2012年数学一轮复习精品试题第37讲直线的倾斜角_斜率及直线方程

第三十七讲直线的倾斜角、斜率及直线方程班级________姓名________考号________日期________得分________一、选择题：(本大题共6小题，每小题6分，共36分，将正确答案的代号填在题后的括号内．)1．(2010·聊城模拟)关于直线的倾斜角与斜率，下列说法正确的是()A．所有的直线都有倾斜角和斜率B．所有的直线都有倾斜角但不一定都有斜率C．直线的倾斜角和斜率有时都不存在D．所有的直线都有斜率，但不一定有倾斜角解析：所有的直线都一定有倾斜角，而倾斜角为90°的直线不存在斜率．答案：B2．已知两直线的方程分别为l1：x＋ay＋b＝0，l2：x＋cy＋d＝0，它们在坐标系中的关系如图所示，则()A．b0，d0，acB．b0，d0，acC．b0，d0，acD．b0，d0，ac解析：由图象知－1a－1c0，－ba0，－dc0，从而ca0，b0，d0.答案：C3．直线xsinπ7＋ycosπ7＝0的倾斜角是()A．－π7B.π7C.5π7D.6π7解析：由题意得：直线方程为y＝－tanπ7·x，∴k＝－tanπ7＝tan67π，∵0≤α＜π，∴α＝67π.答案：D4．直线2xcosα－y－3＝0(α∈π6，π3)的倾斜角的变化范围是()A.π6，π3B.π4，π3C.π4，π2D.π4，2π3解析：直线2xcosα－y－3＝0的斜率k＝2cosα，由于α∈π6，π3，所以12≤cosα≤32，因此k＝2cosα∈[]1，3.设直线的倾斜角为θ，则有tanθ∈[]1，3，由于θ∈[0，π)，所以θ∈π4，π3，即倾斜角的变化范围是π4，π3.选B.答案：B评析：当斜率表达式中含有字母又需求直线的倾斜角的范围时，应先求斜率的范围，再结合正切函数的图象，利用正切函数的单调性来解决倾斜角的取值范围问题．其中必须注意的是：正切函数y＝tanx在区间[0，π)上并不是单调的，但它在0，π2上和π2，π上都是递增的．5．若原点O和点P(1,1)在直线x＋y－a＝0的两侧，则a的取值范围是()A．a0或a2B．a＝0或a＝2C．0a2D．0≤a≤2解析：因为原点O和点P位于直线两侧，所以(－a)·(1＋1－a)0，解得0a2.故选C.答案：C6．过点(1,3)作直线l，若l经过点(a,0)和(0，b)，且a、b∈N＋，则可作出这样的直线l的条数为()A．1B．2C．3D．多于3解析：由题意可知l：xa＋yb＝1，∴1a＋3b＝1∴b＝3aa－1＝3(a－1)a－1＋3a－1＝3＋3a－1(a≥2，且a∈N＋)∴a－1为3的正约数，当a－1＝1时，b＝6，当a－1＝3时，b＝4，所以这样的直线有2条，故选B.答案：B二、填空题：(本大题共4小题，每小题6分，共24分，把正确答案填在题后的横线上．)7．将直线y＝3x绕原点逆时针旋转90°，再向右平移1个单位，所得到的直线方程为________．解析：将直线y＝3x绕原点逆时针旋转90°得到直线y＝－13x，再向右平移1个单位，所得到的直线方程为y＝－13(x－1)，即y＝－13x＋13.答案：y＝－13x＋138．已知A(3,0)，B(0,4)，直线AB上一动点P(x，y)，则xy的最大值是________．解析：直线AB的方程为x3＋y4＝1，设P(x，y)，则x＝3－34y，∴xy＝3y－34y2＝34(－y2＋4y)＝34[]－(y－2)2＋4≤3.答案：39．(2010·苏州月考)若点A(a,0)，B(0，b)，C(1，－1)(a0，b0)三点共线，则a－b的最小值等于________．解析：因为A(a,0)，B(0，b)，C(1，－1)三点共线，所以kAB＝kAC，即b－00－a＝－1－01－a，整理得1a－1b＝1，于是a－b＝(a－b)1a－1b＝2－ba－ab＝2＋－ba＋－ab≥2＋2＝4，即a－b的最小值等于4.答案：410．直线kx－y＋1－3k＝0，当k变动时，所有直线都通过定点________．解析：将直线方程化为点斜式，得y－1＝k(x－3)，所以直线过定点(3,1)．答案：(3,1)评析：将含有参数的直线方程化成点斜式y－y0＝k(x－x0)的形式，则直线必过点(x0，y0)三、解答题：(本大题共3小题，11、12题13分，13题14分，写出证明过程或推演步骤．)11．设直线l的方程为(a＋1)x＋y＋2－a＝0(a∈R)．(1)若l在两坐标轴上截距相等，求l的方程；(2)若l不经过第二象限，求实数a的取值范围．分析：注意截距概念的运用和直线的图象特征．解：(1)当直线过原点时，该直线在x轴和y轴上的截距为零，当然相等．∴a＝2，方程即为3x＋y＝0.当直线不过原点时，由截距存在且均不为0，∴a－2a＋1＝a－2，即a＋1＝1，∴a＝0，方程即为x＋y＋2＝0.(2)解法一：将l的方程化为y＝－(a＋1)x＋a－2，∴(1)0(1)0.2020aaaa－＋，－＋＝，或－≤，－≤∴a≤－1.综上可知a的取值范围是a≤－1.解法二：将l的方程化为：(x＋y＋2)＋a(x－1)＝0(a∈R)．它表示过l1：x＋y＋2＝0与l2：x－1＝0交点(1，－3)的直线系(不包括x＝1)．由图象可知l的斜率－(a＋1)≥0，即a≤－1时，直线l不经过第二象限．评析：忽略直线l在两坐标轴上截距均为0的情形，直接设出直线的截距式方程进行求解，从而导致错误．每种直线方程的形式均有其适用范围，对于不能由所设直线方程的形式来表达但又符合题意的直线，应注意进行单独考查，并将其加上．12．过点M(0,1)作直线，使它被两直线l1：y＝x3＋103，l2：y＝－2x＋8所截得的线段恰好被点M平分，求此直线方程．解：解法一：(利用点斜式方程)过点M且与x轴垂直的直线显然不合题意，故可设所求方程为y－1＝kx，即y＝kx＋1，它与已知两直线l1、l2分别交于A、B两点，且A、B、M的横坐标分别为xA、xB、xM.联立方程组11102833ykxykxxyxy＝＋，＝＋，与＝－＋，＝＋，得xA＝73k－1，xB＝7k＋2，又∵M平分线段AB，∴xA＋xB＝2xM.即73k－1＋7k＋2＝0，解得k＝－14.故所求直线方程为y＝－14x＋1.解法二：(利用两点式方程)设所求直线与l1、l2分别交于A、B两点，∵点B在直线l2：y＝－2x＋8上，故可设B(t,8－2t)，∵M(0,1)是AB中点，由中点坐标公式可得A(－t，2t－6)，∵A点在直线l1：x－3y＋10＝0上，∴－t－3(2t－6)＋10＝0，解得t＝4.∴A(－4,2)，B(4,0)．由两点式方程得y－20－2＝x－(－4)4－(－4)，整理得x＋4y－4＝0即为所求．13．已知两直线l1：ax－2y＝2a－4，l2：2x＋a2y＝2a2＋4(0a2)与两坐标轴的正半轴围成四边形．当a为何值时，围成的四边形面积取最小值，并求最小值．解：两直线l1：a(x－2)＝2(y－2)，l2：2(x－2)＝－a2(y－2)，都过点(2,2)，如图．设两直线l1，l2的交点为C，且它们的斜率分别为k1和k2，则k1＝a2∈(0,1)，k2＝－2a2∈－∞，－12.∵直线l1与y轴的交点A的坐标为(0,2－a)，直线l2与x轴的交点B的坐标为(2＋a2,0)．∴S四边形OACB＝S△OAC＋S△OCB＝12×(2－a)×2＋12×(2＋a2)×2＝a2－a＋4＝a－122＋154.∴当a＝12时，四边形OACB的面积最小，其值为154.