2015年高考真题与模拟题分类汇编E单元不等式

1/13数学E单元不等式E1不等式的概念与性质10．H6、E1[2015·重庆卷]设双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的右焦点为F，右顶点为A，过F作AF的垂线与双曲线交于B，C两点，过B，C分别作AC，AB的垂线，两垂线交于点D.若D到直线BC的距离小于a＋a2＋b2，则该双曲线的渐近线斜率的取值范围是()A．(－1，0)∪(0，1)B．(－∞，－1)∪(1，＋∞)C．(－2，0)∪(0，2)D．(－∞，－2)∪(2，＋∞)10．A[解析]由题意得A(a，0)，不妨取Bc，b2a，Cc，－b2a，由双曲线的对称性知D在x轴上，设D(x0，0)，由BD⊥AC得b2a－0c－x0·b2aa－c＝－1，解得c－x0＝b4a2（c－a），由题可知c－x0＝b4a2（c－a）a＋a2＋b2＝a＋c，所以b4a2c2－a2＝b2⇒b2a21⇒0ba1.因为双曲线渐近线的斜率为±ba，所以渐近线斜率的取值范围是(－1，0)∪(0，1)．22．D3、E1、E7[2015·重庆卷]在数列{an}中，a1＝3，an＋1an＋λan＋1＋μa2n＝0(n∈N＋)．(1)若λ＝0，μ＝－2，求数列{an}的通项公式；(2)若λ＝1k0(k0∈N＋，k0≥2)，μ＝－1，证明：2＋13k0＋1ak0＋12＋12k0＋1.22．解：(1)由λ＝0，μ＝－2，有an＋1an＝2a2n(n∈N＋)．若存在某个n0∈N＋，使得an0＝0，则由上述递推公式易得an0－1＝0.重复上述过程可得a1＝0，与a1＝3矛盾，所以对任意n∈N＋，an≠0.从而an＋1＝2an(n∈N＋)，即{an}是一个公比q＝2的等比数列．故an＝a1qn－1＝3×2n－1.(2)证明：因为λ＝1k0，μ＝－1，所以数列{an}的递推关系式即为an＋1an＋1k0an＋1－a2n＝0，变形为an＋1an＋1k0＝a2n(n∈N＋)．由上式及a1＝30，归纳可得3＝a1a2…anan＋1…0.因为an＋1＝a2nan＋1k0＝a2n－1k20＋1k20an＋1k0＝an－1k0＋1k0·1k0an＋1，所以ak0＋1＝a1＋(a2－a1)＋…＋(ak0＋1－ak0)＝2/13a1－k0·1k0＋1k0·1k0a1＋1＋1k0a2＋1＋…＋1k0ak0＋12＋1k0·13k0＋1＋13k0＋1＋…＋13k0＋1k0个＝2＋13k0＋1.另一方面，由上已证的不等式知a1a2…ak0ak0＋12，得ak0＋1＝a1－k0·1k0＋1k0·1k0a1＋1＋1k0a2＋1＋…＋1k0ak0＋12＋1k0·12k0＋1＋12k0＋1＋…＋12k0＋1k0个＝2＋12k0＋1.综上，2＋13k0＋1ak0＋12＋12k0＋1.E2绝对值不等式的解法4．A2、E2、E3[2015·天津卷]设x∈R，则“|x－2|1”是“x2＋x－20”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．A[解析]由|x－2|1，解得1x3；由x2＋x－20，解得x1或x－2.由1x3可以推出x1或x－2，反之，不成立，所以“|x－2|1”是“x2＋x－20”的充分不必要条件．故选A.E3一元二次不等式的解法7．E3[2015·江苏卷]不等式2x2－x4的解集为________．7．{x|－1x2}(或(－1，2))[解析]因为2x2－x4＝22，所以x2－x2，解得－1x2，故不等式的解集为(－1，2)．4．A2、E2、E3[2015·天津卷]设x∈R，则“|x－2|1”是“x2＋x－20”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．A[解析]由|x－2|1，解得1x3；由x2＋x－20，解得x1或x－2.由1x3可以推出x1或x－2，反之，不成立，所以“|x－2|1”是“x2＋x－20”的充分不必要条件．故选A.E4简单的一元高次不等式的解法E5简单的线性规划问题6．E5[2015·广东卷]若变量x，y满足约束条件4x＋5y≥8，1≤x≤3，0≤y≤2，则z＝3x＋2y的最小值为()A．4B.235C．6D.3153/136．B[解析]画出约束条件表示的可行域如图所示，易知目标函数在点A处取得最小值，A点的坐标为1，45，所以zmin＝3＋2×45＝235.20．K6、K8、K5、E5[2015·湖北卷]某厂用鲜牛奶在某台设备上生产A，B两种奶制品．生产1吨A产品需鲜牛奶2吨，使用设备1小时，获利1000元；生产1吨B产品需鲜牛奶1.5吨，使用设备1.5小时，获利1200元．要求每天B产品的产量不超过A产品产量的2倍，设备每天生产A，B两种产品时间之和不超过12小时．假定每天可获取的鲜牛奶数量W(单位：吨)是一个随机变量，其分布列为W121518P0.30.50.2该厂每天根据获取的鲜牛奶数量安排生产，使其获利最大，因此每天的最大获利Z(单位：元)是一个随机变量．[来源:Zxxk.Com](1)求Z的分布列和均值；(2)若每天可获取的鲜牛奶数量相互独立，求3天中至少有1天的最大获利超过10000元的概率．20．解：(1)设每天A，B两种产品的生产数量分别为x，y，相应的获利为z，则有2x＋1.5y≤W，x＋1.5y≤12，2x－y≥0，x≥0，y≥0.①目标函数z＝1000x＋1200y.图(1)图(2)[来源:Z+xx+k.Com]4/13图(3)当W＝12时，①表示的平面区域如图(1)，三个顶点分别为A(0，0)，B(2.4，4.8)，C(6，0)．将z＝1000x＋1200y变形为y＝－56x＋z1200，当x＝2.4，y＝4.8时，直线l：y＝－56x＋z1200在y轴上的截距最大，最大获利Z＝zmax＝2.4×1000＋4.8×1200＝8160.当W＝15时，①表示的平面区域如图(2)，三个顶点分别为A(0，0)，B(3，6)，C(7.5，0)．将z＝1000x＋1200y变形为y＝－56x＋z1200，当x＝3，y＝6时，直线l：y＝－56x＋z1200在y轴上的截距最大，最大获利Z＝zmax＝3×1000＋6×1200＝10200.当W＝18时，①表示的平面区域如图(3)，四个顶点分别为A(0，0)，B(3，6)，C(6，4)，D(9，0)．[来源:学§科§网]将z＝1000x＋1200y变形为y＝－56x＋z1200，当x＝6，y＝4时，直线l：y＝－56x＋z1200在y轴上的截距最大，最大获利Z＝zmax＝6×1000＋4×1200＝10800.故最大获利Z的分布列为Z81601020010800P0.30.50.2因此，E(Z)＝8160×0.3＋10200×0.5＋10800×0.2＝9708.(2)由(1)知，一天最大获利超过10000元的概率P1＝P(Z10000)＝0.5＋0.2＝0.7，由二项分布，3天中至少有1天最大获利超过10000元的概率为P＝1－(1－P1)3＝1－0.33＝0.973.14．E5[2015·全国卷Ⅱ]若x，y满足约束条件x－y＋1≥0，x－2y≤0，x＋2y－2≤0，则z＝x＋y的最大值为________．14.32[解析]画出可行域如图中阴影部分所示，5/13目标函数可化为y＝－x＋z，所以直线z＝x＋y过点B1，12时，z取得最大值32.15．E5[2015·全国卷Ⅰ]若x，y满足约束条件x－1≥0，x－y≤0，x＋y－4≤0，则yx的最大值为________．15．3[解析]yx的几何意义为点(x，y)与坐标原点连线的斜率．画出可行域，如图中阴影部分所示．由x＝1，x＋y－4＝0，得C(1，3)，由题易知可行域上的C点与坐标原点连线的斜率最大，且最大值为3.2．E5[2015·北京卷]若x，y满足x－y≤0，x＋y≤1，x≥0，则z＝x＋2y的最大值为()A．0B．1C.32D．22．D[解析]画出可行域，如图中阴影部分所示．目标函数z＝x＋2y可变为y＝－12x＋12z，当函数y＝－12x＋12z过点C(0，1)时，z取得最大值2.5．E5[2015·福建卷]若变量x，y满足约束条件x＋2y≥0，x－y≤0，x－2y＋2≥0，则z＝2x－y的最小值等于()A．－52B．－26/13C．－32D．25．A[解析]可行域如图所示，当直线y＝2x－z过点A－1，12时，z取得最小值，且zmin＝－52.4．E5[2015·湖南卷]若变量x，y满足约束条件x＋y≥－1，2x－y≤1，y≤1，则z＝3x－y的最小值为()A．－7B．－1C．1D．24．A[解析]画出可行域，平移直线y＝3x－z，在直线x＋y＝－1与y＝1的交点A(－2，1)处z取最小值，故zmin＝3×(－2)－1＝－7.6．E5[2015·山东卷]已知x，y满足约束条件x－y≥0，x＋y≤2，y≥0.若z＝ax＋y的最大值为4，则a＝()A．3B．2C．－2D．－36．B[解析]可行域如图所示，7/13当a0时，直线y＝－ax＋z的斜率为负，目标函数在点A(1，1)或B(2，0)处取得最大值．当在A处取得最大值时，－1－a0，a＋1＝4，不等式组无解；当在B处取得最大值时，－a－1，2a＝4，解得a＝2.当a0时，目标函数只能在点A(1，1)处取得最大值4，此时a＝3(舍去)．故a的值为2.10．E5[2015·陕西卷]某企业生产甲、乙两种产品均需用A，B两种原料．已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示．如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得最大利润为()甲乙原料限额A(吨)3212B(吨)128A.12万元B．16万元C．17万元D．18万元10．D[解析]设该企业每天生产甲种产品x吨、乙种产品y吨，则x，y需满足约束条件3x＋2y≤12，x＋2y≤8，x≥0，y≥0，利润z＝3x＋4y.约束条件表示的平面区域是以(0，0)，(4，0)，(2，3)，(0，4)为顶点的四边形及其内部，把各点坐标代入目标函数检验可知，目标函数在点(2，3)处取得最大值3×2＋4×3＝18，即该企业每天的最大利润为18万元．8/132．E5[2015·天津卷]设变量x，y满足约束条件x＋2≥0，x－y＋3≥0，2x＋y－3≤0，则目标函数z＝x＋6y的最大值为()A．3B．4C．18D．402．C[解析]画出约束条件表示的可行域如图所示，目标函数可变形为y＝－16x＋16z.当直线y＝－16x＋16z经过点A(0，3)时，z取得最大值，zmax＝0＋6×3＝18.14．E5[2015·浙江卷]若实数x，y满足x2＋y2≤1，则|2x＋y－2|＋|6－x－3y|的最小值是________．14．3[解析]当x，y满足x2＋y2≤1时，6－x－3y0.由2x＋y－2＝0，x2＋y2＝1⇒5x2－8x＋3＝0⇒x＝35或x＝1，直线2x＋y－2＝0把单位圆分成如图所示的两部分．①当(x，y)在阴影部分内时，2x＋y－2≥0，则原式＝2x＋y－2＋6－x－3y＝x－2y＋4，由线性规划可知，经过A35，45时，原式取得最小值3.②当(x，y)在另一部分内时，2x＋y－2≤0，则原式＝－2x－y＋2＋6－x－3y＝－3x－4y＋8，由线性规划可知，经过A35，45时，原式取得最小值3.综上，原式的最小值为3.[来源:Zxxk.Com]E6基本不等式2abab9．B7、E6[2015·陕西卷]设f(x)＝lnx，0ab，若p＝f(ab)，q＝fa＋b2，r＝12(f(a)＋f(b))，则下列关系式中正确的是()A．q＝rpB．p＝rqC．q＝rpD．