2013版步步高高考数学考前3个月(上)专题复习配套限时规范训练专题一第五讲导数及其应用

第1页共4页第五讲导数及其应用（推荐时间：50分钟）一、选择题1．已知函数f(x)＝kcosx的图象经过点P(π3，1)，则函数图象上在点P的切线斜率等于()A．1B.3C．－3D．－12．(2012·重庆)设函数f(x)在R上可导，其导函数为f′(x)，且函数y＝(1－x)f′(x)的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是()A．函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)B．函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(1)C．函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(－2)D．函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(2)3．设函数f(x)是R上以5为周期的可导偶函数，则曲线y＝f(x)在x＝5处的切线的斜率为()A．－15B．0C.15D．54．设a为实数，函数f(x)＝x3＋ax2＋(a－2)x的导函数是f′(x)，且f′(x)是偶函数，则曲线y＝f(x)在原点处的切线方程为()A．y＝－2xB．y＝3xC．y＝－3xD．y＝4x5．函数y＝f(x)在定义域(－32，3)内可导，其图象如图所示，记y＝f(x)的导函数为y＝f′(x)，则不等式f′(x)≤0的解集为()A．[－13，1]∪[2,3)B．[－1，12]∪[43，83]C．[－32，12]∪[1,2]D．[－32，－13]∪[12，43]6．(2011·福建)若a0，b0，且函数f(x)＝4x3－ax2－2bx＋2在x＝1处有极值，则ab的最大值等于()第2页共4页A．2B．3C．6D．97．(2011·江西)若f(x)＝x2－2x－4lnx，则f′(x)＞0的解集为()A．(0，＋∞)B．(－1,0)∪(2，＋∞)C．(2，＋∞)D．(－1,0)8．已知函数f(x)＝x2－ax＋3在(0,1)上为减函数，函数g(x)＝x2－alnx在(1,2)上为增函数，则a的值等于()A．1B．2C．0D.2二、填空题9．(2012·广东)曲线y＝x3－x＋3在点(1,3)处的切线方程为________．10．设函数f(x)＝cos(3x＋φ)(0φπ)，若f(x)＋f′(x)是奇函数，则φ＝________.11．(2012·上海)已知函数y＝f(x)的图象是折线段ABC，其中A(0,0)、B12，5、C(1,0)．函数y＝xf(x)(0≤x≤1)的图象与x轴围成的图形的面积为________．12．某名牌电动自行车的耗电量y与速度x之间有如下关系：y＝13x3－392x2－40x(x0)，为使耗电量最小，则速度应定为________．三、解答题13．(2011·福建)某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y(单位：千克)与销售价格x(单位：元/千克)满足关系式y＝ax－3＋10(x－6)2，其中3x6，a为常数．已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克．(1)求a的值；(2)若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大．14．(2012·北京)已知函数f(x)＝ax2＋1(a0)，g(x)＝x3＋bx.(1)若曲线y＝f(x)与曲线y＝g(x)在它们的交点(1，c)处具有公共切线，求a，b的值；(2)当a2＝4b时，求函数f(x)＋g(x)的单调区间，并求其在区间(－∞，－1]上的最大值．第3页共4页答案1．C2．D3．B4．A5．A6．D7．C8．B9．2x－y＋1＝010.π611.5412．4013．解(1)因为x＝5时，y＝11，所以a2＋10＝11，所以a＝2.(2)由(1)可知，该商品每日的销售量y＝2x－3＋10(x－6)2，所以商场每日销售该商品所获得的利润f(x)＝(x－3)[2x－3＋10(x－6)2]＝2＋10(x－3)(x－6)2，3x6.从而，f′(x)＝10[(x－6)2＋2(x－3)(x－6)]＝30(x－4)(x－6)．于是，当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：x(3,4)4(4,6)f′(x)＋0－f(x)单调递增极大值42单调递减由上表可得，x＝4是函数f(x)在区间(3,6)内的极大值点，也是最大值点．所以，当x＝4时，函数f(x)取得最大值，且最大值等于42.答当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大．14．解(1)f′(x)＝2ax，g′(x)＝3x2＋b，因为曲线y＝f(x)与曲线y＝g(x)在它们的交点(1，c)处具有公共切线，所以f(1)＝g(1)，且f′(1)＝g′(1)．即a＋1＝1＋b，且2a＝3＋b.解得a＝3，b＝3.(2)记h(x)＝f(x)＋g(x)．当b＝14a2时，h(x)＝x3＋ax2＋14a2x＋1，h′(x)＝3x2＋2ax＋14a2.令h′(x)＝0，得x1＝－a2，x2＝－a6.a0时，h(x)与h′(x)的变化情况如下：x－∞，－a2－a2－a2，－a6－a6－a6，＋∞H′(x)＋0－0＋h(x)所以函数h(x)的单调递增区间为－∞，－a2和－a6，＋∞；单调递减区间为－a2，－a6.第4页共4页当－a2≥－1，即0a≤2时，函数h(x)在区间(－∞，－1]上单调递增，h(x)在区间(－∞，－1]上的最大值为h(－1)＝a－14a2.当－a2－1，且－a6≥－1，即2a≤6时，函数h(x)在区间－∞，－a2上单调递增，在区间－a2，－1上单调递减，h(x)在区间(－∞，－1]上的最大值为h－a2＝1.当－a6－1，即a6时，函数h(x)在区间－∞，－a2上单调递增，在区间－a2，－a6上单调递减，在区间－a6，－1上单调递增，又因为h－a2－h(－1)＝1－a＋14a2＝14(a－2)20，所以h(x)在区间(－∞，－1]上的最大值为h－a2＝1.综上所述：f(x)＋g(x)的增区间为－∞，－a2和－a6，＋∞；减区间为－a2，－a6.当0a≤2时，f(x)＋g(x)在(－∞，－1]上的最大值为a－14a2；当a2时，f(x)＋g(x)在(－∞，－1]上的最大值为1.