2013版高中全程复习方略课时提能训练76空间几何体及其表面积和体积(苏教版数学文)

温馨提示：此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。课时提能演练(四十七)(45分钟100分)一、填空题(每小题5分，共40分)1.(2012·苏北四市联考)已知正三棱锥的底面边长为2，侧棱长为433，则它的体积为_______.2.圆台上、下底面面积分别是π、4π，侧面积是6π，这个圆台的体积是_______.3.P为矩形ABCD所在平面外一点，且PA⊥平面ABCD，PB=22，PC=17，PD=13，则四棱锥P-ABCD体积等于_______.4.将边长为a的正方形ABCD沿对角线AC折起，使BD=a，则三棱锥D－ABC的体积为_______.5.已知一个圆锥的展开图如图所示，其中扇形的圆心角为120°，底面圆的半径为1，则该圆锥的体积为_______.6.(2012·南京模拟)有三个球和一个正方体，第一个球与正方体的各个面相切，第二个球与正方体的各条棱相切，第三个球过正方体的各个顶点，则这三个球的表面积之比为_______.7.圆锥的表面积为15πcm2，侧面展开图的圆心角为60°，则该圆锥的体积为_______cm3.8.已知PA，PB，PC两两互相垂直，且△PAB，△PAC，△PBC的面积分别为1.5cm2，2cm2，6cm2，则过P，A，B，C四点的外接球的表面积为_______cm2．(注S球=4πr2，其中r为球半径)二、解答题(每小题15分，共45分)9.如图，一个直三棱柱形容器中盛有水，且侧棱AA1=8cm.若侧面AA1B1B水平放置时，液面恰好过AC，BC，A1C1，B1C1的中点.当底面ABC水平放置时，液面高多少？10.(2012·宿迁模拟)如图所示，在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别为DD1、DB的中点.(1)求证：EF∥平面ABC1D1;(2)求证：EF⊥B1C;(3)求三棱锥B1-EFC的体积.11.(2012·扬州模拟)如图，等腰梯形ABEF中，AB∥EF，AB=2，AD=AF=1，AF⊥BF，O为AB的中点，矩形ABCD所在的平面和平面ABEF互相垂直.(1)求证：AF⊥平面CBF；(2)设FC的中点为M，求证：OM∥平面DAF;(3)求三棱锥C-BEF的体积.【探究创新】(15分)如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AD=AA1=1，AB1，点E在棱AB上移动，小蚂蚁从点A沿长方体的表面爬到点C1，所爬的最短路程为22.(1)求证：D1E⊥A1D；(2)求AB的长度.答案解析1.【解析】如图，正三棱锥P-ABC中，PA=PB=PC=433，AB=BC=AC=2，PO⊥平面ABC.∵O为△ABC的重心,∴OA=23×2×sin60°=233,∴PO=22224323PAOA()()2,33∴V正三棱锥=2132322.343答案：2332.【解析】上底面半径r=1,下底面半径R=2.∵S侧=6π，设母线长为l,则π(1+2)·l=6π,∴l=2,∴高h=22Rr3,l∴22173V3(1122).33·答案：7333.【解析】设PA=a,AB=b,AD=c,则2222222222ab228ac1313,abc1717解得a=2,b=2,c=3,VP-ABCD=13×2×3×2=4.答案：44.【解析】设正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点E，沿AC折起后，依题意得：当BD=a时，BE⊥DE，∴DE⊥平面ABC，∴三棱锥D－ABC的高为DE＝2a2，∴23DABC1122Vaaa32212－＝．答案：32a12【误区警示】解答本题时常因弄不清折叠前后线段的位置关系及数量关系的变化而导致错误．5.【解析】因为扇形弧长为2π，所以圆锥母线长为3，高为22，所求体积2122V122.33答案：2236.【解析】设正方体的棱长为a.三个球的半径依次为r1,r2,r3,由题意得2r1=a,r1=a2,a2+a2=(2r2)2,r2=2a2,a2+a2+a2=(2r3)2，r3=3a2,所以三个球的表面积之比为222222123a2a3rrra444∶∶∶∶=1∶2∶3.答案：1∶2∶37.【解析】设底面圆的半径为r，母线长为a，则侧面积为12×(2πr)a=πra．由题意得22rar151raa6，解得2215r73615a7，故圆锥的高22har53，所以体积为21115253Vrh533377．答案：25378.【解题指南】当三线互相垂直时，联想构造长方体，长方体的对角线即为外接球的直径．【解析】设PA=a，PB=b,PC=c,则有13ab22a11ac2b32c41bc62，解得．故其外接球的直径为22213426，所以外接球的表面积为S=4π×226()2=26π(cm2)．答案：26π9.【解析】设原三棱柱ABC-A1B1C1的底面积为Scm2，高为hcm.∵DE∥AB,∴△EDC∽△ABC,且2EDCEDCABCSCE11(),SS.SAC44∴当侧面AA1B1B水平放置时，无水的空间即CDE-C1D1E1为一小三棱柱.此时水的体积为V水=Sh-14S·h=34Sh(cm3).当底面ABC水平放置时，水占有的空间为一个三棱柱，设该三棱柱的高为h′cm,则34Sh=Sh′∴h′=34h=34×8=6(cm),∴液面高6cm.10.【解析】(1)连结BD1，在△DD1B中，E，F分别为D1D,DB的中点，则111111EFDBDBABCDEFABCD平面平面⇒EF∥平面ABC1D1.1111111BCAB2BCBCAB,BCABCDABBCB平面1111111111BCABCDBCBDEFBC.BDABCDEFBD平面平面(3)∵CF⊥平面BDD1B1,∴CF⊥平面EFB1且CF=BF=2,∴221111EFBD3,BFBFBB2=22226，B1E=2222111BDDE2213,∴EF2+B1F2=B1E2,即∠EFB1=90°.∴111BEFCCBEFBEF111111VVSCFEFBFCF3621.33232··11.【解题指南】证明本题(1)的关键是恰当地利用面面垂直的性质来证明线面垂直；证明本题(2)的关键是作辅助线构造平行四边形；第(3)问计算锥体的底面积是关键.【解析】(1)∵平面ABCD⊥平面ABEF，CB⊥AB，平面ABCD∩平面ABEF=AB，∴CB⊥平面ABEF，∵AF⊂平面ABEF，∴AF⊥CB.又AF⊥BF，且BF∩BC=B，BF、BC⊂平面CBF，∴AF⊥平面CBF.(2)设DF的中点为N，连结MN，NA，则MN12CD，又AO12CD，则MNAO，MNAO为平行四边形，∴OM∥AN.又AN⊂平面DAF，OM平面DAF，∴OM∥平面DAF.(3)过点E作EH⊥AB于H，由题意知△ABF中，AF⊥BF，AB=2，AF=1，则∠BAF=60°,又四边形ABEF是等腰梯形，所以∠EBH=60°,所以31EHBH22，，则EF=AB-2HB=1.故S△BEF=1331.224VC-BEF=BEF13SBC.312【变式备选】(2012·宿州模拟)已知多面体ABCDE中，AB⊥平面ACD，DE∥AB，AB=1，AC=AD=CD=DE=2，F、O分别为CE、CD的中点.(1)求证：CD⊥平面AFO；(2)求三棱锥C-ADE的体积.【解析】(1)∵AB⊥平面ACD，DE∥AB，∴DE⊥平面ACD，∴DE⊥CD，∵F、O分别为CE、CD的中点，∴FO∥ED，∴FO⊥CD.∵△ACD是等边三角形，∴AO⊥CD，∴CD⊥平面AFO.(2)由(1)中DE⊥平面ACD，得DE⊥AO，又AO⊥CD,且DE∩CD=D,∴AO⊥平面CDE,∴AO是三棱锥A-CDE的高.∴VC-ADE=VA-CDE=13S△CDE·AO=13×12×2×2×3=233.【探究创新】【解析】(1)连结AD1，由长方体的性质可知：AE⊥平面AD1，A1D⊂平面AD1，∴AE⊥A1D，又∵AD=AA1=1，∴AD1⊥A1D，又AE∩AD1=A，∴A1D⊥平面AED1，又∵D1E⊂平面AED1，∴D1E⊥A1D.(2)设AB=x,点A到点C1可能有两种途径，如图甲的最短路程为|AC1|=2x4.如图乙的最短路程为221ACx11x2x2,∵x1,∴x2+2x+2x2+2+2=x2+4,故从点A沿长方体的表面爬到点C1的最短距离为2x4.由题意得2x422，解得x=2.即AB的长度为2.