2013版高考数学一轮复习13简单的逻辑联结词全称量词与存在量词精品学案

用心爱心专心-1-2013版高考数学一轮复习精品学案：第一章集合与常用逻辑用语1.3简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词【高考新动向】一、考纲点击1、了解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义；2、理解全称量词与存在量词的意义；3、能正确地对含有一个量词的命题进行否定。二、热点、难点提示1、本部分高考考查的主要内容是全称量词与存在量词，全称命题与特称命题，特别是两种命题的否定命题的写法和判断；2、在高考试题中多以选择、填空题为主，一般不会出现解答题。【考纲全景透析】1、命题,,pqpqp的真假判断注：1°像上面表示命题真假的表叫真值表；2°由真值表得：“非p”形式复合命题的真假与p的真假相反；“p且q”形式复合命题当p与q同为真时为真，其他情况为假；“p或q”形式复合命题当p与q同为假时为假，其他情况为真；3°真值表是根据简单命题的真假，判断由这些简单命题构成的复合命题的真假，而不涉及简单命题的具体内容。2、全称量词和存在量词(1)全称量词：常见的有“对所有的”，“对任意一个”，“对一切”，“对每一个”，“任给”等，用符号“___”表示.(2)存在量词：常见的有“存在一个”，“至少有一个”，“有些”，“有某个”，“有的”等，用符号“___”表示.(3)全称命题：“对M中任意一个x，有p(x)成立”，可用符号简记为_____,()xMpx_____.(4)特称命题：“存在M中的一个x0，使p(x0)成立”，可用符号简记为_______()00xMpx，______.用心爱心专心-2-3、含有一个量词的命题的否定命题命题的否定,(),xMpxx0∈M，p（x0）x0∈M，p（x0）,()xMpx注：全称命题与特称命题的否定有什么关系？（全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题）。【热点难点全析】一、对“或”“且”“非”的理解1、相关链接（1）“或”与日常生活中的用语“或”的意义不同。对于逻辑用语“或”的理解我们可以借助于集合中的并集的概念；在A∪B={x|x∈A或x∈B}中的“或”是指“x∈A”与“x∈B”中至少有一个成立，可以是“xAxB且”，也可以是“xAxB且”，也可以是“xAxxB且”，逻辑用语中的“或”与并集中的“或”的含义是一样的。（2）对“且”的理解，可以联想到集合中的交集的概念；在A∩B={x|x∈A且x∈B}中的“且”是指：“x∈A”、“x∈B”都要满足的意思，即x既要属于集合A，又要属于集合B。（3）对“非”的理解，可以联想到集合中的补集的概念：若将命题p对应集合P，则命题非p就对应着集合P在全集U中的补集UCP，对于非的理解，还可以从字意上来理解，“非”本身就具有否定的意思。一般地，写一个命题的否定，往往需要对正面叙述的词语进行否定。2、“P∨q”、“p∧q”、“p”形式命题真假的判断步骤（1）确定命题的构成形式；（2）判断其中命题P、q的真假；（3）确定“P∨q”、“p∧q”、“p”形式命题的真假。4、含有逻辑联结词的命题的真假判断规律(1)p∨q：p、q中有一个为真，则p∨q为真，即一真全真;(2)p∧q：p、q中有一个为假,则p∧q为假，即一假即假;(3)p:与p的真假相反，即一真一假，真假相反.4、例题解析〖例1〗已知命题:p1：函数y=2x-2-x在R上为增函数p2：函数y=2x+2-x在R上为减函数则在命题q1:“p1∨p2”,q2:“p1∧p2”,q3:“()∨p2”和q4:“p1∧(2p)”中，真命题是()(A)q1,q3(B)q2,q3()q1,q4()q2,q4解析：选.命题p1为真命题，p2为假命题,则1p为假命题2p，为真命题,从而q1,q4为真命题，q2,q3为假命题.故选.注：1.求解本题时，易由于对命题p1,p2的真假判断不正确，从而造成解题失误.用心爱心专心-3-2.当一个命题，从字面上看不一定有“或”、“且”、“非”字样时，需要我们掌握一些词语、符号或式子与逻辑联结词“或”、“且”、“非”的关系，如“或者”、“x=±1”、“≤”的含义为“或”；“并且”、“//”的含义为“且”；“不是”、“”的含义为“非”.〖例2〗写出由下述各命题构成的“P∨q”，“p∧q”，“p”形式的复合命题，并指出所构成的这些复合命题的真假（1）p：9是144的约数，q：9是225的约数（2）p：方程x2－1=0的解是x=1，q：方程x2－1=0的解是x=－1；（3）p：实数的平方是正数，q：实数的平方是0.解析：由简单命题构成复合命题，一定要检验是否符合“真值表”如果不符要作语言上的调整P∨q：9是144或225的约数；p∧q：9是144与225的公约数，（或写成：9是144的约数，且9是225的约数）；p：9不是144的约数.∵p真，q真，∴“P∨q”为真，“p∧q”为真，而“p”为假.（2）P∨q：方程x2－1=0的解是x=1,或方程x2－1=0的解是x=－1（注意，不能写成“方程x2－1=0的解是x=±1”，这与真值表不符）；p∧q：方程x2－1=0的解是x=1,且方程x2－1=0的解是x=－1；p：方程x2－1=0的解不都是x=1（注意，在命题p中的“是”应理解为“都是”的意思）；∵p假，q假，∴“P∨q”与，“p∧q”均为假，而“p”为真.（3）P∨q：实数的平方都是正数或实数的平方都是0；p∧q：实数的平方都是正数且实数的平方都是0；p：实数的平方不都是正数，（或：存在实数，其平方不是正数）；∵p假，q假，∴“P∨q”与“p∧q”均为假，而“p”为真.注：在命题p或命题q的语句中，由于中文表达的习惯常常会有些省略，这种情况下应作词语上的调整。二、全（特）称命题及真假判断1、相关链接（1）要判断一个全称命题是真命题，必须对限定的集合M中的每一个元素x，验证p(x)成立.（2）要判断一个全称命题是假命题，只要能举出集合M中的一个x=x0，使得p(x0)不成立即可；（3）要判断一个特称命题是真命题，只要在限定的集合M中，至少能找到一个x=x0，使p(x0)成立即可，否则这一特称命题就是假命题。2、例题解析〖例〗(1)下列命题中，真命题是()()m0∈R,使函数f(x)=x2+m0x(x∈R)是偶函数(B)m0∈R,使函数f(x)=x2+m0x(x∈R)是奇函数()m∈R,使函数f(x)=x2+mx(x∈R)都是偶函数()m∈R,使函数f(x)=x2+mx(x∈R)都是奇函数(2)已知a＞0，函数f(x)=ax2+bx+c，若m满足关于x的方程2ax+b=0，则下列选项中的命题为假命题的是()()x0∈R，f(x0)≤f(m)用心爱心专心-4-(B)x0∈R，f(x0)≥f(m)()x∈R，f(x)≤f(m)()x∈R，f(x)≥f(m)解析：(1)选A.当m0=0时，f(x)=x2是偶函数，故选.当m=1时，f(x)=x2+x是非奇非偶函数，故、错误；又y=x2是偶函数，则f(x)=x2+m0x不可能是奇函数，故错.(2)选.由2am+b=0,得,bm2a又a＞0，∴f(m)是函数f(x)的最小值,即xR，有f(x)≥f(m)，故选.三、全（特）称命题的否定1、相关链接（1）全称命题（特称命题）的否定与命题的否定有着一定的区别，全称命题（特称命题）的否定是其全称量词改为存在量词（或存在量词改为全称量词），并把结论否定，而命题的否定则直接否定结论即可，从命题形式上看，全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题。（2）常见词语的否定形式有：原语句是都是至少有一个至多有一个对任意xA使px真否定形式不是不都是≤一个也没有至少有两个存在0xA使0px假2、例题解析〖例1〗写出下列命题的否定，并判断命题的否定的真假，指出命题的否定属全称命题还是特称命题。（1）所有的有理数是实数；（2）有的三角形是直角三角形；（3）每个二次函数的图象与y轴相交；（4）2,20xRxx分析：否定量词否定判断词写出命题的否定判断命题真假。解答：（1）p：存在一个有理数不是实数。为假命题，属特称命题；（2）p：所有的三角形都不是直角三角形。为假命题，属于全称命题；（3）p：20,20xRxx为真命题，属特称命题。用心爱心专心-5-〖例2〗写出下列命题的否定并判断其真假（1）p：存在一些四边形不是平行四边形；（2）p：所有的正方形都是矩形；（3）p：至少有一个实数x，使310x；（4）p：21,04xRxx解答：（1）p：所有的四边形都是平行四边形。假命题；（2）p：至少存在一个正方形不是矩形。假命题；（3）p：3,10.xRx假命题；（4）p：20001,0.4xRxx假命题。四、与逻辑联结词、全（特）称命题有关的参数问题〖例1〗（12分）已知命题p:2[1,2],0xxa,命题2000:,220qxRxaxa，若命题“p且q”是真命题，求实数a的取值范围。分析：（1）已知的两个命题是全称命题和特称命题；（2）根据“p且q”是真命题来确定a的不等式，从而求出a的取值范围。解答：由“p且q”是真命题，则p为真命题，q也为真命题.若p为真命题,a≤x2恒成立,∵x∈[1,2],∴a≤1.若q为真命题,即x2+2ax+2-a=0有实根,Δ=4a2-4(2-a)≥0,即a≥1或a≤-2,综上所求实数a的取值范围为a≤-2或a=1.注:含有逻辑联结词的命题要先确定构成命题的(一个或两个)命题的真假,求出此时参数成立的条件,再求出含逻辑联结词的命题成立的条件.〖例2〗已知两个命题r(x):sinx+cosxm,s(x):x2+mx+10.如果对x∈R,r(x)与s(x)有且仅有一个是真命题，求实数m的取值范围.分析：由已知先求出对x∈R,r(x)，s(x)都是真命题时m的范围，再由要求分情况讨论出所求m的范围.解答：∵sinx+cosx=2sin()2,4x∴当r(x)是真命题时，m2.又∵对x∈R，s(x)为真命题，即x2+mx+10恒成立，有Δ=m2-40,∴-2m2.用心爱心专心-6-∴当r(x)为真，s(x)为假时，m2.同时m≤-2或m≥2，即m≤-2，当r(x)为假，s(x)为真时，m≥2且-2m2，即2≤m2.综上，实数m的取值范围是m≤-2或2≤m2.注：解决这类问题时，应先根据题目条件，推出每一个命题的真假（有时不一定只有一种），然后再求出每个命题是真命题时参数的取值范围，最后根据每个命题的真假情况，求出参数的取值范围。【高考零距离】1.（2012·辽宁高考文科·Ｔ5）与理科Ｔ4相同已知命题p：x1，x2R，(f(x2)f(x1)(x2x1)≥0，则p是()x1，x2R，(f(x2)f(x1)(x2x1)≤0()x1，x2R，(f(x2)f(x1)(x2x1)≤0()x1，x2R，(f(x2)f(x1)(x2x1)0()x1，x2R，(f(x2)f(x1)(x2x1)0【解题指南】弄清楚全称命题的否定是特称命题【解析】选.全称命题122121:,,(()())()0pxxRfxfxxx的否定为：122121:,,(()())()0pxxRfxfxxx2.（2012·湖北高考文科·Ｔ4）命题“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否定是.任意一个有理数，它的平方是有理数.任意一个无理数，它的平方不是有理数.存在一个有理数，它的平方是有理数.存在一个无理数，它的平方不是有理数【解题指南】解答本题的关键是理解特称命题和命题的否定的定义.【解析】选.有特称命题的否定是全程命题可知结果.3.（2011·辽宁高考文科·Ｔ4）已知命题P：n∈N，2n＞1000，则p为（）n∈N，2n≤1000（）n∈N，2n＞1000（）n∈N，2n≤1000（）n∈N，2n＜1000【思路点拨】特称