2015年高二轨迹方程(二)待定系数法

122．、、[2014·全国卷]已知抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，直线y＝4与y轴的交点为P，与C的交点为Q，且|QF|＝54|PQ|.(1)求C的方程；(2)过F的直线l与C相交于A，B两点，若AB的垂直平分线l′与C相交于M，N两点，且A，M，B，N四点在同一圆上，求l的方程．22．解：(1)设Q(x0，4)，代入y2＝2px，得x0＝8p，所以|PQ|＝8p，|QF|＝p2＋x0＝p2＋8p.由题设得p2＋8p＝54×8p，解得p＝－2(舍去)或p＝2，所以C的方程为y2＝4x.21．[2014·福建卷]已知曲线Γ上的点到点F(0，1)的距离比它到直线y＝－3的距离小2.(1)求曲线Γ的方程．21．解：方法一：(1)设S(x，y)为曲线Γ上任意一点．依题意，点S到点F(0，1)的距离与它到直线y＝－1的距离相等，所以曲线Γ是以点F(0，1)为焦点，直线y＝－1为准线的抛物线，所以曲线Γ的方程为x2＝4y.20．、、[2014·湖南卷]如图1­5所示，O为坐标原点，双曲线C1：x2a21－y2b21＝1(a1＞0，b1＞0)和椭圆C2：y2a22＋x2b22＝1(a2＞b2＞0)均过点P233，1，且以C1的两个顶点和C2的两个焦点为顶点的四边形是面积为2的正方形．(1)求C1，C2的方程．(2)是否存在直线l，使得l与C1交于A，B两点，与C2只有一个公共点，且|OA→＋OB→|＝|AB|？证明你的结论.图1­520．解：(1)设C2的焦距为2c2，由题意知，2c2＝2，2a1＝2，从而a1＝1，c2＝1.因为点P233，1在双曲线x2－y2b21＝1上，所以2332－1b21＝1，故b21＝3.由椭圆的定义知2a2＝2332＋（1－1）2＋2332＋（1＋1）2＝23.于是a2＝3，b22＝a22－c22＝2.故C1，C2的方程分别为x2－y23＝1，y23＋x22＝1.17．、[2014·江苏卷]如图1­5所示，在平面直角坐标系xOy中，F1，F2分别是椭圆x2a2＋y2b2＝1(ab0)2的左、右焦点，顶点B的坐标为(0，b)，连接BF2并延长交椭圆于点A，过点A作x轴的垂线交椭圆于另一点C，连接F1C.(1)若点C的坐标为43，13，且BF2＝2，求椭圆的方程；(2)若F1C⊥AB，求椭圆离心率e的值．图1­517．解：设椭圆的焦距为2c,则F1(－c,0),F2(c,0)．(1)因为B(0,b),所以BF2＝b2＋c2＝a.又BF2＝2，故a＝2.因为点C43，13在椭圆上，所以169a2＋19b2＝1，解得b2＝1.故所求椭圆的方程为x22＋y2＝1.21．，，[2014·山东卷]在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(ab0)的离心率为32，直线y＝x被椭圆C截得的线段长为4105.(1)求椭圆C的方程．(2)过原点的直线与椭圆C交于A，B两点(A，B不是椭圆C的顶点)．点D在椭圆C上，且AD⊥AB，直线BD与x轴、y轴分别交于M，N两点．(i)设直线BD，AM的斜率分别为k1，k2，证明存在常数λ使得k1＝λk2，并求出λ的值；(ii)求△OMN面积的最大值．21．解：(1)由题意知，a2－b2a＝32，可得a2＝4b2.椭圆C的方程可简化为x2＋4y2＝a2.将y＝x代入可得x＝±5a5.因此2×25a5＝4105，即a＝2，所以b＝1，所以椭圆C的方程为x24＋y2＝1.20．、[2014·陕西卷]已知椭圆x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)经过点(0，3)，离心率为12，左、右焦点分别为F1(－c，0)，F2(c，0)．(1)求椭圆的方程；(2)若直线l：y＝－12x＋m与椭圆交于A，B两点，与以F1F2为直径的圆交于C，D两点，且满足|AB||CD|＝3534，求直线l的方程．图1­520．解：(1)由题设知b＝3，ca＝12，b2＝a2－c2，解得a＝2，b＝3，c＝1，∴椭圆的方程为x24＋y23＝1.22．、、[2014·湖北卷]在平面直角坐标系xOy中，点M到点F(1，0)的距离比它到y轴的距离多1.记点M的轨迹为C.(1)求轨迹C的方程；(2)设斜率为k的直线l过定点P(－2，1)，求直线l与轨迹C恰好有一个公共点、两个公共点、三个公共点时k的相应取值范围．22．解：(1)设点M(x，y)，依题意得|MF|＝|x|＋1，即（x－1）2＋y2＝|x|＋1，化简整理得y2＝2(|x|＋x)．故点M的轨迹C的方程为y2＝4x，x≥0，0，x0.1．（2013年高考天津卷（文11））已知抛物线28yx的准线过双曲线22221(0,0)xyabab的一个焦点,且双曲线的离心率为2,则该双曲线的方程为______.【答案】2213yx2．（2013年高考山东卷（文））在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆C的中心在原点O,焦点在x轴上,短轴长为2,离心率为22(I)求椭圆C的方程43．（2013年高考课标Ⅰ卷（文））已知圆22:(1)1Mxy,圆22:(1)9Nxy,动圆P与圆M外切并且与圆N内切,圆心P的轨迹为曲线C.(Ⅰ)求C的方程;【答案】解:由已知得圆M的圆心为M(-1,0),半径11r;圆N的圆心为N(1,0),半径23r.设知P的圆心为P(x,y),半径为R.(I)因为圆P与圆M外切并且与圆N内切,所以1212()()4PMPNRrrRrr.有椭圆的定义可知,曲线C是以M,N为左.右焦点,长半轴长为2,短半轴长为3的椭圆(左定点除外),其方程为221(2)43xyx.4．（2013年高考陕西卷（文））已知动点M(x,y)到直线l:x=4的距离是它到点N(1,0)的距离的2倍.(Ⅰ)求动点M的轨迹C的方程;(Ⅱ)过点P(0,3)的直线m与轨迹C交于A,B两点.若A是PB的中点,求直线m的斜率.【答案】解:(Ⅰ)点M(x,y)到直线x=4的距离,是到点N(1,0)的距离的2倍,则134)1(2|4|2222yxyxx.所以,动点M的轨迹为椭圆,方程为13422yx5．（2013年高考天津卷（文））设椭圆22221(0)xyabab的左焦点为F,离心率为33,过点F且与x轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为433.(Ⅰ)求椭圆的方程;(Ⅱ)设A,B分别为椭圆的左右顶点,过点F且斜率为k的直线与椭圆交于C,D两点.若··8ACDBADCB,求k的值.【答案】56．（2013年高考课标Ⅱ卷（文））在平面直角坐标系xOy中，已知圆P在x轴上截得线段长为22，在y轴上截得线段长为23。（Ⅰ）求圆心P的轨迹方程；（Ⅱ）若P点到直线yx的距离为22，求圆P的方程。【答案】7．（2013年高考江西卷（文））椭圆C:=1(ab0)的离心率,a+b=3(1)求椭圆C的方程;(2)如图,A,B,D是椭圆C的顶点,P是椭圆C上除顶点外的任意点,直线DP交x轴于点N直线AD交BP于点M,设BP的斜率为k,MN的斜率为m,证明2m-k为定值.【答案】解:222222233124ccabbaaaa(1）因为e=故所以2ab再由a+b=3得a=2,b=1,2214xCy椭圆的方程为：课题：求轨迹方程（二）待定系数法二、待定系数法待定系数法求轨迹方程的步骤：设出所求的曲线方程；求出字母参数；代入所设．例1、双曲线C与椭圆22184xy有相同的焦点，直线3yx为C的一条渐近线.求双曲线C的方程；6变式练习1：设中心在原点的椭圆与双曲线2222yx=1有公共的焦点，且它们的离心率互为倒数，则该椭圆的方程是.例2．(2008海南、宁夏理)在直角坐标系xOy中，椭圆C1：22221(0)xyabab的左、右焦点分别为F1、F2，F2也是抛物线C2：24yx的焦点，点M为C1与C2在第一象限的交点，且25||3MF求C1的方程；变式1.已知三点P（5，2）、1F（－6，0）、2F（6，0）.求以1F、2F为焦点且过点P的椭圆的标准方程；例3.如图，椭圆长轴端点为BA,,O为椭圆中心，F为椭圆的右焦点,且1FBAF，1OF.求椭圆方程7例4.(2012重庆理)如下图，设椭圆的中心为原点O，长轴在x轴上，上顶点为A，左右焦点分别为21,FF，线段12,OFOF的中点分别为21,BB，且△21BAB是面积为4的直角三角形。求该椭圆的离心率和标准方程；变式1：(2011江西理)000(,)()Pxyxa是双曲线E：22221(0,0)xyabab上一点，,MN分别是双曲线E的左、右顶点，直线,PMPN的斜率之积为15．求双曲线的离心率；待定系数法法求轨迹方程课后练习姓名：学号：1．（江西卷14）已知双曲线22221(0,0)xyabab的两条渐近线方程为33yx，若顶点到渐近线的距离为1，则双曲线方程为．2．（山东卷(10)设椭圆C1的离心率为135，焦点在X轴上且长轴长为26.若曲线C2上的点到椭圆C1的两个焦点的距离的差的绝对值等于8，则曲线C2的标准方程为（）（A）1342222yx(B)15132222yx(C)1432222yx(D)112132222yx3.（天津卷22）已知中心在原点的双曲线C的一个焦点是0,31F，一条渐近线的方程是025yx．求双曲线C的方程。4.（天津卷（7）设椭圆22221xymn（0m，0n）的右焦点与抛物线28yx的焦点相同，离心率为12，则此椭圆的方程为（）8（A）2211216xy（B）2211612xy（C）2214864xy（D）2216448xy5.设椭圆2222:1(0)xyCabab过点(2,1)M，且左焦点为1(2,0)F求椭圆C的方程；6.（2009宁夏海南卷理）已知椭圆C的中心为直角坐标系xOy的原点，焦点在s轴上，它的一个顶点到两个焦点的距离分别是7和1.求椭圆C的方程；7.(2012浙江理)如下图，椭圆2222:1(0)xyCabab的离心率为12，其左焦点到点(2,1)P的距离为10.）求椭圆C的方程；8.（2009浙江理）已知椭圆1C：22221(0)yxabab的右顶点为(1,0)A，过1C的焦点且垂直长轴的弦长为1．求椭圆1C的方程；9.在平面直角坐标系xoy中，抛物线C的顶点在原点，经过点A（2，2），其焦点F在x轴上。求抛物线C的标准方程；10.(2009山东卷理)设椭圆E:22221xyab（a,b0）过M（2，2），N(6,1)两点，O为坐标原点，求椭圆E的方程。11．（安徽）设椭圆2222:1(0)xyCabab过点(2,1)M，且着焦点为1(2,0)F,求椭圆C的方程。12.(2012江苏文)如下图，在平面直角坐标系xoy中，椭圆)0(12222babyax的左、右焦点分别为9)0,()0,(21cFcF，，已知点),1(e和)23,(e都在椭圆上，其中e为椭圆的离心率.求椭圆的方程；13.(2009山东卷文)设斜率为2的直线l过抛物线2(0)yaxa的焦点F,且和y轴交于点A,若△OAF(O为坐标原点)的面积为4,则抛物线方程为().A.24yxB.28yxC.24yxD.28yx14.（2009湖南卷文）已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，以两个焦点和短轴的两个端点为顶点的四边形是一个面积为8的正方形，求椭圆C的方程。15.(2012山东文)如下图，椭圆M：22221(0)xyabab的离心率为32，直线xa和yb所围成的矩形ABCD的面积为8.求椭圆M的标准方程；课题：求轨迹方程（二）待定系数法二、待定系数法待定系数法求轨迹方程的步骤：设出所求的曲线方程；求出字母参数；代入所设．例1、双曲线C与椭圆22184xy有相同的