2013春西南大学《线性代数》第1次作业答案

一、填空题（每小题3分，共15分）1.行列式332313322212312111bababababababababa=(0).2.设A是4×3矩阵，R(A)=2，若B=300020201，则R(AB)=(2).3.设矩阵A=54332221t，若齐次线性方程组Ax=0有非零解，则数t=(2).4.已知向量,121,3012kβαα与β的内积为2，则数k=(2/3).5.已知二次型232221321)2()1()1(),,(xkxkxkxxxf正定，则数k的取值范围为(k2).二、单项选择题（每小题3分，共15分）1.设A为m×n矩阵，B为n×m矩阵，m≠n,则下列矩阵中为n阶矩阵的是(B).(A)BTAT(B)ATBT(C)ABA(D)BAB2.向量组α1，α2，…，αS(s2)线性无关的充分必要条件是(D).(A)α1，α2，…，αS均不为零向量(B)α1，α2，…，αS中任意两个向量不成比例(C)α1，α2，…，αS中任意s-1个向量线性无关(D)α1，α2，…，αS中任意一个向量均不能由其余s-1个向量线性表示3.设3元线性方程组Ax=b，A的秩为2，η1，η2，η3为方程组的解，η1+η2=(2,0,4)T，η1+η3=(1，-2，1)T，则对任意常数k，方程组Ax=b的通解为(D).(A)(1,0,2)T+k(1,-2,1)T(B)(1,-2,1)T+k(2,0,4)T(C)(2,0,4)T+k(1,-2,1)T(D)(1,0,2)T+k(1,2,3)T4.设3阶方阵A的秩为2，则与A等价的矩阵为(B).(A)000000111(B)000110111(C)000222111(D)3332221115.二次型f(x1,x2,x3,x4,)=43242322212xxxxxx的秩为(C).(A)1(B)2(C)3(D)4三、判断题（正确的打“√”，错误的打“×”，每小题3分，共15分)1.设A为n阶方阵，n≥2，则|-5A|=-5|A|.(×)2.设行列式D=333231232221131211aaaaaaaaa=3，D1=333231312322212113121111252525aaaaaaaaaaaa，则D1的值为5.(×)3.设A=4321,则|A*|=-2.(√)4.设3阶方阵A的特征值为1，-1，2，则E-A为可逆矩阵.(×)5.设λ=2是可逆矩阵A的一个特征值，则矩阵(A2)-1必有一个特征值等于41.(√)四、(10分)已知矩阵A=210011101，B=410011103，(1)求A的逆矩阵A-1.(2)解矩阵方程AX=B.Solution(1)由于，因此，有.(2)因为，所以.五、(10分)设向量组42111α，21302α，147033α，02114α，求向量组的秩和一个极大线性无关组，并将其余向量用该极大线性无关组线性表示.Solution因为,于是，是极大无关组且.六、(10分)求线性方程组322023143243214321xxxxxxxxxxx的通解(要求用它的一个特解和导出组的基础解系表示)Solution将增广矩阵B化为行最简形得，这时，可选为自由未知量.令得特解.分别令得基础解系.原线性方程组的通解为，其中为任意常数.七、(15分)用正交变换化二次型f(x1,x2,x3)=2331214xxxx为标准形，并写出所用的正交变换.Solution所给二次型的矩阵为，，所以A的特征值为-1，0，3.当时，齐次线性方程组0的基础解系为，单位化得.当时，齐次线性方程组0的基础解系为，单位化得.当时，齐次线性方程组0的基础解系为，单位化得.取，在正交变换下得二次型的标准型为.八、(10分)设a，b，c为任意实数，证明向量组1111aα，0112bα，0013cα，线性无关.Proof因为,于是的秩为3，所以线性无关.