2013版高考数学一轮复习_2.4二次函数精品学案2~E56FF

用心爱心专心-1-2013版高考数学一轮复习精品学案：函数、导数及其应用2.4二次函数【高考新动向】一、考纲点击1.理解并掌握二次函数的定义、图象及性质；2.会求二次函数在闭区间上的最值；3.运用二次函数、一元二次方程及一元二次不等式之间的联系去解决问题.二、热点、难点提示1.二次函数图象的应用及求最值是高考的热点.2.常将二次函数及相应的一元二次不等式、一元二次方程交汇在一起命题,重点考查三者之间的综合应用.3.题型以选择题、填空题为主,若与导数、解析几何知识交汇，则以解答题的形式出现.【考纲全景透析】1.二次函数的解析式2．二次函数的图象与性质用心爱心专心-2-【热点难点全析】一、求二次函数的解析式1．相关链接求二次函数解析式的方法及思路求二次函数的解析式,一般用待定系数法，其关键是根据已知条件恰当选择二次函数解析式的形式，一般选择规律如下：2．例题解析【例1】设二次函数f(x)满足f(x-2)=f(-x-2)且图象在y轴上的截距为1,在x轴上截得的线段长为,22求f(x)的解析式.【方法诠释】二次函数f(x)满足f(x+t)=f(t-x),则其对称轴方程为x=t;图象在x轴上截得的线段长度公式为|x1-x2|,本题可设f(x)的一般式,亦可设顶点式.解析：设f(x)的两零点分别为x1,x2,方法一：设f(x)=ax2+bx+c,则由题知：c=1,且对称轴为x=-2.,b22a即b=4a.∴f(x)=ax2+4ax+1.用心爱心专心-3-1.221212124xxxx4xx1622aa∴b=4a=2∴函数f(x)的解析式为1.22fxx2x1方法二：∵f(x-2)=f(-x-2),∴二次函数f(x)的对称轴为x=-2.设f(x)=a(x+2)2+b,且f(0)=1,∴4a+b=1.∴f(x)=a(x+2)2+1-4a=ax2+4ax+1,21212124xxxx4xx1622a11...222ab1fxx2x1【方法指导】用待定系数法求二次函数的解析式：(1)设一般式是通法；(2)已知顶点(对称轴或最值),往往设顶点式；(3)已知图象与x轴的两交点,往往设两根式,若选用形式不当，引入的待定系数过多，会加大运算量.【例2】如图,抛物线与直线y=k(x-4)都经过坐标轴的正半轴上、两点，该抛物线的对称轴x=-1与x轴相交于点,且∠ABC＝90°,求：(1)直线AB对应函数的解析式；(2)抛物线的解析式.【解析】(1)由已知及图形得：A(4,0),B(0,-4k),(-1,0)，又∵∠CBA=∠BOC=90°,∴OB2=CO·AO.∴(-4k)2=1×4,1.2k又∵由图知k＜0,1.2k∴所求直线的解析式为1.2yx2用心爱心专心-4-(2)设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c,则,016a4bc2cb12a解得.1a121b6c2∴所求抛物线的解析式为.211yxx2126二、二次函数图象与性质的应用1．相关链接一求二次函数最值的类型及解法(1)二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型：轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动,不论哪种类型,解决的关键是对称轴与区间的关系,当含有参数时，要依据对称轴与区间的关系进行分类讨论；(2)常结合二次函数在该区间上的单调性或图象求解，最值一般在区间的端点或顶点处取得．二二次函数单调性问题的解法结合二次函数图象的升、降对对称轴进行分析讨论求解.注：配方法是解决二次函数最值问题的常用方法,但要注意自变量范围与对称轴之间的关系.2．例题解析【例】(2012·盐城模拟)已知函数f(x)=x2+2ax+3,x∈[-4,6].(1)当a=-2时,求f(x)的最值；(2)求实数a的取值范围,使y=f(x)在区间[-4,6]上是单调函数；(3)当a=-1时,求f(|x|)的单调区间.【方法诠释】解答(1)和(2)可根据对称轴与区间的关系,结合图象或单调性直接求解,对于(3),应先将函数化为分段函数,再求单调区间.解析：(1)当a=-2时,f(x)=x2-4x+3=(x-2)2-1,则函数在［-4,2)上为减函数,在(2,6］上为增函数,∴f(x)min=f(2)=-1,f(x)max=f(-4)=(-4)2-4×(-4)+3=35.(2)函数f(x)=x2+2ax+3的对称轴为,2axa2∴要使f(x)在[-4,6］上为单调函数,只需-a≤-4或-a≥6,解得a≥4或a≤-6.(3)当a=-1时,f(|x|)=x2-2|x|+3,,2222x2x3x12x0x2x3x12x0＞其图象如图所示：用心爱心专心-5-注：1.影响二次函数f(x)在区间[m,n]上最值的要素有三个,即抛物线的开口方向、对称轴位置、闭区间；常用数形结合思想求解,但当三要素中有一要素不明确时，要分情况讨论.2.确定与应用二次函数单调性，常借助其图象数形结合求解.三、二次函数与一元二次方程、一元二次不等式的综合问题1．相关链接二次函数问题的解题思路(1)解决一元二次方程根的分布问题的方法，常借助于二次函数的图象数形结合来解,一般从①开口方向；②对称轴位置；③判别式；④端点函数值符号四个方面分析.(2)解决一元二次不等式的有关问题的策略，一般需借助于二次函数的图象、性质求解.2．例题解析【例3】设函数f(x)=ax2-2x+2,对于满足1＜x＜4的一切x值都有f(x)＞0,求实数a的取值范围.【方法诠释】解答本题可以有两条途径：(1)分a＞0,a＜0,a=0三种情况,求出f(x)在(1,4)上的最小值f(x)min,再令f(x)min＞0,从而求出a的取值范围；(2)将参数a分离得,222axx＞然后求222gxxx的最大值即可.解析：方法一：当a＞0时,(),211fxax2aa由f(x)＞0,x∈(1,4)得：11af1a220或()114a11f20aa＜＜＞或,14af416a820a1a0或121a14a＜＜＞或,1a43a8用心爱心专心-6-∴a≥1或12a1＜＜或Ø,即1,2a＞当a＜0时,,f1a220f416a820解得a∈Ø;当a=0时,f(x)=-2x+2,f(1)=0,f(4)=-6,∴不合题意.综上可得,实数a的取值范围是1.2a＞方法二：由f(x)＞0,即ax2-2x+2＞0,x∈(1,4),得222axx＞在(1,4)上恒成立.令11(),2222221gx2xxx1(,),,2max111gxg2x4所以要使f(x)＞0在(1,4)上恒成立,只要12a＞即可.注：1.一元二次不等式问题及一元二次方程解的确定与应用问题常转化为二次函数图象和性质的应用问题求解，但要注意讨论.2.关于不等式的恒成立问题,能用分离参数法，尽量用.因为该法可以避开频繁地对参数的讨论.【高考零距离】1.（2012·福建高考文科·Ｔ15）已知关于x的不等式220xaxa在R上恒成立，则实数a的取值范围是_________．【解题指南】开口向上的抛物线，要恒正，必须和x轴没有交点．【解析】选由题，2()80aa，解得(0,8)a答案:(0,8)2.（2012·北京高考文科·Ｔ14）已知f（x）=m（x-2m）（x＋m＋3），g（x）=2x-2。若xR，f（x）＜0或g（x）＜0，则m的取值范围是_________。【解题指南】由于()gx的符号容易确定，先从()gx的符号入手。对于()fx0m时，为二次函数，两个零点2,3mm，利用其图象就可以列出式子来。用心爱心专心-7-【解析】当1x时，()0gx；当1x时，()0gx，只需()0fx，易知0m时，不成立，所以02131mmm，解得40m。综上，40m答案：40m3.（2010·安徽高考理科·Ｔ6）设0abc，二次函数2fxaxbxc的图象可能是（）、B、、、【命题立意】本题主要考查二次函数图像与其系数的关系，考查考生的逻辑推理能力．【思路点拨】逐项验证，由图象先确定a、c的符号，再根据对称轴的正负确定b的符号。【规范解答】选.由选项的二次函数图象可知，0,0,ac且对称轴02ba，所以0b，满足0abc，故正确；同理可判断、B、错误。【方法技巧】根据二次函数图像开口向上或向下，分0a或0a两种情况分类考虑，另外还要注意c值是抛物线与y轴交点的纵坐标，还要注意对称轴的位置或定点坐标等对系数的影响。【考点提升训练】一、选择题(每小题6分，共36分)1.已知x∈R,函数f(x)=(m-1)x2+(m-2)x+(m2-7m+12)为偶函数,则m的值是()()1()2()3()42.如果函数f(x)=x2+bx+c对任意实数t都有f(2+t)=f(2-t),那么()()f(2)＜f(1)＜f(4)()f(1)＜f(2)＜f(4)()f(2)＜f(4)＜f(1)()f(4)＜f(2)＜f(1)3.(2012·长春模拟)设二次函数f(x)=ax2+bx+c，如果f(x1)=f(x2)(x1≠x2)，则f(x1+x2)等于()()b2a()ba用心爱心专心-8-()c()24acb4a4.如图是二次函数f(x)=x2-bx+a的部分图象，则函数g(x)=lnx+f′(x)的零点所在的区间是()()(1，2)()(2，3)()(14，12)()(12，1)5.（预测题）函数f(x)=ax2+(a-3)x+1在区间[-1,+∞)上是递减的,则实数a的取值范围是()()[-3,0)()(-∞,-3]()[-2,0]()[-3,0]6.（易错题）若不等式x2+ax+1≥0对于一切x∈(0,12]恒成立,则a的最小值是()()0()2()-52()-3二、填空题(每小题6分，共18分)7.（2012·福州模拟）已知二次函数f(x)=ax2+bx+1的值域为［0，+∞）且f(-1)=0,则a=________，b=________.8.若函数f(x)=(x+a)(bx+2a)(a、b∈R)是偶函数，且它的值域为(-∞,4]，则该函数的解析式f(x)=__________.9.(2012·泉州模拟)若函数y=x2-3x-4的定义域为[0,m],值域为[-254,-4],则m的取值范围为_________.三、解答题(每小题15分，共30分)10.（2012·厦门模拟)已知函数f(x)=x2+(lga+2)x+lgb满足f(-1)=-2且对于任意x∈R,恒有f(x)≥2x成立.（1）求实数a,b的值；（2）解不等式f(x)x+5.11.(2012·长沙模拟)已知函数f(x)=x2-2ax+5(a＞1).(1)若f(x)的定义域和值域均是［1,a］,求实数a的值;(2)若对任意的x1,x2∈［1,a+1］,总有|f(x1)-f(x2)|≤4,求实数a的取值范围.【探究创新】(16分)已知直线AB过x轴上一点A(2,0)且与抛物线y=ax2相交于B(1,-1)、两点.(1)求直线和抛物线对应的函数解析式.(2)问抛物线上是否存在一点,使S△OAD=S△OBC?若存在,请求出点坐标,若不存在,请说明理由.用心爱心专心-9-答案解析1.【解析】选.由已知f(-x)=f(x)⇒(m-2)x=0,又x∈R,∴m-2=0,得m=2.2.【解析】选.依题意,函数f(x)=x2+bx+c的对称轴方程为x=2,且f(x)在[2,+∞)上为增函数,因为f(1)=f(2-1)=f(2+1)=f(3),2＜3＜4,∴f(2)＜f(3)＜f(4),即f(2)＜f(1)＜f(4).3.【解析】