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第1页(共43页)2011高中数学竞赛培训教材编者:全国特级教师(一)集合与容斥原理集合是一种基本数学语言、一种基本数学工具。它不仅是高中数学的第一课,而且是整个数学的基础。对集合的理解和掌握不能仅仅停留在高中数学起始课的水平上,而要随着数学学习的进程而不断深化,自觉使用集合语言(术语与符号)来表示各种数学名词,主动使用集合工具来表示各种数量关系。如用集合表示空间的线面及其关系,表示平面轨迹及其关系、表示方程(组)或不等式(组)的解、表示充要条件,描述排列组合,用集合的性质进行组合计数等。一、学习集合要抓住元素这个关键例1.设A={X∣X=a2+b2,a、b∈Z},X1,X2∈A,求证:X1X2∈A。分析:A中的元素是自然数,即由两个整数a、b的平方和构成的自然数,亦即从0、1、4、9、16、25……,n2,……中任取两个(相同或不相同)数加起来得到的一个和数,本题要证明的是:两个这样的数的乘积一定还可以拆成两个自然数的平方和的形式,即(a2+b2)(c2+d2)=(M)2+(N)2,M,N∈Z证明:设X1=a2+b2,X2=c2+d2,a、b、c、d∈Z.则X1X2=(a2+b2)(c2+d2)=a2c2+b2d2+b2c2+a2d2=a2c2+2ac·bd+b2d2+b2c2-2bc·ad+a2d2=(ac+bd)2+(bc-ad)2又a、b、c、d∈Z,故ac+bd、bc-ad∈Z,从而X1X2∈A练习:1.设两个集合S={x|x=12m+8n,m,n∈Z},T={x|x=20p+16q,p,q∈Z}.求证:S=T。2.设M={a|a=x2-y2,x,y∈Z}.求证:(1)一切奇数属于M;(2)4k-2(k∈Z)不属于M;(3)M中任意两个数的积仍属于M。3.已知函数f(x)=x2+ax+b,a,b∈R,且A={x|x=f(x)},B={x|x=f[f(x)]}.(1)求证:AB;第2页(共43页)(2)若A={-1,3}时,求集合B.二、集合中待定元素的确定例2.已知集合M={X,XY,lg(xy)},S={0,∣X∣,Y},且M=S,则(X+1/Y)+(X2+1/Y2)+……+(X2002+1/Y2002)的值等于().分析:解题的关键在于求出X和Y的值,而X和Y分别是集合M与S中的元素。这一类根据集合的关系反过来确定集合元素的问题,要求我们要对集合元素的基本性质即确定性、异性、无序性及集合之间的基本关系(子、全、补、交、异、空、等)有本质的理解,对于两个相等的有限集合(数集),还会用到它们的简单性质:(a)相等两集合的元素个数相等;(b)相等两集合的元素之和相等;(c)相等两集合的元素之积相等.解:由M=S知,两集合元素完全相同。这样,M中必有一个元素为0,又由对数的性质知,0和负数没有对数,所以XY≠0,故X,Y均不为零,所以只能有lg(XY)=0,从而XY=1.∴M={X,1,0},S={0,∣X∣,1/X}.再由两集合相等知当X=1时,M={1,1,0},S={0,1,1},这与同一个集合中元素的互异性矛盾,故X=1不满足题目要求;当X=-1时,M={-1,1,0},S={0,1,-1},M=S,从而X=-1满足题目要求,此时Y=-1,于是X2K+1+1/Y2K+1=-2(K=0,1,2,……),X2K+1/Y2K=2(K=1,2,……),故所求代数式的值为0.练习:4.已知集合54321,,,,aaaaaA,2524232221,,,,aaaaaB,其中54321,,,,aaaaa是正整数,且54321aaaaa,并满足41,aaBA,BAaa若,1041中的所有元素之和为234,求集合A。三.容斥原理基本公式:(1)card(A∪B)=card(A)+card(B)-card(A∩B);(2)card(A∪B∪第3页(共43页)C)=card(A)+card(B)+card(C)-card(A∩B)-card(A∩C)-card(B∩C)+card(A∩B∩C)问题:开运动会时,高一某班共有28名同学参加比赛,有15人参加游泳比赛,有8人参加田径比赛,有14人参加球类比赛,同时参加游泳比赛和田径比赛的有3人,同时参加游泳比赛和球类比赛的有3人,没有人同时参加三项比赛,问同时参加田径比赛和球类比赛的有多少人?只参加游泳一项比赛的有多少人?设A={参加游泳比赛的同学},B={参加田径比赛的同学},C={参加球类比赛的同学},则card(A)=15,card(B)=8,card(C)=14,card(A∪B∪C)=28,且card(A∩B)=3,card(A∩C)=3,card(A∩B∩C)=0,由公式②得28=15+8+14-3-3-card(B∩C)+0,即card(B∩C)=3,所以同时参加田径和球类比赛的共有3人,而只参加游泳比赛的人有15-3-3=9(人)四、有限集合子集的个数例3.一个集合含有10个互不相同的两位数。试证,这个集合必有2个无公共元素的子集合,此两子集的各数之和相等。分析:两位数共有10,11,……,99,计99-9=90个,最大的10个两位数依次是90,91,……,99,其和为945,因此,由10个两位数组成的任意一个集合中,其任一个子集中各元素之和都不会超过945,而它的非空子集却有210-1=1023个,这是解决问题的突破口。解:已知集合含有10个不同的两位数,因它含有10个元素,故必有210=1024个子集,其中非空子集有1023个,每一个子集内各数之和都不超过90+91+…98+99=9451023,根据抽屉原理,一定存在2个不同的子集,其元素之和相等。如此2个子集无公共元素,即交集为空集,则已符合题目要求;如果这2个子集有公共元素,则划去它们的公共元素即共有的数字,可得两个无公共元素的非空子集,其所含第4页(共43页)各数之和相等。说明:此题构造了一个抽屉原理模型,分两步完成,计算子集中数字之和最多有945个“抽屉”,计算非空子集得1023个“苹果”,由此得出必有两个子集数字之和相等。第二步考察它们有无公共元素,如无公共元素,则已符合要求;如有公共元素,则去掉相同的数字,得出无公共元素并且非空的两个子集,满足条件。例4.设A={1,2,3,…,n},对XA,设X中各元素之和为Nx,求Nx的总和.解:A中共有n个元素,其子集共有2n个。A中每一个元素在其非空子集中都出现了2n-1次,(为什么?因为A的所有子集对其中任一个元素i都可分为两类,一类是不含i的,它们也都是{1,2,…,i-1,i+1,…n}的子集,共2n-1个;另一类是含i的,只要把i加入到刚才的2n-1个子集中的每一个中去)。因而求A的所有子集中所有元素之和Nx的总和时,A中每一个元素都加了2n-1次,即出现了2n-1次,故得=1×2n-1+2×2n-1+…+n……2n-1=(1+2+…+n)·2n-1=n(n+1)/2×2n-1=n(n+1)×2n-2说明:这里运用了整体处理的思想及公式1+2+…+n=(1/2)n(n+1),其理论依据是加法的交换律、结合律、乘法的意义等,集合中每一个元素都在总和中出现了2n-1次,是打开解题思路之门的钥匙。练习:5.设集合A{1,2,3,……,100},且对任意x,y∈A,必有2x≠y,求集合A中所含元素个数的最大值.6.某地区网球俱乐部都有20名成员,举行14场单打比赛,每人至少上场1次.求证:必有6场比赛,其12名参赛者各不相同.(二)二次函数一、二次函数的解析式:①定义式:f(x)=ax2+bx+c.②顶点式:f(x)=a(x-h)2+k.③零点式:f(x)=a(x-x1)(x-x2).(a≠0)二、二次函数的最值:当自变量的取值范围为闭区间[p,q]时,其最值在f(p)、f(q)、f(-b/2a)三者第5页(共43页)中取得,最值情况如下表:-b/2a∈[p,q]-b/2a[p,q]a0fmin=f(-b/2a)=((4ac-b2)/4a)fmax=max{f(p),f(q)}fmin=min{f(p),f(q)}fmax=max{f(p),f(q)}a0fmax=f(-b/2a)=((4ac-b2)/4a)fmin=min{f(p),f(q)}例1.当x为何值时,函数f(x)=(x-a1)2+(x-a2)2+…+(x-an)2取最小值。解:∵f(x)=(x2-2a1x+a12)+(x2-2a2x+a22)+…+(x2-2anx+an2)=nx2-2(a1+a2…+an)x+(a12+a22+…+an2)∴当x=(a1+a2+…+an)/n时,f(x)有最小值.例2.已知x1,x2是方程x2-(k-2)x+(k2+3k+5)=0的两个实数根,x12+x22的最大值是____.解:由韦达定理得:x1+x2=k-2,x1x2=k2+3k+5.∴x12+x22=(x1+x2)2-2x1x2=(k-2)2-2(k2+3k+5=-k2-10k-6=-(k+5)2+19.已知x1,x2是方程的两个实根,即方程有实数根,此时方程的判别式Δ≥0,即Δ=(k-2)2-4(k2+3k+5)=-3k2-16k-16≥0解得:-4≤k≤-4/3.∵k=-5[-4,-4/3],设f(k)=-(k+5)2+19则f(-4)=18,f(-4/3)=50/918.∴当k=-4时,(x12+x22)max=18.例3.已知f(x)=x2-2x+2,在x∈[t,t+1]上的最小值为g(t),求g(t)的表达式。解:f(x)=(x-1)2+1(1)当t+11即t0时,g(t)=f(t+1)=t2+1(2)当t≤1≤t+1,即0≤t≤1时,g(t)=f(1)=1(3)当t1时,g(t)=f(t)=t2-2t+2综合(1)、(2)、(3)得:例4.(1)当x2+2y2=1时,求2x+3y2的最值;(2)当3x2+2y2=6x时,求x2+y2的最值。解:(1)由x2+2y2=1得y2=1/2(1-x2),2x+3y2=2x+(3/2)(1-x2)=(-(3/2))(x-(2/3))2+(13/6)第6页(共43页)又1-x2=2y2≥0,∴x2≤1,-1≤x≤1.∴当x=2/3时,y=(√10)/6,(2x+3y2)max=16/3;当x=-1时,y=0,(2x+3y2)min=-2(2)由3x2+2y2=6x,得y2=(3/2)x(2-x),代入x2+y2=x2+(3/2)x(2-x)=-1/2(x-3)2+9/2又y2=(3/2)x(2-x)≥0,得0≤x≤2.当x=2,y=0时,(x2+y2)max=4;当x=0,y=0时,(x2+y2)min=0三、二次函数与二次方程设f(x)=ax2+bx+c(a≠0)的二实根为x1,x2,(x1<x2),Δ=b2-4ac,且α、β(α<β)是预先给定的两个实数。1.当两根都在区间(α,β)内,方程系数所满足的充要条件∵α<x1<x2<β,对应的二次函数f(x)的图象有下列两种情形当a>0时的充要条件是:Δ>0,α<-b/2a<β,f(α)>0,f(β)>0当a<0时的充要条件是:Δ>0,α<-b/2a<β,f(α)<0,f(β)<0两种情形合并后的充要条件是:Δ>0,α<-b/2a<β,af(α)>0,af(β)>0①2.当两根中有且仅有一根在区间(α,β)内,方程系数所满足的充要条件∵α<x1<β或α<x2<β,对应的函数f(x)的图象有下列四种情形从四种情形得充要条件是:f(α)·f(β)<0②第7页(共43页)3.当两根都不在区间[α,β]内方程系数所满足的充要条件(1)两根分别在区间[α,β]之外的两旁时∵x1<α<β<x2,对应的函数f(x)的图象有下列两种情形(2)两根分别在区间[α,β]之外的同旁时∵x1<x2<α<β或α<β<x1<x2,对应函数f(x)的图象有下列四种情形当x1<x2<α时的充要条件是:Δ>0,-b/2a<α,af(α)>0④当β<x1<x2时的充要条件是:Δ>0,-
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