2013走向高考数学8-3

基础巩固强化1.(文)(2011·山东烟台调研)圆x2＋y2－2x＋4y－4＝0与直线2tx－y－2－2t＝0(t∈R)的位置关系为()A．相离B．相切C．相交D．以上都有可能[答案]C[解析]∵直线2t(x－1)－(y＋2)＝0过圆心(1，－2)，∴直线与圆相交．[点评]直线方程中含参数t，故可由直线方程过定点来讨论，∵2t(x－1)－(y＋2)＝0，∴直线过定点(1，－2)，代入圆方程中，12＋(－2)2－2×1＋4×(－2)－4＝－90，∴点(1，－2)在圆内，故直线与圆相交．(理)直线xsinθ＋ycosθ＝1＋cosθ与圆x2＋(y－1)2＝4的位置关系是()A．相离B．相切C．相交D．以上都有可能[答案]C[解析]圆心到直线的距离d＝|cosθ－1－cosθ|sin2θ＋cos2θ＝12，∴直线与圆相交．2．(2011·唐山二模)圆x2＋y2＝50与圆x2＋y2－12x－6y＋40＝0的公共弦长为()A.5B.6C．25D．26[答案]C[解析]x2＋y2＝50与x2＋y2－12x－6y＋40＝0作差，得两圆公共弦所在的直线方程为2x＋y－15＝0，圆x2＋y2＝50的圆心(0,0)到2x＋y－15＝0的距离d＝35，因此，公共弦长为250－352＝25，选C.3．(2012·山东文，9)圆(x＋2)2＋y2＝4与圆(x－2)2＋(y－1)2＝9的位置关系为()A．内切B．相交C．外切D．相离[答案]B[解析]本题考查圆与圆的位置关系．两圆圆心分别为A(－2,0)，B(2,1)，半径分别为r1＝2，r2＝3，|AB|＝17，∵3－2172＋3，∴两圆相交．4．(2011·江南十校联考)若P(2，－1)为圆(x－1)2＋y2＝25的弦AB的中点，则直线AB的方程为()A．2x＋y－3＝0B．x＋y－1＝0C．x－y－3＝0D．2x－y－5＝0[答案]C[解析]由题知圆心C的坐标为(1,0)，因为CP⊥AB，kCP＝－1，所以kAB＝1，所以直线AB的方程为y＋1＝x－2，即x－y－3＝0，故选C.5．(2012·哈师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学联考)已知圆C：x2＋y2＝12，直线l：4x＋3y＝25，则圆C上任意一点A到直线l的距离小于2的概率为()A.56B.16C.13D.23[答案]B[解析]⊙C上的点到直线l：4x＋3y＝25的距离等于2的点，在直线l1：4x＋3y＝15上，圆心到l1的距离d＝3，圆半径r＝23，∴⊙C截l1的弦长为|AB|＝2r2－d2＝23，∴圆心角∠AOB＝π3，AB的长为⊙C周长的16，故选B.6．(2012·福建文，7)直线x＋3y－2＝0与圆x2＋y2＝4相交于A、B两点，则弦AB的长度等于()A．25B．23C.3D．1[答案]B[解析]本题考查了圆的弦长问题．如图可知，圆心(0,0)到直线x＋3y－2＝0的距离．d＝|－2|1＋3＝1，∴|AB|＝2|BC|＝222－12＝23.[点评]涉及到直线与圆相交的弦长问题，优先用Rt△OCB这一勾股关系，在椭圆中的弦长问题则选用弦长l＝1＋k2|x2－x1|＝1＋1k2|y2－y1|.7．(2012·北京东城区示范校练习)已知圆x2＋y2＝9与圆x2＋y2－4x＋4y－1＝0关于直线l对称，则直线l的方程为________．[答案]x－y－2＝0[解析]由题易知，直线l是两圆圆心连线构成线段的垂直平分线，两圆的圆心坐标分别是(0,0)，(2，－2)，于是其中点坐标是(1，－1)，又过两圆圆心的直线的斜率是－1，所以直线l的斜率是1，于是可得直线l的方程为：y＋1＝x－1，即x－y－2＝0.[点评]两圆方程相减，即可得出对称直线方程．8．(2012·皖南八校第三次联考)已知点P(1，－2)，以Q为圆心的圆Q：(x－4)2＋(y－2)2＝9，以PQ为直径作圆与圆Q交于A、B两点，连接PA、PB，则∠APB的余弦值为________．[答案]725[解析]由题意可知QA⊥PA，QB⊥PB，故PA、PB是圆Q的两条切线，易知|PQ|＝5，PA＝4，∴cos∠APQ＝45，∴cos∠APB＝2cos2∠APQ－1＝2×(45)2－1＝725.9．(2011·苏州市调研)已知直线kx－y＋1＝0与圆C：x2＋y2＝4相交于A，B两点，若点M在圆C上，且有OM→＝OA→＋OB→(O为坐标原点)，则实数k＝________.[答案]0[解析]画图分析可知(图略)，当A，B，M均在圆上，平行四边形OAMB的对角线OM＝2，此时四边形OAMB为菱形，故问题等价于圆心(0,0)到直线kx－y＋1＝0的距离为1.所以d＝1k2＋1＝1，解得k＝0.10．(文)已知圆C：x2＋y2＋x－6y＋m＝0与直线l：x＋2y－3＝0.(1)若直线l与圆C没有公共点，求m的取值范围；(2)若直线l与圆C相交于P、Q两点，O为原点，且OP⊥OQ，求实数m的值．[解析](1)将圆的方程配方，得(x＋12)2＋(y－3)2＝37－4m4，故有37－4m40，解得m374.将直线l的方程与圆C的方程组成方程组，得x＋2y－3＝0，x2＋y2＋x－6y＋4m＝0，消去y，得x2＋(3－x2)2＋x－6×3－x2＋m＝0，整理，得5x2＋10x＋4m－27＝0，①∵直线l与圆C没有公共点，∴方程①无解，∴Δ＝102－4×5(4m－27)0，解得m8.∴m的取值范围是(8，374)．(2)设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，由OP⊥OQ，得OP→·OQ→＝0，由x1x2＋y1y2＝0，②由(1)及根与系数的关系得，x1＋x2＝－2，x1·x2＝4m－275③又∵P、Q在直线x＋2y－3＝0上，∴y1·y2＝3－x12·3－x22＝14[9－3(x1＋x2)＋x1·x2]，将③代入上式，得y1·y2＝m＋125，④将③④代入②得x1·x2＋y1·y2＝4m－275＋m＋125＝0，解得m＝3，代入方程①检验得Δ0成立，∴m＝3.[点评]求直线l与⊙C没有公共点时，用圆心到直线距离d半径R更简便．(理)已知圆C的一条直径的端点分别是M(－2,0)，N(0,2)．(1)求圆C的方程；(2)过点P(1，－1)作圆C的两条切线，切点分别是A、B，求PA→·PB→的值．[解析](1)依题意可知圆心C的坐标为(－1,1)，圆C的半径为2，∴圆C的方程为(x＋1)2＋(y－1)2＝2.(2)PC＝22＋22＝22＝2AC.∴在Rt△PAC中，∠APC＝30°，PA＝6，可知∠APB＝2∠APC＝60°，PB＝6，∴PA→·PB→＝6·6cos60°＝3.能力拓展提升11.(文)(2011·东北三校二模)与圆x2＋(y－2)2＝1相切，且在两坐标轴上截距相等的直线共有()A．2条B．3条C．4条D．6条[答案]C[解析]由题意可知，过原点且与圆相切的直线共有2条，此时在两坐标轴上的截距都是0；当圆的切线在两坐标轴上的截距相等且不为零时，易知满足题意的切线有2条；综上共计4条．(理)(2012·河南质量调研)直线ax＋by＋c＝0与圆x2＋y2＝9相交于两点M、N，若c2＝a2＋b2，则OM→·ON→(O为坐标原点)等于()A．－7B．－14C．7D．14[答案]A[解析]记OM→、ON→的夹角为2θ.依题意得，圆心(0,0)到直线ax＋by＋c＝0的距离等于|c|a2＋b2＝1，∴cosθ＝13，∴cos2θ＝2cos2θ－1＝2×(13)2－1＝－79，∵OM→·ON→＝3×3cos2θ＝－7，选A.12．设A为圆C：(x＋1)2＋y2＝4上的动点，PA是圆的切线，且|PA|＝1，则P点的轨迹方程为()A．(x＋1)2＋y2＝25B．(x＋1)2＋y2＝5C．x2＋(y＋1)2＝25D．(x－1)2＋y2＝5[答案]B[解析]设P(x，y)，由题意可知|PC|2＝|PA|2＋|AC|2＝12＋22＝5，所以P点轨迹为圆，圆心为C(－1,0)，半径为5.∴方程为(x＋1)2＋y2＝5，故选B.13．(文)(2011·济南三模)双曲线x26－y23＝1的渐近线与圆(x－3)2＋y2＝r2(r0)相切，则r＝________.[答案]3[解析]由双曲线的方程可知，其中的一条渐近线方程为y＝22x，圆的圆心坐标为(3,0)，则圆心到渐近线的距离d＝|322|62＝3，所以圆的半径为3.(理)(2011·杭州二检)已知A、B是圆O：x2＋y2＝16上的两点，且|AB|＝6，若以AB为直径的圆M恰好经过点C(1，－1)，则圆心M的轨迹方程是________．[答案](x－1)2＋(y＋1)2＝9[解析]设圆心为M(x，y)，由|AB|＝6知，圆M的半径r＝3，则|MC|＝3，即x－12＋y＋12＝3，所以(x－1)2＋(y＋1)2＝9.14．(2012·天津，12)设m、n∈R，若直线l：mx＋ny－1＝0与x轴相交于点A，与y轴相交于点B，且l与圆x2＋y2＝4相交所得弦的长为2，O为坐标原点，则△AOB面积的最小值为________．[答案]3[解析]∵l与圆相交弦长为2，∴1m2＋n2＝3，∴m2＋n2＝13≥2|mn|，∴|mn|≤16，l与x轴交点A(1m，0)，与y轴交点B(0，1n)，∴S△AOB＝12|1m||1n|＝121|mn|≥12×6＝3.15．(文)(2011·新课标全国文，20)在平面直角坐标系xOy中，曲线y＝x2－6x＋1与坐标轴的交点都在圆C上．(1)求圆C的方程；(2)若圆C与直线x－y＋a＝0交于A、B两点，且OA⊥OB，求a的值．[解析](1)曲线y＝x2－6x＋1与y轴的交点为(0,1)，与x轴的交点为(3＋22，0)，(3－22，0)．故可设C的圆心为(3，t)，则有32＋(t－1)2＝(22)2＋t2，解得t＝1.则圆C的半径为r＝32＋t－12＝3.所以圆C的方程为(x－3)2＋(y－1)2＝9.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，其坐标满足方程组：x－y＋a＝0，x－32＋y－12＝9.消去y，得到方程2x2＋(2a－8)x＋a2－2a＋1＝0.由已知可得，判别式△＝56－16a－4a2＞0.因此，x1,2＝8－2a±56－16a－4a24，从而x1＋x2＝4－a，x1x2＝a2－2a＋12.①由于OA⊥OB，可得x1x2＋y1y2＝0.又y1＝x1＋a，y2＝x2＋a，所以2x1x2＋a(x2＋x2)＋a2＝0.②由①，②得a＝－1，满足Δ0，故a＝－1.(理)在直角坐标系xOy中，以O为圆心的圆与直线x－3y＝4相切．(1)求圆O的方程；(2)圆O与x轴相交于A、B两点，圆内的动点P使|PA|、|PO|、|PB|成等比数列，求PA→·PB→的取值范围．[解析](1)依题设，圆O的半径r等于原点O到直线x－3y＝4的距离，即r＝41＋3＝2，∴圆O的方程为x2＋y2＝4.(2)由(1)知A(－2,0)，B(2,0)．设P(x，y)，由|PA|、|PO|、|PB|成等比数列得，x＋22＋y2·x－22＋y2＝x2＋y2，即x2－y2＝2.PA→·PB→＝(－2－x，－y)·(2－x，－y)＝x2－4＋y2＝2(y2－1)．由于点P在圆O内，故x2＋y24，x2－y2＝2.由此得y21.所以PA→·PB→的取值范围为[－2,0)．16．(文)已知定直线l：x＝－1，定点F(1,0)，⊙P经过F且与l相切.(1)求P点的轨迹C的方程.(2)是否存在定点M，使经过该点的直线与曲线C交于A、B两点，并且以AB为直径的圆都经过原点；若有，请求出M点的坐标；若没有，请说明理由.[解析](1)由题设知点P到点F的距离与点P到直线l的距离相等，∴点P的轨迹C是以F为焦点，l为准线的抛物线，∴点P的轨迹C的方程为：y2＝4x.(2)设AB的方程为x＝my＋n，代入抛物线方程整理得：y2－4my－4n＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则