2012年广西高一数学创新杯竞赛初赛试题(含参考答案及评分标准)

2012年广西高一数学竞赛初赛试卷考试时间：2012年9月16日（星期日）8：30－10：30一、选择题（每小题6分，共36分）1．若cba,,为有理数，且0323cba，则cba（）（A）0（B）1（C）2012（D）2015答：A。解析：由有理数与无理数的性质可知0cba时等式成立。故选A.2．已知02022zyxzyx，则分式222222zyxzyx＝（）（A）0（B）1（C）－1（D）2答：C。解析：已知,002022xzyxzyx得，则分式1222222zyxzyx.故选C.3．下列四图，都是由全等正方形组成的图形，其中哪一个能围成正方体？答：（）（A）（B）（C）（D）答：A。解析：只有A是可以的。故选A.4．己知a是正数，并且：等于则224,12aaaa（）（A）5（B）3（C）1（D）-3答：A。解析：5424,12222）（则由aaaaaa。故选A.5．化简22312523得（）（A）1（B）22（C）12（D）122答：D。解析：122)223(23)21(1252322312523。故选D.6．若函数cbxaxy2，当1,0,2x时，其函数值9,5,15y，则函数y的最大值为（）（A）5（B）219（C）13（D）14答：B。解析：由已知求得223192652()22yxxx。故选B.二、填空题（每小题9分，共54分）1．方程：675691089xxxxxxxx的解为.答案：x=－7。解析：)6)(5()7)(5()6()9)(8()10)(8()9(22xxxxxxxxxx,)6)(5(1)9)(8(1xxxx,7x.2．已知两个三位数328和92x的和仍是三位数75y且能被9整除,则x＋y的值为.答案：9。解析：：x,y都是0到9的整数，∵75y能被9整除，∴y=6.∵328＋92x＝567，∴x=3.3．反比例函数0kxky在第一象限内的图像如图，点M是图像上一点，MP垂直x轴于点P，如果△MOP的面积为1，那么k的值是；答案：2.解析：2,12121,),,(kkxySkxyyxMMOP则,4．化简223223得.答：22。解析：22)12()12(22322322。5．计算：11101431321211.答：1110。解析：裂项求和:11101111)11101()3121()211(11101431321211.6．如图，在△ABC中，∠A＝Rt∠，∠B＝60,∠B的平分线交AC于D，点D到边BC的距离为2cm,则边AC的长是cm.答案：6。解析：由∠B的平分线知，AD=点D到边BC的距离为=2cm,则32,3ACBCACAB，由∠B的平分线知6,32332ACACACACACBCABABACADACABDCAD.故边AC的长是6cm.ABCDyxOPM三、（20分）对一切实数x，函数y2(6)20axax恒成立，求a的值．解：由于不等式对一切x，函数y2(6)20axax恒成立，故a应该满足2000(6)420aaaa………………10分即2020360aaa，………………15分解得218a………………20分四、（20分）如图，在ΔABC中，已知点D为BC的中点，M为BD上一点，若DN//AM，求证：四边形ABMN的面积等于ΔCMN的面积。证明：连接AD，则有ADCABDSS，………………5分又DN//AM，则有AMDAMNSS，………………10分故MEDAENSS，………………15分所以CMNABMNSS四边形。………………20分五、（20分）实数a、b取什么值时，方程（3x－2）a+（2x－3）b=8x－7有无数多解？解：原方程化为最简方程：（3a+2b－8）x=2a+3b－7，………………5分根据0x＝0时，方程有无数多解，可知当07320823baba时，原方程有无数多解。………………10分解这个方程组得12ba………………15分故当a=2且b=1时，原方程有无数多解。………………20分ABCDMNEABCDMN