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第1页共10页2013年郑州市高中毕业年级第一次质量预测理科数学试题卷第Ⅰ卷一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有—项是符合题目要求的.1.若集合012Ax,,,,21Bx,,ABA,则满足条件的实数x的个数有A.1个B.2个C.3个D.4个2.若复数2iz,则10zz等于A.2iB.2iC.42iD.63i3.直线1ykx与曲线3yxaxb相切于点13A,,则2ab的值等于A.2B.1C.1D.24.我国第一艘航母“辽宁舰”在某次舰载机起降飞行训练中,有5架歼-15飞机准备着舰.如果甲、乙两机必须相邻着舰,而丙、丁两机不能相邻着舰,那么不同的着舰方法有A.12B.18C.24D.485.执行如图所示的程序框图,若输入2x,则输出y的值为A.5B.9C.14D.416.图中阴影部分的面积S是h的函数0hH,则该函数的大致图象是7.已知双曲线2222100xyabab,的离心率为3,则双曲线的渐近线方程为第2页共10页A.22yxB.2yxC.2yxD.12yx8.把70个面包分5份给5个人,使每人所得成等差数列,且使较大的三份之和的16是较小的两份之和,问最小的1份为.A.2B.8C.14D.209.在三棱锥ABCD中,侧棱AB、AC、AD两两垂直,ABC、ACD、ADB的面积分别为22、32、62,则该三棱锥外接球的表面积为A.2B.6C.46D.2410.设函数sincosfxxx,把fx的图象按向量00amm,平移后的图象恰好为函数yfx的图象,则m的最小值为A.4B.3C.2D.2311.已知抛物线24xy上有一条长为6的动弦AB,则AB中点到x轴的最短距离为A.34B.32C.1D.212.设函数1fxxx,对任意1x,,20fmxmfx恒成立,则实数m的取值范围是A.12,B.102,C.1122,D.102,第Ⅱ卷二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.13.已知12a,,6bx,,且//ab,则ab_______.14.—个几何体的三视图如图所示(单位:m)则该几何体的体积为______3m.15.若x,y满足条件3560231500xyxyy,,,当且仅当3xy时,Zaxy取最小值,则实数a的取值范围是______.第3页共10页16.已知021dnaxx,数列1na的前n项和为nS,数列nb的通项公式为8nbn,则nnbS的最小值为_____.三、解答题:本大题共6小题,共70分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.17.(本小题满分12分)已知a,b,c分别为ABC三个内角A,B,C的对边,2cos2bCac.(Ⅰ)求B;(Ⅱ)若ABC的面积为3,求b的取值范围.18.(本小题满分12分)某高校组织自主招生考试,共有2000名优秀学生参加笔试,成绩均介于195分到275分之间,从中随机抽取50名同学的成绩进行统计,将统计结果按如下方式分成八组:第一组195205,,第二组205215,,…,第八组265275,.如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图,且笔试成绩在260分(含260分)以上的同学进入面试.(Ⅰ)估计所有参加笔试的2000名学生中,参加面试的学生人数;(Ⅱ)面试时,每位考生抽取三个问题,若三个问题全答错,则不能取得该校的自主招生资格;若三个问题均回答正确且笔试成绩在270分以上,则获A类资料;其它情况下获B类资格.现已知某中学有三个学生获得面试的资格,且仅有一人笔试成绩为270分以上,在回答三个面试问题时,三人对每一个问题正确回答的概率均是12,用随机变量X表示该中学获得B类资格的人数,求X的分布列及期望EX.19.(本小题满分12分)如图,ABC是等腰直角三角形90ACB,2ACa,D,E分别为AC,AB的中点,沿DE将ADE折起,得到如图所示的四棱锥ABCDE.(Ⅰ)在棱AB上找一点F,使//EF平面ACD;(Ⅱ)当四棱锥ABCDE体积取最大值时,求平面ACD与平面ABE夹角的余弦值.频率组距得分0.01275255235215O1950.0040.020.0160.008EDCABA'第4页共10页20.(本小题满分12分)已知椭圆C:222210xyabab的左、右焦点分别是为1F、2F,点A在椭圆C上,1120AFFF,212135AFFAAFFA,122FF,过点2F且与坐标轴不垂直的直线交椭圆于P、Q两点.(Ⅰ)求椭圆C的方程;(Ⅱ)线段2OF上是在存在点,0Mm,使得QPMPPQMQ?若存在,求出实数m的取值范围;若不存在,说明理由.21.(本小题满分12分)已知函数()ln1R1axfxxax.(Ⅰ)求函数()fx的单调区间;(Ⅱ)若数列ma的通项公式2013*11N201321mmam,求证:*123Nmaaam.22.如图:AB是O的直径,G是AB延长线上的一点,GCD是O的割线,过点G作AG的垂线,交直线AC于点E,交直线AD于点F,过点G作O的切线,切点为H.求证:(Ⅰ)C,D,E,F四点共;(Ⅱ)若6GH,4GE,求EF的长.23.已知在直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为22cos2sinxy,(为参数),在极坐标系(与直角坐标系xOy取相同的长度单位,且以原点O为极点,以x轴正半轴为极轴)FEAHGOBD第5页共10页中,直线l的方程为sin224.(Ⅰ)求曲线C在极坐标系中的方程;(Ⅱ)求直线l被曲线C截得的弦长.24.已知函数212fxxxa.(Ⅰ)当1a时,求3fx的解集;(Ⅱ)当12x,时,3fx恒成立,求实数a的取值范围.2013年高中毕业年级第一次质量预测理科数学参考答案一、选择题BDCCDBAABCDA二、填空题13.25;14.6;15.53,32;16.4.三、解答题17.解:⑴由正弦定理得2sincos2sinsinBCAC,――――2分在ABC中,sinsin()sincossincosABCBCCB,sin(2cos1)0CB,又0,sin0CC,1cos2B,注意到0,3BB.―――――6分⑵1sin3,42ABCSacBac,――――8分由余弦定理得222222cos4bacacBacacac,第6页共10页当且仅当2ac时,“=”成立,2b为所求.――――12分18.解:⑴设第(1,2,,8)ii组的频率为if,则由频率分布直方图知71(0.0040.010.010.020.020.0160.008)100.12.f=所以成绩在260分以上的同学的概率780.142fpf,故这2000名同学中,取得面试资格的约为280人.――――-4分⑵不妨设三位同学为甲、乙、丙,且甲的成绩在270分以上,记事件,,MNR分别表示甲、乙、丙获得B类资格的事件,则113()1884PM,17()()188PNPR,――――6分所以1(0)()256PXPMNR,17(1)()256PXPMNRMNRMNR,91(2)()256PXPMNRMNRMNR,147(3)()256PXPMNR,所以随机变量X的分布列为:――――10分117911475()01232562562562562EX.――――12分19.解:⑴F为棱AB的中点.证明如下:取CA的中点G,连结GFEFDG,,,则由中位线定理得BCDEBCDE21,//,且.21,//BCGFBCGF所以GFDEGFDE,//,从而四边形DEFG是平行四边形,.//DGEF又EF平面CDA,DG平面CDA,X0123P12561725691256147256第7页共10页故F为棱AB的中点时,//EFACD平面.――――4分⑵在平面ACD内作CDHA于点H,DEADDECDDEACDAHDEADCDD平面,又DECDD,HA底面BCDE,即HA就是四棱锥ABCDE的高.由AHAD知,点H和D重合时,四棱锥ABCDE的体积取最大值.――――8分分别以ADDEDC,,所在直线为zyx,,轴,建立空间直角坐标系如图,则0,0,Aa,0,2,aaB,0,,0aE,,2,ABaaa,0,,AEaa,设平面ABE的法向量为,,mxyz,由0,0,mABmAE得20,0,axayazayaz即20,,xyzyz所以,可取1,1,1m.同理可以求得平面ACD的一个法向量0,1,0.n1011103cos,,331mnmnmn故平面ACD与平面ABE夹角的余弦值为.33――――12分20.解:⑴由题意1212390,cos5AFFFAF,注意到12||2FF,所以121235||,||,2||||422AFAFaAFAF,所以2222,1,3acbac,即所求椭圆方程为22143xy.――――4分⑵存在这样的点M符合题意.――――-5分设线段PQ的中点为N,112200(,),(,),(,)PxyQxyNxy,直线PQ的斜率为(0)kk,第8页共10页注意到2(1,0)F,则直线PQ的方程为(1)ykx,由221,43(1),xyykx消y得2222(43)84120kxkxk,由求根公式得:22221,228(8)4(43)(12),2(43)kkkxk所以2122843kxxk,故212024243xxkxk,又点N在直线PQ上,所以22243(,)4343kkNkk.―――――8分由QPMPPQMQ可得()20PQMQMPPQMN,即PQMN,所以22230143443MNkkkkkmk,――――10分整理得22211(0,)34344kmkk,所以在线段2OF上存在点)0,(mM符合题意,其中1(0,)4m.――――12分21.解:⑴由题意,函数的定义域为),1()1,1(,2)1(11)(xaxxf,―――1分当0a时,注意到0)1(,0112xax,所以0)(xf,即函数()fx的增区间为),1(),1,1(,无减区间;―――2分当0a时,222)1)(1(1)2()1(11)(xxaxaxxaxxf,由0)(xf,得01)2(2axax,此方程的两根282,2822221aaaxaaax,其中2111xx,注意到0)1)(1(2xx,第9页共10页OHGFEDCBA所以2110)(xxxxxf或,21110)(xxxxxf或,即函数()fx的增区间为),(),,1(21xx,减区间为),1(),1,(21xx,综上,当0a时,函数()fx的增区间为),1(),1,1(,无减区间;当0a时,函数()fx的增区间为),(),,1(21xx,减区间为),1(),1,(21xx,其中282,2822221aa
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