2015年高中数学15函数y=Asin(ωx+φ)的图象(二)课时跟踪检测新人教A版必修4

12015年高中数学1.5函数y＝Asin（ωx＋φ）的图象（二）课时跟踪检测新人教A版必修4考查知识点及角度难易度及题号基础中档稍难求y＝Asin(ωx＋φ)的解析式1、2、3、4函数y＝Asin(ωx＋φ)性质的运用56、7、9综合问题8、10、11121．下列函数中，最小正周期为π，且图象关于直线x＝π3对称的是()A．y＝sin2x－π6B．y＝sinx－π3C．y＝sin2x＋π6D．y＝sinx2＋π6解析：由周期为π排除B、D，对A，当x＝π3时，有y＝sin2π3－π6＝1，故其图象关于直线x＝π3对称，故选A.答案：A2．函数y＝Asin(ωx＋φ)＋k的图象如图，则它的振幅A与最小正周期T分别是()A．A＝3，T＝5π6B．A＝3，T＝53πC．A＝32，T＝5π6D．A＝32，T＝5π3解析：由图象可知最大值为3，最小值为0，故振幅为32，半个周期为π2－－π3＝5π6，故周期为53π.答案：D23．简谐振动y＝12sin4x＋π6的频率和相位分别是________________．解析：简谐振动y＝12sin4x＋π6的周期是T＝2π4＝π2，相位是4x＋π6，频率f＝1T＝2π.答案：2π，4x＋π64．已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω＞0)的图象如图所示，则ω＝________.解析：由题意设函数周期为T，则T4＝23π－π3＝π3，故T＝43π.∴ω＝2πT＝32.答案：325．设函数y＝2sin2x＋π3的图象关于点P(x0,0)成中心对称，若x0∈－π2，0，则x0＝________.解析：因为函数图象的对称中心是其与x轴的交点，所以y＝2sin2x0＋π3＝0，x0∈－π2，0，解得x0＝－π6.答案：－π66．函数y＝sin2x－π6的图象在(－π，π)上有________条对称轴．解析：令2x－π6＝kπ＋π2，k∈Z，∴x＝kπ2＋π3，k∈Z.又x∈(－π，π)，∴k＝－2，－1,0,1.答案：47．设函数f(x)＝sin12x＋φ0＜φ＜π2，y＝f(x)图象的一条对称轴是直线x＝π4.(1)求φ；(2)求函数y＝f(x)的单调增区间．解：(1)∵x＝π4是y＝f(x)的图象的一条对称轴，∴sin12×π4＋φ＝±1.3∴π8＋φ＝π2＋kπ，k∈Z.∵0＜φ＜π2，∴φ＝3π8.(2)由(1)知φ＝3π8，因此y＝sin12x＋3π8.由题意得－π2＋2kπ≤12x＋38π≤π2＋2kπ，k∈Z，即－74π＋4kπ≤x≤π4＋4kπ，k∈Z，∴函数y＝f(x)的单调增区间为：－74π＋4kπ，π4＋4kπ，k∈Z.8．为了使函数y＝sinωx(ω＞0)在区间[0,1]上至少出现50次最大值，则ω的最小值是()A．98πB.1972πC.1992πD．100π解析：由题意至少出现50次最大值即至少需用4914个周期，所以4914·T＝1974·2πω≤1.所以ω≥1972π.答案：B9．关于函数f(x)＝4sin2x＋π3(x∈R)有下列命题，其中正确的是________．(填序号)①y＝f(x)的表达式可改写为y＝4cos2x－π6；②y＝f(x)是以2π为最小正周期的周期函数；③y＝f(x)的图象关于点－π6，0对称；④y＝f(x)的图象关于直线x＝－π6对称．解析：因为4sin2x＋π3＝4cosπ6－2x＝4cos2x－π6，4所以①正确，易得②④不正确，而f－π6＝0，故－π6，0是对称中心，③正确．答案：①③10．函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)A＞0，ω＞0，|φ|＜π2的一段图象如图所示．(1)求f(x)的解析式．(2)把f(x)的图象向左至少平移多少个单位，才能使得到的图象对应的函数为偶函数？解：(1)A＝3，2πω＝434π－π4＝5π，ω＝25.由f(x)＝3sin25x＋φ过点π4，0得sinπ10＋φ＝0，又|φ|＜π2，故φ＝－π10.∴f(x)＝3sin25x－π10.(2)由f(x＋m)＝3sin25x＋m－π10＝3sin25x＋2m5－π10为偶函数(m＞0)，知2m5－π10＝π2＋kπ，即m＝3π2＋52kπ，k∈Z.∵m＞0，∴mmin＝3π2.故把f(x)的图象向左至少平移3π2个单位长度，才能使得到的图象对应的函数是偶函数．11．已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)A＞0，ω＞0，|φ|＜π2的最小正周期为2，且当x＝13时，f(x)取得最大值2.(1)求函数f(x)的解析式．5(2)在闭区间214，234上是否存在f(x)图象的对称轴？如果存在，求出对称轴方程；如果不存在，说明理由．解：(1)由已知2πω＝2，得ω＝π.又A＝2，所以f(x)＝2sin(πx＋φ)．因为f13＝2，所以sinπ3＋φ＝1.又|φ|＜π2，所以φ＝π6.故f(x)＝2sinπx＋π6.(2)令πx＋π6＝kπ＋π2，k∈Z.则x＝k＋13，k∈Z.即函数f(x)的对称轴为x＝k＋13，k∈Z.由214≤k＋13≤234，得5912≤k≤6512.因为k∈Z，所以k＝5.故在区间214，234上存在f(x)图象的对称轴，其方程是x＝163.12．函数y＝f(x)的图象与直线x＝a，x＝b及x轴所围成图形的面积称为函数f(x)在[a，b]上的面积．已知函数y＝sinnx在0，πn上的面积为2n(n∈N*)．(1)求函数y＝sin3x在0，2π3上的面积．(2)求函数y＝sin(3x－π)＋1在π3，4π3上的面积．解：(1)y＝sin3x在0，2π3上的图象如图所示，由函数y＝sin3x在0，13π上的面积为23，可得函数y＝sin3x在0，23π上的面积为43.6(2)由图可知阴影部分面积即为所求面积，S＝S四边形ABCD＋23＝π＋23.本课时主要学习了求函数y＝Asin(ωx＋φ)的解析式及其性质的运用两种类型的题目，在求解过程中注意掌握以下两个方面：1．由函数y＝Asin(ωx＋φ)的部分图象确定解析式关键在于确定参数A，ω，φ的值．(1)一般可由图象上的最大值、最小值来确定|A|.(2)因为T＝2πω，所以往往通过求周期T来确定ω，可通过已知曲线与x轴的交点从而确定T，即相邻的最高点与最低点之间的距离为T2；相邻的两个最高点(或最低点)之间的距离为T.(3)从寻找“五点法”中的第一零点－φω，0(也叫初始点)作为突破口．以y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)为例，位于单调递增区间上离y轴最近的那个零点最适合作为“五点”中的第一个点．2．在研究y＝Asin(ωx＋φ)(A0，ω＞0)的性质时，注意采用整体代换的思想．例如，它在ωx＋φ＝π2＋2kπ(k∈Z)时取得最大值，在ωx＋φ＝3π2＋2kπ(k∈Z)时取得最小值．