2012年高中数学联赛平面几何试题溯源分析

12012年高中数学联赛平面几何试题溯源分析余双宁（广东省开平市第一中学529300）2012年高中数学联赛加试试题A卷（第一题）为：如图1，在锐角△ABC中，ACAB，NM,是BC边上不同的两点，使得CANBAM.设△ABC和△AMN的外心分别为1O、2O.求证：1O、2O、A三点共线.本文对此题的解法，来源及背景进行探讨，并给出了题目的本质和推广.现将此题的答案给出如下：证明：如图1，连接1AO，2AO，过点A作1AO的垂线AP交BC的延长线于点P，则AP是圆1O的切线.因此PACB，因为CANBAM，所以PANCANPACBAMBAMP，因而AP是△AMN外接圆2O的切线，故2AOAP.所以1O、2O、A三点共线.一．试题分析从本题的设问及解答可以看出，此题所给综合的知识点不多，但解答巧妙，所考查的主要内容有两点：（1）弦切角与圆周角的关系；（2）构造圆的切线.二．试题溯源从解答可以看到，此题实际上是由圆与圆相切的基本性质改编而成的.圆与圆相切的基本性质两圆内切与点T，一条直线依次与这两个圆交于点QPNM、、、，则NTQMTP（或PTQMTN）.证明如图2,过T作两圆的公切线TL，由QTLQMT，PTLPNT，有PTQQTLPTLQMTPNTMTN，故NTQPTQNTPNTPMTNMTP.注此性质也是2005年新西兰数学奥林匹克选拔考试题.显然，由以上的基本性质可以直接改编成为2012年高中数学联2赛平面几何试题.三．问题的本质和延伸由圆与圆相切的基本性质到联赛试题，我们猜想该试题的本质又是什么？问题的本质如下：定理设21,AA是△ABC的BC边上（异于端点）的两点，令1BAA,ACA2,则的充要条件是△21AAA的外接圆与△ABC的外接圆内切于点A.证明充分性如图3,当两个外接圆内切于点A时，过作两圆的公切线AT，设△21AAA的外接圆分别与AB,AC交于点ED,，联结DE，则CBATACEAD，从而BCDE//，即有21EADA，亦即有AEADAA21，故.必要性如图3,设1O,O分别为△21AAA,△ABC的外心,圆1O与AB，AC分别交于点ED,.当时，即AEADAA21时，则有21EADA,从而BCDE//,过A作圆1O的切线1AT，过A作圆O的切线AT,则TACABCADEACT1，即知1AT与AT重合.故△21AAA的外接圆与△ABC的外接圆内切于点A.由此定理知，联赛题只是本定理得必要性.下面将此问题进一步延伸如下：命题设21,AA是△ABC的BC边上（异于端点）的两点，则CACABABAACAB212122的充要条件是△21AAA的外接圆与△ABC的外接圆内切于点A.证明如图3，设△21AAA的外接圆1O与△ABC的外接圆O内切于点A，与圆1O与AB，AC分别交于点ED,，联结DE.由切割线定理，有21BABABDAB，21CACACEAC，3亦即有2121CACABABACEACBDAB，由21CAABAAEADA21BCDE//ACCEABBDCEBDACAB212122CACABABACEACBDABACAB.四．练习1.（2002年土耳其数学奥林匹克题）两圆外切于A，且内切于另一个圆O，切点为CB,.令D是两小圆内公切线段即圆O的弦的中点.证明：当DCB,,不共线时，A是△BCD的内切圆的圆心.2.已知两个半径不等的圆1O与圆2O相交于两点NM,，且圆1O，圆2O分别与圆O内切于点TS,，直线MN交圆O于点BA,，弦ST交AB于点G，H为AB中点，则H点在公共弦MN上的充要条件是点G也在公共弦MN上，且MSHGSN.