2012年湖南省普通高中学业水平考试数学试卷及答案

12012年湖南省普通高中学业水平考试数学试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知等差数列{na}的前3项分别为2、4、6，则数列{na}的第4项为A．7B．8C．10D．122．如图是一个几何体的三视图，则该几何体为A．球B．圆柱C．圆台D．圆锥3．函数)2)(1()(xxxf的零点个数是A．0B．1C．2D．34．已知集合}2,0,1{，}3,{x，若}2{，则x的值为A．3B．2C．0D．-15．已知直线1l：12xy，2l：52xy，则直线1l与2l的位置关系是A．重合B．垂直C．相交但不垂直D．平行6．下列坐标对应的点中，落在不等式01yx表示的平面区域内的是A．（0，0）B．（2，4）C．（-1，4）D．（1，8）7．某班有50名同学，将其编为1、2、3、…、50号，并按编号从小到大平均分成5组．现用系统抽样方法，从该班抽取5名同学进行某项调查，若第1组抽取的学生编号为3，第2组抽取的学生编号为13，则第4组抽取的学生编号为A．14B．23C．33D．438．如图，D为等腰三角形ABC底边AB的中点，则下列等式恒成立的是A．0CBCAB．0ABCDC．0CDCAD．0CBCD9．将函数xysin的图象向左平移3个单位长度，得到的图象对应的函数解析式为A．)3sin(xyB．)3sin(xyC．)32sin(xyD．)32sin(xy正视图（第2题图）俯视图侧视图（第8题图）CABD210．如图，长方形的面积为2，将100颗豆子随机地撒在长方形内，其中恰好有60颗豆子落在阴影部分内，则用随机模拟的方法可以估计图中阴影部分的面积为A．32B．54C．56D．34二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，满分20分．11．比较大小：5log23log2（填“＞”或“＜”）．12．已知圆4)(22yax的圆心坐标为)0,3(，则实数a．13．某程序框图如图所示，若输入的cba,,值分别为3，4，5，则输出的y值为．14．已知角的终边与单位圆的交点坐标为（23,21），则cos=．15．如图，A，B两点在河的两岸，为了测量A、B之间的距离，测量者在A的同侧选定一点C，测出A、C之间的距离是100米，∠BAC=105º，∠ACB=45º，则A、B两点之间的距离为米．三、解答题：本大题共5小题，满分40分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．（本小题满分6分）已知函数)(xfy（]6,2[x）的图象如图．根据图象写出：（1）函数)(xfy的最大值；（2）使1)(xf的x值．（第10题图）开始输入a,b,c输出y结束（第13题图）3cbay（第15题图）BAC105º45º河-2-1O256x2-11y（第16题图）317．（本小题满分8分）一批食品，每袋的标准重量是50g，为了了解这批食品的实际重量情况，从中随机抽取10袋食品，称出各袋的重量（单位：g），并得到其茎叶图（如图）．（1）求这10袋食品重量的众数，并估计这批食品实际重量的平均数；（2）若某袋食品的实际重量小于或等于47g，则视为不合格产品，试估计这批食品重量的合格率．18．（本小题满分8分）如图，在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，D1D⊥底面ABCD，底面ABCD是正方形，且AB=1，D1D=2．（1）求直线D1B与平面ABCD所成角的大小；（2）求证：AC⊥平面BB1D1D．456695000112（第17题图）（第18题图）ABCDA1B1C1D1419．（本小题满分8分）已知向量a=（xsin，1），b=（xcos，1），xR．（1）当4x时，求向量a+b的坐标；（2）若函数)(xf|a+b|2m为奇函数，求实数m的值．20．（本小题满分10分）已知数列{na}的前n项和为aSnn2(a为常数，nN*)．（1）求1a，2a，3a；（2）若数列{na}为等比数列，求常数a的值及na；（3）对于（2）中的na，记34)(112nnaanf，若0)(nf对任意的正整数n恒成立，求实数的取值范围．52012年湖南省普通高中学业水平考试数学试卷参考答案一、选择题（每小题4分，满分40分）题号12345678910答案BDCBDACBAC二、填空题（每小题4分，满分20分）11．＞；12．3；13．4；14．21；15．2100．三、解答题（满分40分）16．解：（1）由图象可知，函数)(xfy的最大值为2；…………………3分（2）由图象可知，使1)(xf的x值为-1或5．……………6分17．解：（1）这10袋食品重量的众数为50（g），………………2分因为这10袋食品重量的平均数为491052515150505049464645（g），所以可以估计这批食品实际重量的平均数为49（g）；……………4分（2）因为这10袋食品中实际重量小于或等于47g的有3袋，所以可以估计这批食品重量的不合格率为103，故可以估计这批食品重量的合格率为107．8分18．（1）解：因为D1D⊥面ABCD，所以BD为直线BD1在平面ABCD内的射影，所以∠D1BD为直线D1B与平面ABCD所成的角，…………………2分又因为AB=1，所以BD=2，在Rt△D1DB中，1tan11BDDDBDD，所以∠D1BD=45º，所以直线D1B与平面ABCD所成的角为45º；4分（2）证明：因为D1D⊥面ABCD，AC在平面ABCD内，所以D1D⊥AC，又底面ABCD为正方形，所以AC⊥BD，…………………6分因为BD与D1D是平面BB1D1D内的两条相交直线，所以AC⊥平面BB1D1D．…………………………8分19．解：（1）因为a=（xsin，1），b=（xcos，1），4x，所以a+b)2,2()2,cos(sinxx；…………………4分（2）因为a+b)2,cos(sinxx，6所以mxmxxxf52sin4)cos(sin)(2，……………6分因为)(xf为奇函数，所以)()(xfxf，即mxmx52sin5)2sin(，解得5m．……………8分注：由)(xf为奇函数，得0)0(f，解得5m同样给分．20．解：（1）211aSa，……………………1分由212aaS，得22a，……………………2分由3213aaaS，得43a；…………………3分（2）因为21aa，当2n时，112nnnnSSa，又{na}为等比数列，所以11a，即12a，得1a，…………5分故12nna；…………………………………6分（3）因为12nna，所以3242)(2nnnf，………………7分令nt2，则2t，34)2(34)(22tttnf，设34)2()(2ttg，当0时，03)(nf恒成立，…………………8分当0时，34)2()(2ttg对应的点在开口向上的抛物线上，所以0)(nf不可能恒成立，……………9分当0时，34)2()(2ttg在2t时有最大值34，所以要使0)(nf对任意的正整数n恒成立，只需034，即43，此时043，综上实数的取值范围为043．…………………………10分说明：解答题如有其它解法，酌情给分．