2015年秋初等数论第三次作业答案

初等数论第三次作业1．求169与121的最大公因数。解：（169，121）=（169–121，121）=（48，121）=（48，121–48）=（48，73）=（48，25）=（23，25）=1。2．求出12!的标准分解式。解：edcba117532!12，10812412212a，5912312b，2512c，1712d，11112e，所以12!的标准分解式为117532!1225103．求不定方程3x-4y=1的一切整数解。解：因为（3,4）=1，所以不定方程有整数解。观察知x=3，y=2是其一个整数解。由公式知其一切整数解为tytx3243，t为整数。4．求不定方程7x+2y=1的一切整数解。解：因为（7,2）=1,1|1，所以不定方程有解。观察知其一个整数解是0013xy。于是其一切整数解为1237xtyt，t取一切整数。5．解同余式3x1(mod7)。解：因为（3,7）=1，所以同余式有解且有一个解。由3x-7y=1得tytx3275，所以同余式的解为)7(mod5x6．解同余式3x8(mod10)。解：因为（3,10）=1,1|8，所以同余式有解，并且只有一个解。由3108xy得一个解0061xy，所以同余式的解为6(mod10)x。7．解同余式28x21(mod35)。解：因为（28，35）=7，而7|21，所以同余式28x21(mod35)有解，且有7个解。同余式28x21(mod35)等价于4x3(mod5)，解4x3(mod5)得x2(mod5)，故同余式28x21(mod35)的7个解为x2，7，12，17，22，27，32(mod35)。8．解同余式组：)5(mod2)3(mod1xx。解：由)3(mod1x得13kx，将其代入)5(mod2x得)5(mod213k，解得)5(mod2k，即25tk，所以715tx，所以解为)15(mod7x。9．解同余式组：)7(mod3)5(mod2xx。解：由)5(mod2x得25kx，将其代入)7(mod3x得)7(mod325k，解得)7(mod3k，即37tk，所以1735tx，所以解为)35(mod17x。10．解同余式组：1(mod3)2(mod7)xx。解：由1(mod3)x得1113,xttZ，将其代入2(mod7)x得1132(mod7)t，即131(mod7)t，解得15(mod7)t，所以12257,tttZ，于是12221313(57)1621,xttttZ。所以同余式组的解为16(mod21)x。11．解同余式组：1(mod2)1(mod3)1(mod5)xxx。解：因为2，3，5两两互质，所以由孙子定理该同余式组有一个解。由孙子定理可得该同余式组的解为x1(mod30)。12．一个数是5个2，3个3，2个5，1个7的连乘积，这个数有许多的约数是两位数，求出这些两位约数中最大的那一个。解：设这个数为n，则由已知条件可得7532235n。由于11|99，98|72，97|97，所以99，98，97都不是n的约数。又32965，所以96是n的约数，所以n的两位约数中最大的为96。