2013走向高考数学8-6

基础巩固强化1.动点P到直线x＋y－4＝0的距离等于它到点M(2,2)的距离，则点P的轨迹是()A．直线B．抛物线C．椭圆D．双曲线[答案]A[解析]∵M(2,2)在直线x＋y－4＝0上，而|PM|即为P到直线x＋y－4＝0的距离∴动点P的轨迹为过点M垂直于直线x＋y－4＝0的直线．故选A.2．(2012·山东苍山县期末)设椭圆x2m2＋y2n2＝1(m0，n0)的右焦点与抛物线y2＝8x的焦点相同，离心率为12，则此椭圆的方程为()A.x212＋y216＝1B.x216＋y212＝1C.x248＋y264＝1D.x264＋y248＝1[答案]B[解析]抛物线y2＝8x的焦点F(2,0)，由条件得m2－n2＝4，2m＝12.∴m2＝16，n2＝12.故选B.3．(文)(2011·陕西文，2)设抛物线的顶点在原点，准线方程为x＝－2，则抛物线的方程是()A．y2＝－8xB．y2＝－4xC．y2＝8xD．y2＝4x[答案]C[解析]由抛物线准线方程为x＝－2知p＝4，且开口向右，∴抛物线方程为y2＝8x.故选C.(理)已知直线l1：4x－3y＋6＝0和直线l2：x＝－1，P是抛物线y2＝4x上一动点，则点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是()A．2B．3C.115D.3716[答案]A[解析]直线l2：x＝－1为抛物线y2＝4x的准线，由抛物线的定义知，P到l1的距离等于P到抛物线的焦点F(1,0)的距离，故本题化为在抛物线y2＝4x上找一个点P，使得P到点F(1,0)和直线l2的距离之和最小，最小值为F(1,0)到直线l1：4x－3y＋6＝0的距离，即dmin＝|4－0＋6|5＝2，故选A.4．(2012·厦门市质检)抛物线y2＝mx的焦点为F，点P(2,22)在此抛物线上，M为线段PF的中点，则点M到该抛物线准线的距离为()A．1B.32C．2D.52[答案]D[解析]∵点P(2,22)在抛物线上，∴(22)2＝2m，∴m＝4，P到抛物线准线的距离为2－(－1)＝3，F到准线距离为2，∴M到抛物线准线的距离为d＝3＋22＝52.5．(文)(2011·石家庄模拟)直线3x－4y＋4＝0与抛物线x2＝4y和圆x2＋(y－1)2＝1从左到右的交点依次为A、B、C、D，则|AB||CD|的值为()A．16B.116C．4D.14[答案]B[解析]由3x－4y＋4＝0，x2＝4y.得x2－3x－4＝0，∴xA＝－1，xD＝4，yA＝14，yD＝4，∵直线3x－4y＋4＝0恰过抛物线的焦点F(0,1)．∴|AF|＝yA＋1＝54，|DF|＝yD＋1＝5，∴|AB||CD|＝|AF|－1|DF|－1＝116.故选B.(理)若抛物线y2＝4x的焦点是F，准线是l，则经过点F、M(4,4)且与l相切的圆共有()A．0个B．1个C．2个D．3个[答案]C[解析]经过F、M的圆的圆心在线段FM的垂直平分线上，设圆心为C，则|CF|＝|CM|，又圆C与l相切，所以C到l距离等于|CF|，从而C在抛物线y2＝4x上．故圆心为FM的垂直平分线与抛物线的交点，显然有两个交点，所以共有两个圆．6．(文)(2012·山西四校联考)已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)与抛物线y2＝8x有一个公共的焦点F，且两曲线的一个交点为P，若|PF|＝5，则双曲线的渐近线方程为()A．y＝±33xB．y＝±3xC．y＝±2xD．y＝±22x[答案]B[解析]设点P(m，n)，依题意得，点F(2,0)，由点P在抛物线y2＝8x上，且|PF|＝5得m＋2＝5，n2＝8m.由此解得m＝3，n2＝24.于是有a2＋b2＝4，9a2－24b2＝1.由此解得a2＝1，b2＝3，该双曲线的渐近线方程为y＝±3x，选B.(理)(2012·辽宁文，12)已知P、Q为抛物线x2＝2y上两点，点P、Q的横坐标分别为4、－2，过P、Q分别作抛物线的切线，两切线交于点A，则点A的纵坐标为()A．1B．3C．－4D．－8[答案]C[解析]本题考查了导数的几何意义．由已知可设P(4，y1)，Q(－2，y2)．∵点P、Q在抛物线x2＝2y上，∴42＝2y1，①－22＝2y2，②∴y1＝8，y2＝2.∴P(4,8)，Q(－2,2)．又∵抛物线可化为y＝12x2，∴y′＝x.∴过点P的切线斜率为k1＝4，切线方程为y＝4x－8，又∵过点Q的切线斜率为k2＝－2，∴过点Q的切线为y＝－2x－2，联立y＝4x－8，y＝－2x－2，解得x＝1，y＝－4.∴点A的纵坐标为－4.[点评]注意对抛物线方程的整理，化为二次函数形式，然后利用导数求切线方程．7．(文)(2011·烟台检测)已知抛物线型拱桥的顶点距离水面2m时，测量水面宽为8m，当水面上升12m后，水面的宽度是________m.[答案]43[解析]建立平面直角坐标系如图，设开始时水面与抛物线的一个交点为A，由题意可知A(4，－2)，故可求得抛物线的方程为y＝－18x2，设水面上升后交点为B，则点B的纵坐标为－32，代入抛物线方程y＝－18x2可求出B点的横坐标为23，所以水面宽为43m.(理)(2012·陕西理，13)下图是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2m，水面宽4m，水位下降1m后，水面宽________m.[答案]26[解析]本题考查了抛物线方程在实际问题中的应用．如图建立坐标系设方程x2＝－2py(p0)，由题意知点(2，－2)在抛物线上，可得p＝1，则方程为x2＝－2y，当y＝－3时，x＝±6，所以水面宽26m.[点评]抛物线方程在实际问题中的应用，关键是合理建立平面直角坐标系，还要注意数据的实际意义．8．(文)抛物线的焦点为椭圆x29＋y24＝1的左焦点，顶点在椭圆中心，则抛物线方程为______．[答案]y2＝－45x[解析]由c2＝9－4＝5得F(－5，0)，∴抛物线方程为y2＝－45x.(理)若点(3,1)是抛物线y2＝2px的一条弦的中点，且这条弦所在直线的斜率为2，则p＝________.[答案]2[解析]设弦两端点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则y21＝2px1y22＝2px2，两式相减得，y1－y2x1－x2＝2py1＋y2＝2，∵y1＋y2＝2，∴p＝2.9．(2012·银川一中三模)已知抛物线y2＝2px(p0)，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A、B两点，若线段AB的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为________．[答案]x＝－1[解析]由y2＝2px，y＝x－p2，消去x得，y2－2py－p2＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝2p，由条件知，y1＋y2＝4，∴p＝2，∴抛物线的准线方程为x＝－1.10．已知动圆过定点P(1,0)，且与直线x＝－1相切．(1)求动圆圆心M的轨迹C的方程；(2)设A、B是轨迹C上异于原点O的两个不同点，若OA⊥OB，证明直线AB恒过定点，并求出该定点的坐标．[解析](1)设圆心M(x，y)．由题意知点M到点P的距离等于点M到直线x＝－1的距离，故点M的轨迹C是以P(1,0)为焦点，直线x＝－1为准线的抛物线．∴轨迹C的方程是y2＝4x.(2)当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y＝kx＋b(k≠0)．代入C的方程并整理得k2x2＋(2kb－4)x＋b2＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝4－2kbk2，x1x2＝b2k2.故y1y2＝(kx1＋b)(kx2＋b)＝k2x1x2＋kb(x1＋x2)＋b2＝4bk.由OA⊥OB得x1x2＋y1y2＝0，即b2k2＋4bk＝0，解得b＝－4k或b＝0(舍去)．此时，直线AB的方程为：y＝kx－4k，即y＝k(x－4)．此时直线AB过定点(4,0)．当直线AB的斜率不存在时，由OA⊥OB可知A、B两点的坐标分别是(4，－4)、(4,4)．此时直线AB也过定点(4,0)．综上所述，直线AB恒过定点(4,0).能力拓展提升11.(文)已知P为抛物线y2＝4x上一个动点，Q为圆x2＋(y－4)2＝1上一个动点，那么点P到点Q的距离与点P到抛物线的准线距离之和的最小值是()A．5B．8C.17－1D.5＋2[答案]C[解析]抛物线y2＝4x的焦点为F(1,0)，圆x2＋(y－4)2＝1的圆心为C(0,4)，设点P到抛物线的准线距离为d，根据抛物线的定义有d＝|PF|，∴|PQ|＋d＝|PQ|＋|PF|≥(|PC|－1)＋|PF|≥|CF|－1＝17－1.(理)(2012·安徽理，9)过抛物线y2＝4x的焦点F的直线交该抛物线于A、B两点，O为坐标原点，若|AF|＝3，则△AOB的面积为()A.22B.2C.322D．22[答案]C[解析]设∠AFx＝θ(0θπ2)，|BF|＝m；由点A到准线l：x＝－1的距离为3，得：3＝2＋3cosθ，∴cosθ＝13，又m＝2－mcosθ⇔m＝21＋cosθ＝32，△AOB的面积为S＝12×|OF|×|AB|×sinθ＝12×1×(3＋32)×223＝322.故选C.[点评]也可以先由定义和|AF|＝3求得A点坐标(2,22)，得出AF的方程y＝22(x－1)，再解方程组求得AF与抛物线的另一交点B(12，－2)，然后求面积．12．(文)设斜率为2的直线l过抛物线y2＝ax(a≠0)的焦点F，且和y轴交于点A.若△OAF(O为坐标原点)的面积为4，则抛物线方程为()A．y2＝±4xB．y2＝±8xC．y2＝4xD．y2＝8x[答案]B[解析]由抛物线方程知焦点Fa4，0，∴直线l方程为y＝2x－a4，与y轴交点A0，－a2.∴S△OAF＝12·|OA|·|OF|＝12·－a2·a4＝a216＝4.∴a2＝64，a＝±8.故y2＝±8x.故选B.(理)(2011·山东文，9)设M(x0，y0)为抛物线C：x2＝8y上一点，F为抛物线C的焦点，以F为圆心、|FM|为半径的圆和抛物线C的准线相交，则y0的取值范围是()A．(0,2)B．[0,2]C．(2，＋∞)D．[2，＋∞)[答案]C[解析]由题意可知|FM|p＝4，又|FM|＝y0＋2，∴y02，故选C.13．已知抛物线y2＝2px(p0)上一点M(1，m)(m0)到其焦点的距离为5，双曲线x2a－y2＝1的左顶点为A，若双曲线的一条渐近线与直线AM平行，则实数a的值是________．[答案]19[解析]根据抛物线定义可得，抛物线准线方程为x＝－4，则抛物线方程为y2＝16x.把M(1，m)代入y2＝16x得m＝4，即M(1,4)．在双曲线x2a－y2＝1中，A(－a，0)，则kAM＝41＋a＝1a.解得a＝19.14．(文)已知点A(2,0)、B(4,0)，动点P在抛物线y2＝－4x上运动，则AP→·BP→取得最小值时的点P的坐标是______．[答案](0,0)[解析]设P－y24，y，则AP→＝－y24－2，y，BP→＝－y24－4，y，AP→·BP→＝－y24－2－y24－4＋y2＝y416＋52y2＋8≥8，当且仅当y＝0时取等号，此时点P的坐标为(0,0)．(理)如图，过抛物线y2＝2px(p0)的焦点的直线l依次交抛物线及其准线于点A、B、C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝3，则抛物线的方程是________．[答案]y2＝3x[解析]解法1：过A、B作准线垂线，垂足分别为A1、B1，则|AA1|＝3，|BB1|＝|BF|，∵|BC|＝2|BF|，∴|BC|＝2|BB1|，∴|AC|＝2|AA1|＝2|AF|＝6，∴|CF|＝3，∴p＝12|CF|＝32，∴抛物线方程为y2＝3x.解法2：由抛物线定义，|BF|等于B到准线的距离，由|BC|＝2|BF|得∠BCM＝30°，又|AF|＝3，从而A