2012年高考总复习一轮《名师一号-数学》第13章检测题(文)

第十三章导数名师检测题时间：120分钟分值：150分第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题：(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．一质点做直线运动，由始点起经过ts后的距离S＝14t4－4t3＋16t2，则速度为零的时刻是()A．4sB．8sC．0s与8sD．0s,4s,8s解析：v＝S′＝t3－12t2＋32t＝0，t＝0,4,8.答案：D2．某三次函数当x＝1时有极大值4，当x＝3时有极小值0，且函数图象过原点，则此函数的解析式是()A．y＝x3＋6x2＋9xB．y＝x3－6x2－9xC．y＝x3－6x2＋9xD．y＝x3＋6x2－9x解析：待定系数法，设f(x)＝ax3＋bx2＋cx，f′(x)＝3ax2＋2bx＋c，由条件可知f′(x)＝3a(x－1)(x－3)＝3ax2－12ax＋9a.∴2b＝－12a，c＝9a.∴b＝－6a，c＝9a.∴f(x)＝ax3－6ax2＋9ax.又f1＝4，f3＝0，∴a＝1，f(x)＝x3－6x2＋9x.答案：C3．函数f(x)＝ax2－b在区间(－∞，0)内是减函数，则a，b应满足()A．a＜0且b＝0B．a＞0且b∈RC．a＜0且b≠0D．a＜0且b∈R解析：f′(x)＝2ax，当x＜0时，f′(x)＜0，a＞0，b∈R.答案：B4．对函数f(x)＝－x4＋2x2＋3有()A．最大值4，最小值－4B．最大值4，无最小值C．无最大值，最小值－4D．既无最大值也无最小值解析：f′(x)＝－4x3＋4x，令f′(x)＝0，得x＝0，x＝±1，列表如下：x(－∞，－1)－1(－1,0)0(0,1)1(1，＋∞)f′(x)＋0－0＋0－f(x)极大值4极小值3极大值4∵x∈R，故无最小值，最大值为4.答案：B5．已知a＞0，函数f(x)＝x3－ax在[1，＋∞)上是单调递增的函数，则a的最大值是()A．0B．1C．2D．3解析：∵f′(x)＝3x2－a在[1，＋∞)上有3x2－a≥0恒成立，∴a≤3x2对任意x∈[1，＋∞)恒成立，∴a≤(3x2)min＝3，即a≤3，∴a的最大值为3.答案：D6．已知f(x)＝ax3＋bx2＋x(a，b∈R且ab≠0)的图象如图所示，且|x1|＞|x2|，则有()A．a＞0，b＞0B．a＜0，b＜0C．a＜0，b＞0D．a＞0，b＜0解析：f′(x)＝3ax2＋2bx＋1，由图知方程3ax2＋2bx＋1＝0有两根x1，x2，且x1＋x2＜0x1x2＜0∴－2b3a＜013a＜0∴a＜0，b＜0.答案：B7．(2011·襄樊调研)对于在R上可导的任意函数f(x)，若满足(x－a)f′(x)≥0，则必有()A．f(x)≥f(a)B．f(x)≤f(a)C．f(x)f(a)D．f(x)f(a)解析：由(x－a)f′(x)≥0知，当xa时，f′(x)≥0；当xa时，f′(x)≤0，所以当x＝a时，函数f(x)取得最小值，则f(x)≥f(a)，故选A.答案：A8．函数y＝x3＋ax＋b在区间(－1,1)上为减函数，在(1，＋∞)上为增函数，则()A．a＝1，b＝1B．a＝1，b∈RC．a＝－3，b＝3D．a＝－3，b∈R解析：f(x)＝x3＋ax＋b，f′(x)＝3x2＋a.∵f(x)在(－1,1)上为减函数，在(1，＋∞)上为增函数，∴f′(1)＝3＋a＝0，∴a＝－3，b∈R.答案：D9．若曲线y＝x3的切线l与直线x＋3y－8＝0垂直，则l的方程为()A．3x－y＋2＝0B．3x－y＋3＝0或3x－y－3＝0C．3x－y－2＝0D．3x－y－2＝0或3x－y＋2＝0解析：设切点坐标为(x0，y0)∵l与直线x＋3y－8＝0垂直，∴3x02＝3，∴x0＝±1，当x0＝1时，切点坐标为(1,1)，切线方程为y－1＝3(x－1)，即3x－y－2＝0；当x0＝－1时，切点坐标为(－1，－1)，切线方程为y＋1＝3(x＋1)，即3x－y＋2＝0.答案：D10．已知函数f(x)＝x4－4x3＋10x2－27，则方程f(x)＝0在[2,10]上的根()A．有3个B．有2个C．有且只有1个D．不存在解析：f′(x)＝4x3－12x2＋20x＝4x(x2－3x＋5)，在[2,10]上满足f′(x)0，∴f(x)在[2,10]上为增函数．又f(2)＝－30，f(10)＝69730，∴方程在[2,10]上有且只有一根．答案：C11．对于R上可导的任意函数f(x)，若满足(x－1)f′(x)≥0，则必有()A．f(0)＋f(2)2f(1)B．f(0)＋f(2)≤2f(1)C．f(0)＋f(2)≥2f(1)D．f(0)＋f(2)2f(1)解析：特殊值法，设f(x)＝x2，则f′(x)＝2x.(x－1)f′(x)＝(x－1)·2x≥0，则x≤0或x≥1.∴f(0)＋f(2)＝0＋22＝4,2f(1)＝2×12＝2.f(0)＋f(2)2f(1)，设f(x)＝a(a为常数)，则x∈R时，恒有f′(x)＝0，(x－1)f′(x)＝0，∴f(0)＋f(2)＝2a＝2f(1)．答案：C12．设f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d，又k是一个常数．已知当k0或k4时，f(x)－k＝0只有一个实根；当0k4时，f(x)－k＝0有三个相异实根，现给出下列命题：(1)f(x)－4＝0和f′(x)＝0有一个相同的实根(2)f(x)＝0和f′(x)＝0有一个相同的实根(3)f(x)＋3＝0的实根大于f(x)－1＝0的任一实根(4)f(x)＋4＝0的实根小于f(x)－2＝0的任一实根其中，错误命题的个数是()A．4B．3C．2D．1解析：由题意知函数f(x)有极大值4，极小值0，所以命题(1)、(2)、(4)正确，错误的命题只有(3)一个．答案：D第Ⅱ卷(非选择题共90分)二、填空题：(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上．)13．已知函数y＝f(x)＝x3＋px2＋qx，图象与x轴切于非原点的一点，且y极小值＝－4，那么p，q的值为________．解析：y′＝3x2＋2px＋q，设切点为(a,0)，则f(x)＝x(x2＋px＋q)＝0有两个相等实根a，且a≠0，从而x2＋px＋q＝(x－a)2，∴f(x)＝x(x－a)2.∴f′(x)＝(x－a)(3x－a)，令f′(x)＝0时，x＝a或x＝a3.又∵x＝a时，f(a)＝0，不为－4，∴fa3＝y极小值＝－4，即427a3＝－4，a＝－3，从而x2＋px＋q＝(x＋3)2＝x2＋6x＋9，∴p＝6，q＝9.答案：6,914．在直径为d的圆木中，截取一个具有最大抗弯强度的长方体梁，则矩形面的长为________(强度与bh2成正比，其中h为矩形的长，b为矩形的宽)．解析：截面如图所示，设抗弯强度系数为k，强度为w，则w＝kbh2，又h2＝d2－b2，∴w＝kb(d2－b2)＝－kb3＋kd2b，w′＝－3kb2＋kd2，令w′＝0，得b2＝d23，∴b＝33d或b＝－33d(舍去)．∴h＝d2－b2＝63d.答案：63d15．已知函数y＝f(x)的导函数的图象如图所示，给出以下结论：①函数f(x)在(－2，－1)和(1,2)上是单调递增函数；②函数f(x)在(－2,0)上是单调递增函数，在(0,2)上是单调递减函数；③函数f(x)在x＝－1处取得极大值，在x＝1处取得极小值；④函数f(x)在x＝0处取得极大值f(0)．则正确命题的序号是________．(填上所有正确命题的序号)解析：观察函数f(x)的导函数f′(x)的图象，由单调性、极值与导数值的关系直接判断．答案：②④16．给出下列命题：①任何常数函数的导数都是零；②直线y＝x上任意一点处的切线方程都是这条直线本身；③双曲线y＝1x上任一点处切线斜率都是负值；④直线y＝2x和抛物线y＝x2在(0，＋∞)上函数值增长的速度一样大．其中正确命题的序号为________．解析：易知①②正确；由y＝1x得y′＝－1x20，故③也正确；由y＝2x得y′＝2，由y＝x2，得y′＝2x，又因为x∈(0，＋∞)，所以当x1时，2x2，当0x1时，2x2，故④不正确．答案：①②③三、解答题：(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．)17．(本小题满分10分)若直线y＝kx与y＝x3－3x2＋2x相切，试求k的值．解析：y′＝3x2－6x＋2，设切点(x0，y0)，则k＝y′|x＝x0＝3x02－6x0＋2.∴切线方程为y－y0＝(3x02－6x0＋2)(x－x0)．又y0＝x03－3x02＋2x0，∴y＝(3x02－6x0＋2)x－(3x02－6x0＋2)x0＋(x03－3x02＋2x0)，即y＝(3x02－6x0＋2)x＋(－2x03＋3x02)．又切线是y＝kx，∴3x02－6x0＋2＝k，①－2x03＋3x02＝0，②由②得x0＝0或x0＝32，代入①知k＝2或k＝－14.18．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝x3＋3bx＋2c，若函数f(x)的一个极值点落在x轴上，求b3＋c2的值．解析：f′(x)＝3x2＋3b.由题意，设f(x)的极值点为(x0,0)，则f(x0)＝0，f′(x0)＝0.∴x03＋3bx0＋2c＝0，①3x02＋3b＝0，②由②得x02＝－b代入①得∴－bx0＋3bx0＋2c＝0,2bx0＋2c＝0.∴(bx0)2＝c2，b2(－b)＝c2.∴b3＋c2＝0.19．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝x3＋mx2＋nx－2的图象过点(－1，－6)，且函数g(x)＝f′(x)＋6x的图象关于y轴对称．(1)求m、n的值及函数y＝f(x)的单调区间；(2)若a0，求函数y＝f(x)在区间(a－1，a＋1)内的极值．解析：(1)由函数f(x)的图象过点(－1，－6)，得m－n＝－3.①由f(x)＝x3＋mx2＋nx－2，得f′(x)＝3x2＋2mx＋n，则g(x)＝f′(x)＋6x＝3x2＋(2m＋6)x＋n.而g(x)的图象关于y轴对称，所以－2m＋62×3＝0，所以m＝－3.代入①得n＝0.于是f′(x)＝3x2－6x＝3x(x－2)．由f′(x)0得x2或x0，故f(x)的单调递增区间是(－∞，0)和(2，＋∞)；由f′(x)0得0x2，故f(x)的单调递减区间是(0,2)．(2)由(1)得f′(x)＝3x(x－2)，令f′(x)＝0得x＝0或x＝2.当x变化时，f′(x)、f(x)的变化情况如下表：x(－∞，0)0(0,2)2(2，＋∞)f′(x)＋0－0＋f(x)极大值极小值由此可得：当0a1时，f(x)在(a－1，a＋1)内有极大值f(0)＝－2，无极小值；当a＝1时，f(x)在(a－1，a＋1)内无极值；当1a3时，f(x)在(a－1，a＋1)内有极小值f(2)＝－6，无极大值；当a≥3时，f(x)在(a－1，a＋1)内无极值．综上得：当0a1时，f(x)有极大值－2，无极小值；当1a3时，f(x)有极小值－6，无极大值；当a＝1或a≥3时，f(x)无极值．20．(本小题满分12分)(2010·天津)已知函数f(x)＝ax3－32x2＋1(x∈R)，其中a0.(1)若a＝1，求曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程；(2)若在区间[－12，12]上，f(x)0恒成立，求a的取值范围．解析：(1)当a＝1时，f(x)＝x3－32x2＋1，f(2)＝3；f′(x)＝3x2－3x，f′(2)＝6.所以曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为y－3＝6(x－2)，即y＝6x－9.(2)f′(x)＝3ax2－3x＝3x(ax－1)．令f′(x)＝0，解得x＝0或x＝1a.以下分两种情况讨论：①若0a≤2，则1a≥12.当x变化时，f′(x)、f(x)的变化情况如下表：x－12，00