θ)．设AA1＝1，则由AB＝AC＝2AA1，∠BAC＝120°，有∠BAD＝60°，AB＝2，AD＝1.又P为AD的中点，所以M为AB中点，且AP＝12，AM＝1，所以，在Rt△AA1P中，A1P＝52；在Rt△A1AM中，A1M＝2.