2012年数学建模方法期末考试试卷2

第1页（共6页）《数学建模方法》期末考试试卷一、某工厂要安排A、B、C三种产品生产，生产这些产品均需要三种主要资源：技术服务、劳动力和行政管理。每件产品所需资源数、资源限量以及每单位产品利润如下表。试确定这三种产品的产量使总利润最大，建立线性规划问题的数学模型。并写出用LINGO软件求解的程序。产品资源产品A产品B产品C资源限量技术服务111100劳动力1045600行政管理226300单位利润（元）1064二、用单纯形方法求如下线性规划问题的最优解。0,0,06054390536..423max321321321321xxxxxxxxxtsxxxS三、上海红星建筑构配件厂是红星集团属下之制造建材设备的专业厂家。其主要产品有４种，分别用代号Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ表示，生产Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ四种产品主要经过冲压、成形、装配和喷漆四个阶段。根据工艺要求及成本核算，单位产品所需要的加工时间、利润以及可供使用的总工时如下表所示：产品型号生产工艺ABCD可利用总工时（分/天）冲压1111480成形48252400装配42552000喷漆64843000单产利润(元)96118在现有资源的条件下如何安排生产，可获得利润最大？现设置上述问题的决策变量如下：1234,,,xxxx分别表示A、B、C、D型产品的日产量，则可建立线性规划模型如下：0,,,300048462000552424005284480..81169max432143214321432143214321xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxtsxxxxz利用LINGO8.0软件进行求解，得求解结果如下：Globaloptimalsolutionfoundatiteration:4Objectivevalue:4450.000第2页（共6页）VariableValueReducedCostX1400.00000.000000X20.0000000.5000000X370.000000.000000X410.000000.000000RowSlackorSurplusDualPrice14450.0001.00000020.0000002.5000003610.00000.00000040.0000000.500000050.0000000.7500000（1）指出问题的最优解并给出原应用问题的答案；（2）写出线性规划问题的对偶线性规划问题，并指出对偶问题的最优解，解释对偶问题最优解的经济意义；（3）灵敏度分析结果如下：Rangesinwhichthebasisisunchanged:ObjectiveCoefficientRangesCurrentAllowableAllowableVariableCoefficientIncreaseDecreaseX19.0000000.50000000.1666667X26.0000000.5000000INFINITYX311.000000.33333331.000000X48.0000001.0000001.000000RighthandSideRangesRowCurrentAllowableAllowableRHSIncreaseDecrease2480.000020.0000080.0000032400.000INFINITY610.000042000.000400.000020.0000053000.00040.00000280.0000对灵敏度分析结果进行分析四、一个公司要分派4个推销员去4个地区推销某种产品，4个推销员在各个地区推销这种产品的预期利润（万元）如下表。若每个推销员只能去一个地区，每一个地区只需要一个推销员，应如何分派这4个推销员才能使公司的利润为最大？地区推销员ABCD甲15101110乙111299丙10201517丁181798（1）给出该指派问题的数学模型；（2）用匈牙利算法给出指派问题的最优解。五、（1）叙述层次分析法的步骤；第3页（共6页）（2）给定最佳旅游地选择问题的递阶层次结构准则层（景色、费用、饮食、居住、旅途）对目标层的比较判断矩阵为：1235/13/12/1127/15/13/12/117/15/1577123552/11A，0976.5max，对应的归一化的特征向量TW)1157.0,0685.0,0485.0,4809.0,2863.0()2(,对于5阶矩阵随机一致性指标12.1RI方案层(旅游地)对准则层的每一准则比较判断矩阵分别为：58.0,2970.05396.01634.0,0092.3,12/122132/13/11(1max1RIPB景色）；58.0,2790.01634.05396.0,0092.3,122/12/113/12312max2RIPB（费用）；58.0,1515.02184.06301.0,1078.3,12/13/1214/13413max3RIPB（饮食）；58.0,2790.01634.05396.0,0092.3,122/12/113/12312max4RIPB（居住）；58.0,1364.02790.05396.0,0092.3,12/13/1212/13212max5RIPB（旅途）(1)求方案层对目标层的权重（2）进行总排序的一致性检验。最佳旅游地景色费用饮食居住旅途苏杭黄山庐山第4页（共6页）六、微分方程建模：已知容器内盛有1000升的盐水，含10公斤盐，如果以每分钟3升的均匀速度向容器内注入淡水，瞬间搅拌后又以每分钟2升的均匀速度将盐水抽出，则一小时后容器内的含盐量是多少？七、求解模糊线性规划：0,,10230360223..254max321~32~321~321321xxxxxxxxxxxtsxxxS对应的约束条件伸缩指标分别取2,6,4321ddd其求解步骤为：先求解线性规划问题：得解：0,5,325x321xx；最优值：3175其次求解线性规划问题：得解：0,6,10x321xx；最优值：70最后求解线性规划问题：第5页（共6页）《数学建模方法》期末考试试卷参考答案一、设该厂计划A、B、C三种产品的数量分别为321,,xxx单位，则可建立线性规划数学模型：0,0,03006226005410100.4610max321321321321321xxxxxxxxxxxxtsxxxS用LINGO求解的程序为：Max=10*x1+6*x2+4*x3;x1+x2+x3=100;10*x1+4*x2+5*x3=600;2*x1+2*x2+6*x3=300;二、解：引进松弛变量54,xx化成标准型0,0,0,0,06054390536..423max5432153214321321xxxxxxxxxxxxxtsxxxS由于有明显的可行基),(54PPB，直接用单纯性方法计算基解1x2x3x4x5x4x90635105x6034501检验行0-3-2-4003x进基变量，5x出基变量，换基迭代：基解1x2x3x4x5x4x303-101-13x123/54/5101/5检验行48-3/56/5004/51x进基变量，4x出基变量，换基迭代：基解1x2x3x4x5x1x101-1/301/3-1/3第6页（共6页）3x6011-0.20.4检验行540100.20.6原线性规划问题的最优解为：54max,0,6,0,1054321Sxxxxx。三、最优解：4450max,10,70,0,4004321Zxxxx即：生产A产品400单位，不生产B产品，生产C产品70单位，山产D产品10单位，可使总利润达到最大，最大利润为4450元。（2）其对偶线性规划问题为：0,,,1185264289644..300020002400480min43214321432143214321yyyyyyyyyyyyyyyytsyyyyW对偶问题的最优解为：75.0,5.0,0,5.24321yyyy，4450minW（3）75.0,5.0,0,5.24321yyyy分别代表冲压、成形、装配和喷漆4种工艺的影子价格。在其他条件不变的情况下，使影子价格不变的资源的变化范围分别为：冲压[480-80,480+20]=[400,500]；成形[2400-610,2400+∞]=[1790,+∞]；装配[2000-20,2000+400]=[1980,2400]；喷漆[3000-280,3000+40]=[2720,3040]。在其他条件不变的情况下，当A、B、C、D的单位利润变化范围分别为：A产品[9-1/6,9+0.5]=[53/9,9.5]；B产品[6-∞,6+0.5]=(-∞,6.5)；C产品[[11-1,11+1/3]=[10,34/3]；D产品[8-1,8+1]=[7,9]时，产品结构不变。四、解：建立指派问题的数学模型：)4,3,2,1;4,3,2,1(10111011111..8917181715201099121110111015max433323134443424143332313343332314232221224232221413121111413121144434241343332312423222114131211jiorxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxtsxxxxxxxxxxxxxxxxZij匈牙利算法：28512113235010111189109105)20ijc（33109103501033015450第7页（共6页）11-7610210011-2150***650021102140****；最优解：0010100001000001)(ijx甲—A，乙—C，丙—D，丁—B地区推销，可是利润最大。最大利润为58万元。五、（1）叙述层次分析法的步骤；1.建立递阶层次结构；2.构造成对比较判断矩阵；3.计算权向量并作一致性检验；4.计算组合权重向量并作组合一致性检验。(1)求方案层对目标层的权重；0.11570.06850.04850.48090.28630.16340.27900.15150.27900.27900.27900.16340.21840.16340.53960.53960.53960.63010.53960.16340.25940.28710.4362（2）进行总排序的一致性检验。0.00700.11570.06850.04850.48090.28630.00460.00460.05390.00460.00461.00.03390.01210.0217860.580.00700.021786CR六、解设t时刻容器内的含盐量为)(ty，则容器中的溶液总量为ttt10023100，此时溶液的浓度为()100ytt，则在时间间隔[,]ttdt内：进盐