2015年浙江高考数学参考卷(理科)含答案

(第3题图)24234224正视图俯视图侧视图数学(理科)参考试卷一、选择题1．已知a，b是实数，则“|a＋b|＝|a|＋|b|”是“ab＞0”的A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件2．若函数f(x)(x∈R)是奇函数，则A．函数f(x2)是奇函数B．函数[f(x)]2是奇函数C．函数f(x)x2是奇函数D．函数f(x)＋x2是奇函数3．若某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则此几何体的体积是A．35πcm3B．π3106cm3C．70πcm3D．π3212cm34．如图，在四边形ABCD中，AB⊥BC，AD⊥DC．若|AB|＝a，|AD|＝b，则ACBD＝A．b2－a2B．a2－b2C．a2＋b2D．ab5．现有90kg货物需要装成5箱，要求每一箱所装货物的重量不超过其它任一箱所装货物重量的2倍．若某箱所装货物的重量为xkg，则x的取值范围是A．10≤x≤18B．10≤x≤30C．18≤x≤30D．15≤x≤306．若整数x，y满足不等式组0,2100,3530,xyxyxy则2x＋y的最大值是A．11B．23C．26D．307．如图，F1，F2是双曲线C：22221xyab(a＞0，b＞0)的左、右焦点，过F1的直线l与C的左、右两支分别交于A，B两点．若|AB|:|BF2|:|AF2|＝2:3:4，则双曲线的离心率为A．4B．15C．2D．38．如图，函数y＝f(x)的图象为折线ABC，设f1(x)＝f(x)，ABF1F2xyO(第7题图)ABCOxy11－1－1(第8题图)ABCD(第4题图)fn+1(x)＝f[fn(x)]，n∈N*，则函数y＝f4(x)的图象为A．B．C．D．二、填空题9．设全集2UxxN，集合10AxxN，25BxxN，则UA=，A∩B=，A∪B=．10．设等差数列{}na的公差为6，且4a为2a和3a的等比中项．则1a=，数列{}na的前n项和nS=．11．设函数22,0,,0.xxxfxxx＜≥则f(f(1))=；方程f(f(x))=1的解是．12．如图，在△ABC中，点D在BC边上，ADAC，sin∠BAC=223，AB=32，AD=3，则BD的长为，△ABC的面积为．13．设e1，e2为单位向量，非零向量b＝xe1＋ye2，x，y∈R．若e1，e2的夹角为π6，则xb的最大值等于．14．设直线x－3y＋m＝0(m≠0)与双曲线22221xyab（a＞0,b＞0）的两条渐近线分别交于点A，B.若点P(m，0)满足＝PAPB，则该双曲线的离心率是．15．如图，某人在垂直于水平地面ABC的墙面前的点A处进行射击训练.已知点A到墙面的距离为AB，某目标点P沿墙面上的射线CM移动，此人为了准确瞄准目标点P，需计算由点A观察点P的仰角θ的大小.若AB＝15m，AC＝25m，∠BCM＝30°，则tanθ的最大值是．(仰角θ为直线AP与平面ABC所成角)Oxy11－1－1Oxy11－1－1Oxy11－1－1Oxy11－1－1ABCD（第12题图）(第15题图)三、解答题16．已知函数f(x)＝3sin2ax＋3sinaxcosax＋2cos2ax的周期为π，其中a＞0．(Ⅰ)求a的值；(Ⅱ)求f(x)的值域．17．如图，平面ABCD⊥平面ADEF，其中ABCD为矩形，ADEF为梯形，AF∥DE，AF⊥FE，AF＝AD＝2，DE＝1．(Ⅰ)求异面直线EF与BC所成角的大小；(Ⅱ)若二面角A－BF－D的平面角的余弦值为13，求CF的长．18．如图，F1，F2是椭圆C：2212xy的左、右焦点，A，B是椭圆C上的两个动点，且线段AB的中点M在直线l：x＝－12上．(Ⅰ)若B点坐标为(0，1)，求点M的坐标；(Ⅱ)求22FAFB的取值范围．AEFDBC(第17题图)OBAxyx＝－21(第18题图)MF1F219．设数列a1,a2,…,a2015满足性质P：12320150aaaa，12320151aaaa．(Ⅰ)(ⅰ)若a1,a2,…,a2015是等差数列，求an；(ⅱ)是否存在具有性质P的等比数列a1,a2,…,a2015？(Ⅱ)求证：123201511110072320152015aaaa．20．已知二次函数f(x)=ax2+bx+c(a0)，方程f(x)－x=0的两个根x1，x2满足0x1x2a1．（Ⅰ）当x(0,x1)时，证明xf(x)x1；（Ⅱ）设函数f(x)的图象关于直线x=x0对称，证明x021x．数学参考试卷(理科)答案一、选择题1．B2．C3．D4．A5．B6．B7．A8．D二、填空题9．10xxN，3,4,5,6,7,8,9，2xxN10．-14，3n2-17n11．0，51212．3，6213．214．5215．539三、解答题16．(Ⅰ)由题意得f(x)＝32(1－cos2ax)＋32sin2ax＋(1＋cos2ax)＝32sin2ax－12cos2ax＋52＝sin(2ax－π6)＋52．因为f(x)的周期为π，a＞0，所以a＝1．(Ⅱ)由(Ⅰ)得f(x)＝sin(2x－π6)＋52，所以f(x)的值域为[32，72]．17．(Ⅰ)延长AD，FE交于Q．因为ABCD是矩形，所以AEFDBC(第17题图)HGQBC∥AD，所以∠AQF是异面直线EF与BC所成的角．在梯形ADEF中，因为DE∥AF，AF⊥FE，AF＝2，DE＝1得∠AQF＝30°．(Ⅱ)方法一：设AB＝x．取AF的中点G．由题意得DG⊥AF．因为平面ABCD⊥平面ADEF，AB⊥AD，所以AB⊥平面ADEF，所以AB⊥DG．所以DG⊥平面ABF．过G作GH⊥BF，垂足为H，连结DH，则DH⊥BF，所以∠DHG为二面角A－BF－D的平面角．在直角△AGD中，AD＝2，AG＝1，得DG＝3．在直角△BAF中，由ABBF＝sin∠AFB＝GHFG，得GHx＝214x，所以GH＝24xx．在直角△DGH中，DG＝3，GH＝24xx，得DH＝22324xx．因为cos∠DHG＝GHDH＝13，x＝2155，所以AB＝2155．又在梯形AFED中可得DF=2，所以CF=1054．方法二：设CD＝x．以F为原点，AF，FQ所在的直线分别为x轴，y轴建立空间直角坐标系Fxyz．则F(0，0，0)，A(－2，0，0)，E(3，0，0)，D(－1，3，0)，B(－2，0，x)，所以DF＝(1，－3，0)，BF＝(2，0，－x)．因为EF⊥平面ABF，所以平面ABF的法向量可取1n＝(0，1，0)．设2n＝(x1，y1，z1)为平面BFD的法向量，则111120,30,xzxxy所以，可取2n＝(3，1，23x)．因为cos1n，2n＝1212||||nnnn＝13，得x＝2155，即CD＝2155．又在梯形AFED中可得DF=2，所以CF=1054.18．(Ⅰ)因为点M是AB的中点，所以可设点A),1(m.AEFDBC(第17题图)xzyOBAxyx＝－21(第18题图)MF1F2代入椭圆方程2212xy，得22m或22m，则A点坐标为)22,1(或)22,1(，所以M点坐标为)422,21(或)422,21(．(Ⅱ)当直线AB垂直于x轴时，直线AB方程为x＝－12，此时22FAFB＝118．当直线AB不垂直于x轴时，设直线AB的斜率为k，M(－12，m)(m≠0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)．由221122221,21,2xyxy得(x1＋x2)＋2(y1＋y2)1212yyxx＝0，则－1＋4mk＝0，故k＝14m．此时，直线AB的方程为y－m＝14m(x＋12)，即y＝14mx＋2818mm．联立2221,2181,48xymyxmm消去y，整理得x2＋x＋2222(81)644(18)mmm＝0，故Δ＝1－2222(81)6418mmm＞0，即0＜m2＜78，所以x1＋x2＝－1，x1x2＝2222(81)644(18)mmm．于是22FAFB＝(x1－1)(x2－1)＋y1y2＝x1x2＋y1y2－(x1＋x2)＋1＝x1x2＋y1y2＋2＝x1x2＋(14mx1＋2818mm)(14mx2＋2818mm)＋2＝2223(81)88(18)mm．令t＝1＋8m2，则1＜t＜8，于是22FAFB＝2388tt＝18(3t＋8t)．所以，22FAFB的取值范围为[62，258）．19．(Ⅰ)（ⅰ）设等差数列a1,a2,…,a2015的公差为d，则12201512015201420152daaaa．由题意得120152014201502da，所以110070ad，即10080a．当d=0时，a1=a2=…=a2015=0，所以12320150aaaa与性质P矛盾；当d0时，由12201512aaa，10080a，得110071008d，111008a．所以111008(1,2,,2015)10081007100810071008nnnan．当0d时，由12100712aaa，10080a，得110071008d，111008a．所以111008(1,2,,2015)10081007100810071008nnnan．综上所述，100810071008nna或1008(1,2,,2015)10071008nnan．（ⅱ）设a1,a2,…,a2015是公比为q的等比数列，则当1q时，122015aaa，则123201512320150aaaaaaaa，与性质P矛盾.当1q时100511232015101aqaaaaq.与性质P矛盾.因此不存在满足性质P的等比数列a1,a2,…,a2015．(Ⅱ)错误!未找到引用源。由条件知，必有ai0，也必有aj0(i，j∈{1，2，…，2015}，且i≠j)．设12,,,liiiaaa为所有ai中大于0的数，12,,,mjjjaaa为所有ai中小于0的数．由条件得ai1+ai2+…+ail=12，aj1+aj2+…+ajm=-12．所以12112naaan12121212()()lmijiijjlmaaaaaaiiijjj12121()()2015lmiiijjjaaaaaa112301010072015．20．(Ⅰ)因为x1，x2是方程f(x)x=0的根，所以f(x)x=a(xx1)(xx2)．当x∈(0，x1)时，由于x1x2，a0，所以a(xx1)(xx2)0，故xf(x)．因为x1f(x)=x1a(xx1)(xx2)x=(x1x)[1+a(xx2)]，又x1x0，1+a(xx2)=1+axax21ax20．于是x1f(x)0．从而f(x)x1．综上，xf(x)x1．(Ⅱ)由题意知02bxa．因为x1,x2是方程f(x)x=0的根，即x1,x2是方程ax2+(b1)x+c=0的根，所以121bxxa，12120()11222axxaxaxbxaaa．因为ax21，所以11022axxxa．