2012年江苏数学高考试题1(word解析版)

12012年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．．1．已知集合{124}A，，，{246}B，，，则AB▲．1,2,4,6。2．某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为334::，现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为50的样本，则应从高二年级抽取▲名学生．15。3．设abR，，117ii12iab（i为虚数单位），则ab的值为▲．8。4．（2012年江苏省5分）下图是一个算法流程图，则输出的k的值是▲．5。5．（2012年江苏省5分）函数xxf6log21)(的定义域为▲．06，。6．现有10个数，它们能构成一个以1为首项，3为公比的等比数列，若从这10个数中随机抽取一个数，则它小于8的概率是▲．35。7．如图，在长方体1111ABCDABCD中，3cmABAD，12cmAA，则四棱锥11ABBDD的体积为▲cm3．6。8．在平面直角坐标系xOy中，若双曲线22214xymm的离心率为5，则m的值为▲．2。9．如图，在矩形ABCD中，22ABBC，，点E为BC的中点，点F在边CD上，若2ABAF，则AEBF的值是2▲．10．设()fx是定义在R上且周期为2的函数，在区间[11]，上，0111()201xxaxfxbxx≤≤≤，，，，其中abR，．若1322ff，则3ab的值为▲1011．设为锐角，若4cos65，则)122sin(a的值为▲17250。12．在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为228150xyx，若直线2ykx上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，则k的最大值是43。13．已知函数2()()fxxaxbabR，的值域为[0)，，若关于x的不等式()fxc的解集为(6)mm，，则实数c的值为▲．9。14．已知正数abc，，满足：4ln53lnbcaacccacb≤≤≥，，则ba的取值范围是▲．7e，。二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．在ABC中，已知3ABACBABC．（1）求证：tan3tanBA；（2）若5cos5C，求A的值．【答案】解：（1）∵3ABACBABC，∴cos=3cosABACABABCB，即cos=3cosACABCB。由正弦定理，得=sinsinACBCBA，∴sincos=3sincosBAAB。又∵0AB，∴cos0cos0AB，。∴sinsin=3coscosBABA即tan3tanBA。（2）∵5cos05CC，，∴2525sin1=55C。∴tan2C。∴tan2AB，即tan2AB。∴tantan21tantanABAB。2由（1），得24tan213tanAA，解得1tan=1tan=3AA，。∵cos0A，∴tan=1A。∴=4A。17．（2012年江苏省14分）如图，建立平面直角坐标系xoy，x轴在地平面上，y轴垂直于地平面，单位长度为1千米．某炮位于坐标原点．已知炮弹发射后的轨迹在方程221(1)(0)20ykxkxk表示的曲线上，其中k与发射方向有关．炮的射程是指炮弹落地点的横坐标．（1）求炮的最大射程；（2）设在第一象限有一飞行物（忽略其大小），其飞行高度为3.2千米，试问它的横坐标a不超过多少时，炮弹可以击中它？请说明理由．【答案】解：（1）在221(1)(0)20ykxkxk中，令0y，得221(1)=020kxkx。由实际意义和题设条件知00xk，。∴2202020===10112kxkkk，当且仅当=1k时取等号。∴炮的最大射程是10千米。（2）∵0a，∴炮弹可以击中目标等价于存在0k，使221(1)=3.220kaka成立，即关于k的方程2222064=0akaka有正根。由222=204640aaa得6a。此时，22222020464=02aaaaka（不考虑另一根）。∴当a不超过6千米时，炮弹可以击中目标。18．（2012年江苏省16分）若函数)(xfy在0xx处取得极大值或极小值，则称0x为函数)(xfy的极值点。已知ab，是实数，1和1是函数32()fxxaxbx的两个极值点．（1）求a和b的值；（2）设函数()gx的导函数()()2gxfx，求()gx的极值点；（3）设()(())hxffxc，其中[22]c，，求函数()yhx的零点个数．【答案】解：（1）由32()fxxaxbx，得2()32f'xxaxb。∵1和1是函数32()fxxaxbx的两个极值点，∴(1)32=0f'ab，(1)32=0f'ab，解得==3ab0，。（2）∵由（1）得，3()3fxxx，∴23()()2=32=12gxfxxxxx，解得123==1=2xxx，。∵当2x时，()0gx；当21x时，()0gx，∴=2x是()gx的极值点。∵当21x或1x时，()0gx，∴=1x不是()gx的极值点。∴()gx的极值点是－2。（3）令()=fxt，则()()hxftc。先讨论关于x的方程()=fxd根的情况：2,2d当=2d时，由（2）可知，()=2fx的两个不同的根为I和一2，注意到()fx是奇函数，∴()=2fx的两个不同的根为一和2。3当2d时，∵(1)=(2)=20fdfdd，(1)=(2)=20fdfdd，∴一2,－1，1，2都不是()=fxd的根。由（1）知()=311f'xxx。①当2x，时，()0f'x，于是()fx是单调增函数，从而()(2)=2fxf。此时()=fxd在2，无实根。②当12x，时．()0f'x，于是()fx是单调增函数。又∵(1)0fd，(2)0fd，=()yfxd的图象不间断，∴()=fxd在（1,2）内有唯一实根。同理，()=fxd在（一2，一I）内有唯一实根。③当11x，时，()0f'x，于是()fx是单调减两数。又∵(1)0fd，(1)0fd，=()yfxd的图象不间断，∴()=fxd在（一1，1）内有唯一实根。因此，当=2d时，()=fxd有两个不同的根12xx，满足12=1=2xx，；当2d时()=fxd有三个不同的根315xxx，，，满足2=3,4,5ixi，。现考虑函数()yhx的零点：(i）当=2c时，()=ftc有两个根12tt，，满足12==2tt1，。而1()=fxt有三个不同的根，2()=fxt有两个不同的根，故()yhx有5个零点。(11）当2c时，()=ftc有三个不同的根345ttt，，，满足2=3,4,5iti，。而=3,()4,=5ifxti有三个不同的根，故()yhx有9个零点。综上所述，当=2c时，函数()yhx有5个零点；当2c时，函数()yhx有9个零点。19．（2012年江苏省16分）如图，在平面直角坐标系xoy中，椭圆22221(0)xyabab的左、右焦点分别为1(0)Fc，，2(0)Fc，．已知(1)e，和32e，都在椭圆上，其中e为椭圆的离心率．（1）求椭圆的方程；（2）设,AB是椭圆上位于x轴上方的两点，且直线1AF与直线2BF平行，2AF与1BF交于点P．（i）若1262AFBF，求直线1AF的斜率；（ii）求证：12PFPF是定值．【答案】解：（1）由题设知，222==cabcea，，由点(1)e，在椭圆上，得2222222222222222111=1===1ecbcabaabbabaab，∴22=1ca。由点32e，在椭圆上，得22222422224433221311144=0=214ecaaaaabaa4∴椭圆的方程为2212xy。（2）由（1）得1(10)F，，2(10)F，，又∵1AF∥2BF，∴设1AF、2BF的方程分别为=1=1myxmyx，，11221200AxyBxyyy，，，，，。∴2221221111211221221=0=22=1xmmymymyymmyx。∴22222222111112221122=10==122mmmmmAFxymyymmm。①同理，2222211=2mmmBFm。②（i）由①②得，2122212mmAFBFm。解22216=22mmm得2m=2。∵注意到0m，∴=2m。∴直线1AF的斜率为12=2m。（ii）证明：∵1AF∥2BF，∴211BFPBPFAF，即2121111111BFPBPFBFAFPBPFAFPFAF。∴11112=AFPFBFAFBF。由点B在椭圆上知，1222BFBF，∴11212=22AFPFBFAFBF。同理。22112=22BFPFAFAFBF。∴12212211212122+=222222AFBFAFBFPFPFBFAFAFBFAFBFAFBF由①②得，212221=2mAFBFm，221=2mAFBFm，∴1223+=22=222PFPF。∴12PFPF是定值。20已知各项均为正数的两个数列{}na和{}nb满足：221nnnnnbabaa，*Nn，（1）设nnnabb11，*Nn，求证：数列2nnba是等差数列；（2）设nnnabb21，*Nn，且{}na是等比数列，求1a和1b的值．【答案】解：（1）∵nnnabb11，∴11222=1nnnnnnnnabbaabba。∴2111nnnnbbaa。∴222221111*nnnnnnnnbbbbnNaaaa。5∴数列2nnba是以1为公差的等差数列。（2）∵00nnab，，∴22222nnnnnnababab。∴12212nnnnnabaab。（﹡）设等比数列{}na的公比为q，由0na知0q，下面用反证法证明=1q若1,q则212=2aaaq，∴当12logqna时，112nnaaq，与（﹡）矛盾。若01,q则212=1aaaq，∴当11logqna时，111nnaaq，与（﹡）矛盾。∴综上所述，=1q。∴1*naanN，∴112a。又∵1122=nnnnbbbaa*nN，∴{}nb是公比是12a的等比数列。若12a，则121a，于是123bbb。又由221nnnnnbabaa即11221nnabaab，得22111212=1naaaba。∴123bbb，，中至少有两项相同，与123bbb矛盾。∴1=2a。∴2222222==221nb。∴12==2ab。