2012年高考总复习一轮《名师一号-数学》第13章检测题(理)

第十三章极限名师检测题时间：120分钟分值：150分第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题：(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1.limn→∞1＋13＋132＋…＋13n＝()A.53B.32C．2D．不存在解析：limn→∞1＋13＋132＋…＋13n＝11－13＝32.答案：B2．对于函数f(x)＝|x|xx≠00x＝0给出下列命题其中正确的命题是()A．①②B．③④C．①②③④D．③答案：A3.A．1B.12C.13D．0解析：据题意，不妨令an＝1n.答案：A4．已知函数y＝f(x)是其定义域A内的连续的奇函数，若x0∈A且f(x0)＝M，则limx→－x0f(x)等于()A．0B．±MC．MD．－M解析：∵f(x)是奇函数，∴f(－x0)＝－f(x0)＝－M，又∵f(x)是定义域内的连续函数，答案：D5．设f(x)＝x，0＜x＜112，x＝11，1＜x＜2则f(x)的连续区间为()A．(0,2)B．(0,1)答案：C6．设数列{an}的前n项和Sn满足an＝5Sn－3(n∈N＋)，那么limn→∞(a1＋a3＋…＋a2n－1)的值为()A.15B．－15C.45D.34解析：an＝5Sn－3，an＋1＝5Sn＋1－3，得an＋1＝－14an，∴{an}为等比数列，公比为q＝－14，∴a1，a3，a5…，a2n－1是公比为q2＝116的等比数列．又a1＝5S1－3＝34，∴原式＝a11－q2＝341－116＝45.答案：C7．已知f(x)＝1，x≥0，－1，x＜0，g(x)＝12，x≥0－12，x＜0则f(x)·g(x)在x＝0处()A．不连续B．连续C．无法确定连续与否D．以上都不正确解析：∵f(x)·g(x)＝12，x≥012，x＜0f(x)·g(x)＝12在x＝0处连续．答案：B8．如下图所示，设n∈N*则函数f(x)＝limx→∞x2n－1x2n＋1·x的图象大致是()解析：f(x)＝－x|x|10|x|＝1，x|x|1所以A项正确．答案：A9．设3π4θ5π4，则limn→∞sinnθ－cosn＋1θsinnθ＋cosnθ的值是()A．－cosθB.1－cosθ1＋cosθC．1D．－1解析：∵3π4θ5π4，∴|cosθ||sinθ|，∴|sinθcosθ|1.∴limn→∞sinnθ－cosn＋1θsinnθ＋cosnθ＝limx→∞sinθcosθn－cosθsinθcosθn＋1＝－cosθ.答案：A10．当m0，n0时，limx→0m2＋x2＋mn2＋x2＋n的值为()A．－mnB．0C．1D.nm解析：limx→0m2＋x2＋mn2＋x2＋n＝|m|＋m|n|＋n＝－m＋mn＋n＝0.答案：B11．已知f(3)＝2，f′(3)＝－2，则limx→32x－3fxx－3的值为()A．－4B．8C．0D．不存在解析：limx→32x－3fxx－3＝limx→3f3x－3f3－3fx＋3f3x－3＝limx→3f3x－3－3[fx－f3]x－3＝limx→3[f(3)－3·fx－f3x－3]＝f(3)－3limx→3fx－f3x－3＝f(3)－3f′(3)＝2－3×(－2)＝8.答案：B12．已知{an}是首项为1，公比为q的等比数列，pn＝a1＋a2Cn1＋a3Cn2＋…＋an＋1Cnn(n∈N*，n2)，Qn＝Cn0＋Cn2＋Cn4＋…＋Cnm(其中m＝2[n2]，[t]表示t的最大整数，例如[2.5]＝2)．如果数列{PnQn}有极限，那么公比q的取值范围是()A．－1＜q≤1且q≠0B．－1＜q＜1且q≠0C．－3＜q≤1且q≠0D．－3＜q＜1且q≠0解析：∵Pn＝1＋Cn1q1＋Cn2q2＋…＋Cnnqn＝(1＋q)n.当n为偶数时，Qn＝Cn0＋Cn2＋Cn4＋…＋Cnn＝2n－1.当n为奇数时，Qn＝Cn0＋Cn2＋…＋Cnn－1＝2n－1.∴Qn＝2n－1，∴PnQn＝1＋qn2n－1＝2·1＋q2n.∵PnQn有极限，∴－11＋q2≤1，－3＜q≤1.又∵q≠0，∴－3＜q≤1且q≠0.答案：C第Ⅱ卷(非选择题共90分)二、填空题：(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上．)13.limn→∞1＋an＋1n＋a＝2，则a＝________.解析：limn→∞1＋an＋1n＋a＝limn→∞1＋a＋1n1＋an＝1＋a＝2，∴a＝1.答案：114.解析：原式＝x32x＋1－x2·2x22x22x＋1＝x34x3＋2x2＝14＋2x＝14.答案：1415．已知xf3x＝2，则f2xx＝________.解析：∵xf3x＝2，∴3xf3x＝6，∴2xf2x＝6，即f2x2x＝16，∴f2xx＝2f2x2x＝13.答案：1316．以下五个命题：①f(x)＝1x在[0,1]连续；②若f(x)是(a，b)内的连续函数，则f(x)在(a，b)内有最大值和最小值；③limx→∞x1＋x2＝limx→∞11x2＋1＝1；⑤若f(x)＝xx≥0x＋1x0则limx→0f(x)＝0.其中，正确命题的序号是______(请把你认为正确的命题的序号都填上)．解析：①f(x)在x＝0处不连续．②f(x)在[a，b]上连续，f(x)在[a，b]上有最值，而在(a，b)内不一定有最值．③limx→＋∞x1＋x2＝limx→＋∞11x2＋1＝1.而limx→－∞x1＋x2＝limx→－∞－11x2＋1＝－1故极限不存在．⑤因为limx→0－f(x)＝1，而limx→0＋f(x)＝0，故limx→0f(x)不存在，故正确的为④.答案：④三、解答题：(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．)17．(本小题满分10分)求limx→031＋mx－1x的值．解析：原式＝limx→031＋mx－1[31＋mx2＋31＋mx＋1]x[31＋mx2＋31＋mx＋1]＝limx→01＋mx－1x[31＋mx2＋31＋mx＋1]＝limx→0m31＋mx2＋31＋mx＋1＝m1＋1＋1＝m3.18．(本小题满分12分)已知等比数列{an}的首项为a1，公比为q，且有limn→∞a12＋q－qn＝14，求首项a1的取值范围．解析：∵limn→∞a12＋q－qn＝14，∴0|q|1或q＝1.当0|q|1时，即有0|4a1－2|1.解之得14a134且a1≠12；当q＝1时，limn→∞a13－1＝14，即a13－1＝14，得a1＝154.故a1的取值范围为14a134且a1≠12或a1＝154.19．(本小题满分12分)已知等差数列前三项是a、4、3a，前n项和为Sn，Sk＝2550.(1)求a及k的值；(2)求limn→∞1S1＋1S2＋…＋1Sn.解析：(1)设该数列为{an}，则a1＝a，a2＝4，a3＝3a，Sk＝2550，由已知a＋3a＝2×4，∴a1＝a＝2，公差d＝a2－a1＝4－2＝2，由Sk＝ka1＋kk－1d2，得k2＋k－2550＝0，得k＝50或k＝－51(舍)．∴a＝2，k＝50.(2)由Sn＝na1＋12n(n－1)d，得Sn＝n(n＋1)．∴1S1＋1S2＋…＋1Sn＝1－12＋12－13＋…＋1n－1n＋1＝1－1n＋1.∴limn→∞1S1＋1S2＋…＋1Sn＝limn→∞1－1n＋1＝1.20．(本小题满分12分)已知函数f(x)在区间[－2,0]上的部分区域上的解析式为f(x)＝1x＋1－3x3＋1，欲使该函数在这一区间上处处连续，应给出该函数在该区间上某些点处的补充定义，请你给出这一定义．解析：显然除x＝－1处，已知函数在区间[－2,0]上处处有意义，且每一点x0(－2≤x0－1或－1x0≤0)处的极限值都与该点处的函数值相等，此即表明除x＝－1处以外，函数f(x)处处连续，故只需给出在x＝－1处的函数的定义，并使得在该点处的函数也连续，则该函数在这一区间上处处连续．∵当x≠－1时，f(x)＝1x＋1－3x3＋1＝x2－x＋1－3x3＋1＝x＋1x－2x＋1x2－x＋1＝x－2x2－x＋1，∴limx→－1f(x)＝limx→－1x－2x2－x＋1＝－1－21－－1＋1＝－1故只需补充定义f(－1)＝－1，即f(x)＝1x＋1－3x3＋1，x∈[－2，0]且x≠－1，－1，x＝－1.21．(本小题满分12分)设数列{an}满足a1＋a22＋a33＋…＋ann＝a2n－1，{an}的前n项和为Sn(a0且a≠1，n∈N*)．(1)求{an}的通项；(2)求limn→∞Sna2n－1n.解析：(1)∵a1＋a22＋…＋ann＝a2n－1①当n≥2时，a1＋a22＋…＋an－1n－1＝a2(n－1)－1②由①－②得ann＝a2n－2(a2－1)，∴an＝na2n－2(a2－1)(n≥2)，当n＝1时，由题意得a1＝a2－1，∴an＝na2n－2(a2－1)(n∈N*)．(2)∵Sn＝(a2－1)[1＋2a2＋3(a2)2＋4(a2)3＋…＋(n－1)·(a2)n－2＋n(a2)n－1]③∴a2Sn＝(a2－1)[a2＋2(a2)2＋3(a2)3＋…＋(n－1)·(a2)n－1＋n(a2)n]④③－④得(1－a2)Sn＝(a2－1)[1＋a2＋(a2)2＋…＋(a2)n－1－n(a2)n]，∵a0且a≠1，∴a2－1≠0，∴Sn＝－[1＋a2＋(a2)2＋…＋(a2)n－1－n(a2)n]＝－1－a2n1－a2＋na2n∴limn→∞Sna2n－1n＝limn→∞[1n1－a2＋a2na2n－1]＝0a211a21.22．(本小题满分12分)已知数列{an}的前n项和为Sn，其中an＝Snn2n－1，且a1＝13.(1)求a2，a3；(2)猜想数列{an}的通项公式，并用数学归纳法加以证明；(3)求limn→∞Sn.解析：(1)由a2＝13＋a22·3，得a2＝13·5，由a1＝13，a2＝13·5＝115，a3＝13＋13·5＋a33·5，得a3＝15·7＝135.(2)猜想an＝12n－12n＋1，下面用数学归纳法证明①显然n＝1时，猜想成立．②若n＝k时猜想成立，即ak＝12k－12k＋1，当n＝k＋1时由ak＋1＝Sk＋1k＋12k＋1，即Sk＋1＝(k＋1)(2k＋1)ak＋1同时，Sk＝k(2k－1)ak＝k2k＋1，两式相减：ak＋1＝Sk＋1－Sk＝(k＋1)(2k＋1)ak＋1－k2k＋1∴[(k＋1)(2k＋1)－1]ak＋1＝k2k＋1即k(2k＋3)ak＋1＝k2k＋1∴ak＋1＝1[2k＋1－1][2k＋1＋1]即当n＝k＋1时猜想也成立，由①②知对一切自然数n猜想成立．(3)limn→∞Sn＝limn→∞[11·3＋13·5＋15·7＋…＋12n－1·2n＋1]＝limn→∞121－13＋13－15＋15－17＋…＋12n－1－12n＋1＝limn→∞121－12n＋1＝12.