2013年春-西南大学《线性代数》作业及答案

2013年春西南大学《线性代数》作业及答案(共5次,已整理)第一次作业【单选题】9.下列n阶(n2)行列式的值必为0的有：B:行列式非零元素的个数小于n个。【单选题】1.有二阶行列式，其第一行元素是（1，3），第二行元素是（1，4），该行列式的值是:B:1【单选题】2.有二阶行列式，其第一行元素是（2，3），第二行元素是（3，-1），则该行列式的值是：A:-11【单选题】3.有三阶行列式，其第一行元素是（0，1，2），第二行元素是（-1，-1，0），第三行元素是（2，0，-5），则该行列式的值是：B:-1【单选题】4.有三阶行列式，其第一行元素是（1，1，1），第二行元素是（3，1，4），第三行元素是（8，9，5），则该行列式的值是：C:5【单选题】5.行列式A的第一行元素是（k,3,4)，第二行元素是(-1,k,0)，第三行元素是(0,k,1)，如果行列式A的值等于0，则k的取值应是：C:k=3或k=1【单选题】6.6.排列3721456的逆序数是：C:8【单选题】7..行列式A的第一行元素是（-3，0，4），第二行元素是（2，a，1),第三行元素是（5，0，3），则其中元素a的代数余子式是：B:-29【单选题】8.已知四阶行列式D中第三行元素为（-1，2，0，1），它们的余子式依次分别为5，3，-7，4，则D的值等于.C:-15【论述题】行列式部分主观题行列式部分的填空题1．在5阶行列式ija中，项a13a24a32a45a51前的符号应取+号。2．排列45312的逆序数为5。3．行列式25112214x中元素x的代数余子式是8．4．行列式102325403中元素-2的代数余子式是—11。5．行列式25112214x中，x的代数余子式是—5。6．计算00000dcba=0行列式部分计算题1．计算三阶行列式381141102解：原式=2×（—4）×3+0×（—1）×（—1）+1×1×8—1×（—1）×（—4）—0×1×3—2×（—1）×8=—42．决定i和j，使排列1234i6j97为奇排列.解：i=8，j=5。3．(7分)已知0010413xxx，求x的值．解：原式=3x2—x2—4x=2x2—4x=2x(x—2)=0解得：x1=0；x2=2所以x={x│x≠0；x≠2x∈R}4．(8分)齐次线性方程组000zyxzyxzyx有非零解，求。解：211110100011111111D由D=0得λ=15．用克莱姆法则求下列方程组：10329253142zyxzyxzyx解：因为033113002104217117021042191170189042135113215421231312）（rrrrrrD所以方程组有唯一解，再计算：811110212942311D1081103229543112D1351013291531213D因此，根据克拉默法则，方程组的唯一解是：x=27，y=36，z=—45第二次作业【论述题】矩阵部分主观题矩阵部分填空题1．计算001010100453641126=1266414532．已知矩阵A=（1，2，3），则AAT9636423213．若4阶方阵A的行列式|A|=2，则|A3|=8。4．设A为3阶矩阵，若已知mAmA则,4m．5.矩阵2311的伴随矩阵是21316．设A是3阶方阵，且A2=0，则A3=0.7．设A为2阶方阵，|A|=2，则1A12矩阵部分计算题1．已知矩阵Ａ＝2110154214321，求矩阵Ａ的秩．解：对矩阵作以下初等变换：2110154214321A228011404321791012342211110101444404110000可以看出：r（A）=22.设A=120340005,求1A解：A11500420435(1)5(2)10031021，所以A可逆。111143(1)221A,121204(1)002A,131304(1)002A,同法可得：210A,225A,2310A,310A,3215A,3320A.112131122232132333200051501020AAAAAAAAAA12001105151001020AAA=1005130220123．设A=543022001，求A*和A－1解：100220100345A,所以A可逆。易得：1110A，1210A，132A，210A，225A，234A，310A，320A，332A。于是：24205100010A，51525102110012420510001010111AAA4．设A=312021001，求A-1。解：10012060213A，所以A可逆。易得：116A，123A，133A，210A，223A，231A，310A，320A，332A。于是：213033006A316121021210012130330066111AAA5．设)(ijaA为三阶矩阵，若已知|A|=2，求||A|A|．解：162443AAAAA第三次作业【单选题】11.矩阵A适合下面哪个条件时，它的秩为r.B:A中线性无关的列向量最多有r个。【单选题】10.矩阵A的第一行元素是（1，0，5），第二行元素是（0，2，0），则矩阵A乘以A的转置是：C:第一行元素是（26，0），第二行元素是（0，4）。【判断题】9.若矩阵A的行数不等于矩阵B的列数，则矩阵A乘以B没有意义。正确答案：错误【多选题】8.齐次线性方程组AX=0是线性方程组AX=b的导出组，则C：u是AX=0的通解，X1是AX=b的特解时，X1+u是AX=b的通解。D：V1，V2是AX=b的解时，V1-V2是AX=0的解。【多选题】7.n阶矩阵可逆的充要条件是：A：r(A)=nB：A的列秩为n。【多选题】6.向量组a1,a2,...,as的秩不为零的充分必要条件是：A：a1,a2,…,as中至少有一个非零向量。D：a1,a2,…,as中有一个线性无关的部分组。【多选题】5.向量组a1,a2,...,as线性相关的充分必要条件是：C：a1,a2,…,as中至少有一个向量可由其余向量线性表示。D：a1,a2,…,as中至少有一部分组线性相关【单选题】4.矩阵A为三阶矩阵，若已知|A|=m,则|-mA|的值为C:-m*m*m*m【判断题】3.若矩阵A可逆，则它一定是非奇异的。正确答案：正确【多选题】1.向量组a1,a2,...,as线性无关的必要条件是：A：a1,a2,…,as都不是零向量。C：a1,a2,…,as中任意两个向量都不成比例D：a1,a2,…,as中任一部分组线性无关【判断题】2.若矩阵A的列数等于矩阵B的行数，则矩阵A乘以B有意义正确答案：正确【论述题】关于线性方程组的主观题线性方程组部分填空题1．设齐次线性方程组Ax=0的系数阵A的秩为r，当r=n时，则Ax=0只有零解；当Ax=0有无穷多解时，其基础解系含有解向量的个数为n-r.2．设η1，η2为方程组Ax=b的两个解，则η1－η2或η2－η1是其导出方程组的解。3．设α0是线性方程组Ax=b的一个固定解，设z是导出方程组的某个解，则线性方程组Ax=b的任意一个解β可表示为β=α0+z.4．若n元线性方程组Ax=b有解，R（A）=r，则当[r=n时，有惟一解；当,r＜n时，有无穷多解。5．A是m×n矩阵，齐次线性方程组Ax=0有非零解的充要条件是R（A）＜n.6．n元齐次线性方程组Ax=0仅有零解的充分必要条件是|A|不等于0。7线性方程组Ax=b有解的充要条件是r(Ab)=r(A)。8．设1u是线性方程组Ax=b的一个特解，rnvvv,,,21是其导出组的基础解系，则线性方程组Ax=b的全部解可以表示为u=rnrnvcvcvcu221111．求线性方程组22334731243214321421xxxxxxxxxxx的通解.答案：通解为：x=k1),(001010110121212Rkkk2．求齐次线性方程组05105036302432143214321xxxxxxxxxxxx的一个基础解系.答案：基础解系为v1=1001,00122v3．求非齐次线性方程组的通解322212432143214321xxxxxxxxxxxx答案：同解方程组为121023123434241xxxxxx，通解为)(21330101Rkkx4求方程组的通解2534432312432143214321xxxxxxxxxxxx答案：化为同解方程组757975767171432431xxxxxx通解为00757610797101757121kkx5．已知线性方程组1324321xxxx4324321xxxx4234321xxxx6324321xxxx（1）求增广矩阵（Ab）的秩r（Ab）与系数矩阵A的秩r（A）；（2）判断线性方程组解的情况，若有解，则求解。答案：（1）r（Ab）=r（A）=4（2）有唯一解。x1=-1;x2=-1;x3=0;x4=1第四次作业【论述题】关于线性关系的主观题向量的线性关系填空题1．向量α=（1，3，5，7），β=（a,b,5,7），若α=β，则a=1,b=3.2．已知向量1=（1，2，3），2=（3，2，1），则31+22=（9，10，11），1-2=（-2，0，2）．3．设向量组321,,线性无关，则向量组1，1+2，1+2+3线性无关．4．设向量321,,aaa线性无关，则3212,,aaa线性无关。5．设向量321,,aaa线性无关，则向量0,,,321aaa线性相关．6.4321,,,是3维向量组,则4321,,,线性相关.7．零向量是线性相关的，非零向量α是线性无关的.线性关系部分证明题1证明：如果向量组,,线性无关，则向量组,,亦线性无关．证明：设有一组数321,,kkk，使0)()()(321kkk成立，整理得0)()()(322131kkkkkk由于,,线性无关，所以000322131kkkkkk因为其系数行列式02110011101，所以方程组只有零解，即0321kkk．向量组,,线性无关得证．2．设向