2013级数学史复习资料

12013级数本《数学史》复习提纲（要点）一、历史人物或历史事件（线索）古希腊第一个数学家：泰勒斯0符号由哪国家创造：印度哪个学派信仰“万物皆数”:毕达哥拉斯学派体现中国古代数学成熟的著作:九章算术流数是指什么:微商数学符号系统化归功于哪个数学家:法国数学家韦达第一个中译本《几何原本》是谁翻译:徐光启、利玛窦三角形内角和小于180度是哪种几何:罗巴切夫斯基几何二次互反律谁证明:高斯中国古代数学三次发展高潮：东西汉、魏晋南北朝、宋元时期通过哪两本纸草书研究古埃及的：莱茵德纸草书、莫斯科纸草书费尔马大定理及谁攻破：方程nzyxnn对任意大于2的自然数n无整数解哪年希尔伯特发表23个问题：1900年8月笛卡尔万能方法：任何问题数学问题代数问题方法求解中国第一位获得数学博士:胡明复国际数学发展中心的转移:意大利英国法国德国美国“后继数”谁提出:皮亚诺谁创立信息论:香农谁创立四元数:哈密顿阿波罗尼奥斯关于曲线著作:圆锥曲线论第一个证明一般五次及五次以上方程没有根式解的数学家:阿贝尔代数学一词来源于谁著作;花拉子米，《缉古算经》作者:王孝通用现存什么研究美索不达米亚数学成就:泥版文书中文“代数”“法线”一词谁创造:李善兰古希腊作图只用什么工具:圆规和不带刻度的直尺历史上最伟大的数学家:阿基米德、牛顿、高斯数学最高奖:菲尔兹奖和沃尔夫奖欧拉创立哪些符号：函数符号xf、求和符号、自然对数底数e、虚数符号i2我思故我在是谁的名言：笛卡尔数理统计奠基人：费希尔托勒玫定理是什么：圆内接四边形中，两对角线之积等于两对对边之积的和控制论谁创立：美国维纳谁创造对数：苏格兰贵族数学家纳皮尔中国最早的经书：《周髀算经》物不知其数在哪本著作出现：《孙子算经》斐波那契数列：1，1，2，3，5，8，13，21，......（T=T(n-1)+T(n-2)）毕达哥拉斯如何解释数学：数学为学到的知识20世纪纯数学特征：更高的抽象性，更强的统一性，更深入的探讨性公理化三个原则：相容性、独立性、完备性历史上最伟大女数学家：爱米.诺特二、简答题1、试述欧几里得的伟大贡献及其《原本》的缺陷。欧几里得的伟大贡献：1）开创性地引进公理化方法，建立了数学的演绎体系；2）总结古希腊数学成就，使数学知识特别是几何知识成为一门学科体系，开创了数学教材的先河。《几何原本》的缺陷：1）某些定义借助于直观描述，或措辞含糊不清；有的概念本可以定义，却没有定义；有的定义在以后推理或定义中并没有再使用，等等；2）公理系统不完备，有些公理不独立；3）公理系统的三个基本条件：相容性、独立性和完备性。2、19世纪初数学家们面临18世纪遗留下来的三个最突出的数学问题是什么？1）高于四次的代数方程的求解问题；2）欧几里德几何中平行公理的证明问题；3）牛顿.莱布尼茨微积分算法的逻辑基础问题。3、从传统数学到近代数学，经历了哪几个重要的转折点？1）数学研究的基本思想从以常量观念为中心转移到以变量观念为中心；2）数学研究的基本方法从希腊传统的几何演绎方法转变为算术、代数的分析方3法；3）新的观点和新的方法使数学具有更强大的生命力。4、九章算术中的九章是什么？简述《九章算术》的特点。九章是什么：方田、粟米、衰分、少广、商功、均输、盈不足、方程、勾股。《九章算术》的特点：1）内容丰富，涉及算术、代数、几何各方面知识，且实用性强；2）以计算为主，重视算法的总结概括，并且有数形结合的特点；3）以题解为中心，在题解中给出算法；4）没有以概念和命题为核心的演绎体系的痕迹，实用性及以算为主是其基本特点。5、试述近代数学发展的几个重要特点。1）算术、代数与几何相结合并共同发展；2）纯粹数学与应用数学密切结合，互相促进，并产生新的结合发展的趋势；3）数学研究走向社会化和专业化。6、试述非欧几何的基本思想以及罗巴切夫斯基创立非欧几何地历史意义。要点：非欧几何的基本思想：用与欧氏第五公设相反的命题作为替代公设，由此出发进行逻辑推导而得出一连串新几何学的定理，这些定理并不包含矛盾，因而在总体上形成了一个逻辑上可能的、无矛盾的理论，即新的几何学——非欧几何学。罗氏非欧几何创立的历史意义：1）罗氏面对传统的数学观，敢于抗争和批判，勇于坚持真理，为后人树立了良好的榜样；2）这是一次数学思想上的巨大突破，它扩大了人们对空间的认识，从此几何学将从欧氏几何的狭窄天地里转到研究各种不同的几何空间，如欧氏空间、罗氏空间、黎氏空间、放射空间等。7、概述数学史上的三次数学危机及其影响。要点：第一次数学危机是不可通约量即无理数的发现，它导致希腊数学家在数的概念面前止步了，结果阻碍了代数学的发展，但却促进了综合几何学的形成和发展。第二次数学危机是微积分的基础问题，特别是无穷小量概念问题，它导致数学陷入自相矛盾的境地，结果出现了一场针对微积分基础的大论战。微积分基础问题的解决导致众多数学分支的创立，如数学分析、微分方程、复变函数、变分法、微分几何等。第三次数学危机是集合论的基础问题，它使许多数学家卷入了关于数学基础的大辩论，结果导致数学三大学派的形成。48、简述20世纪应用数学的特点。1）数学的应用突破了传统的范围而向人类几乎所有的知识领域渗透；2）纯粹数学几乎所有的分支都获得了应用，其中最抽象的一些分支也参与了渗透，如数论在密码学中的应用；3）现代数学在生产技术中的应用变得越来越直接，如现代大规模生产的管理决策、产品质量控制等直接依赖于线性规划算法与统计方法；4）现代数学在向外渗透的过程中，产生了一些相对独立的应用学科，如数理统计、运筹学、控制论等。9、牛顿创立微积分，必须解决哪几个基本问题？1）纯净概念——特别是建立变化率的概念；2）提炼方法——提炼各种解决具体问题的方法，使其具有普遍意义；3）改变形式——把概念和方法的几何形式变成解析形式，使之应用更广。10、简述20世纪数学的特点。1）以集合论、数理逻辑为基础，开创了数学元认知的研究，出现了针对数学基础的三大学派；2）数学理论更加抽象，出现代数化、拓扑化的趋势，如代数几何、代数数论、代数拓扑等；3）电子计算机进入数学计算，开创了新的数学分支——计算数学，并开始机器证明；4）应用数学出现众多的新分支，数学向生物学、经济学、社会学、语言学等几乎所有的领域进军。11、简述笛卡尔创立解析几何的思想P137解析几何的思想是在平面几何上引进所谓“坐标”的概念，并借助这种坐标在平面上的点和有序实数对（x,y)之间建立一一对应的关系。每一对实数（x,y)对应于平面上的一个点；每一个点都对应于它的坐标（x,y).以这种方式可以将一个代数方程f(x,y)=0与平面上一条曲线对应起来。12、简述元末明初中国数学停滞不前的原因P1041）皇朝更迭，在晚期出现日趋严重的停滞性和腐朽性。2）数学家社会地位低下，研究数学者没有出路，自由探讨受到束缚甚至遭禁锢。3）筹算存在很多局限性，筹式运算笨拙累赘，对五个以上未知数的方程组无能为力。4）算法创造是数学进步的必要因素。但缺乏演绎论证的算法倾向与缺乏算法创5造的演绎倾向同样难以升华为现代数学。13、与19世纪相比，二十世纪数学发展有什么特征？P2711）更更高的抽象性2）强的统一性3）更深入的基础探讨14、古希腊三大作图难题P411)画圆为方，即做一个与给定的圆面积相等的正方形。2)倍立方体，即求做一立方体，使其体积等于已知立方体的两倍。3)三等分角，即分任意角为三等分。15、对数学基础有不同理解的三大学派是什么？P3041）以罗素为代表的逻辑主义2）以布劳威尔为代表的直觉主义3）以希尔伯特为代表的形式主义16、在文艺复兴时期，变量数学产生主要背景是什么？P1371）机械的普通的使用引起了对机械运动的研究。2）世界贸易的高涨促使航海事业的空前发达，而测定船舶位置问题，要求准确地研究天体运动的规律。3）武器的攻进刺激了弹道问题的探究等等。4）对运动与变化的研究已变成自然科学的中心问题，这就迫切需要一种新的数学工具，从而导致了变量数学即近代数学的诞生。三、论述题（要点仅供参考）1．试述早期古希腊数学的特点，并分析其局限性。早期古希腊数学的特点：1）既继承了前一时期巴比伦数学和古埃及数的丰硕成果，又进行了创造性的研究活动，提出了关于数学的观点、理论和方法；2）与他们的数学观相联系，希腊数学家把数学研究的领域大大扩充了，数学的范围涉及几何、算术、数论、天文学和音乐等；3）希腊数学家把逻辑证明系统地引入数学中，强调逻辑证明是确立数学命题的真理性的一个基本方法，从而建立了数学的演绎体系，使数学从经验知识上升为理论知识，真正意义的数学科学从此诞生（其标志是欧几里得《几何原本》）。早期古希腊数学的缺陷：1）只接受有理数，不承认无理数，结果限制了数的概念的发展，阻碍了代数学6的研究。这种状况使古希腊的几何学是理论的、演绎的，而它的算术则主要是经验的、计算的，因而导致几何学与算术，数与形之间的长期分裂；2）即使在他们最擅长的几何学里，也只是局限于研究那些能用直尺、圆规构造出来的那些图形。这种做法极大限制了几何学的研究范围。2．函数概念的发展经历了哪几个阶段？试给出最后两个阶段的函数定义，并分析其异同。要点：函数概念发展经历了几何定义、解析定义、变量定义、对应定义和集合定义等五个阶段。其中对应定义是黎曼给出的，即：在某个变化过程中，有两个变量x和y，如果对于x在某一范围内的每一个确定的值，按照某个对应关系，y都有唯一确定的值与它对应，那么就把y称为x的函数，x称为自变量。集合定义是康托尔给出的，即：A和B是两个集合，如果按照某种对应关系，使A的任何一个元素在B中都有唯一的元素和它对应，这样的对应关系称为集合A到B的函数。对应定义与集合定义的共同点是：二者都明确了函数的“对应关系”，并强调“唯一对应”；不同点是：前者只有变量概念，没有集合概念，并将变量y称为自变量x的函数；后者用集合及其元素代替变量概念，并将对应关系称为集合到集合的函数。3．为什么中国古代数学没有形成严密的逻辑演绎体系？试从社会制度、文化观念、筹算系统、研究风格等因素进行分析。1）元代以后，科举考试制度中的《明算科》被完全废除，唯以八股取士，数学社会地位低下；2）中国古代文化强调实用性，务实之风在数学研究中盛行，尽管有算法的总结，但缺乏深入的思辨和逻辑论证的处理，因而数学知识难于形成抽象性的演绎体系；3）筹算系统有很大的局限性，它无法演进为彻底的符号代数，同时也使复杂的演算无能为力；4）中国古代数学家一般以《九章算术》为研究起点，尽管以后编撰了许多数学著作，但都没有摆脱《九章算术》的风格，即一直以具体问题的解决为核心内容，缺乏整个理论的研究与创造。4．论述欧氏几何的意义和非欧几何产生的过程意义P51，过程P226――P231：7意义：是数学史上的一座理论丰碑，它最大的功绩，是在于数学史中演绎范式的确立，这种范式要求的每个命题必须是在它之前已经建立的一些命题和逻辑结论，而所有这样的推理链的共同的出发点，是一些基本定义和被认为是不证自明的基本原理。过程：1）最先认识到非欧几何是一种逻辑上相容并且可以描述物质空间、像欧式几何一样正确的新几何学的是高斯，但他除了在给朋友的一些信件中对其非欧几何的思想有所透露外，高斯生前并没有发表过任何关于非欧几何的论著，这主要是因为他感到自己的发现与当时流行的康德空间哲学相抵触，担心世俗的攻击。2）波约希望通过高斯的评价而将自己关于非欧几何的研究公诸于世；3）、在非欧几何的三位发明人中，只有罗巴切夫斯基最早、最系统地发表了自己的研究成果，并且也是最坚定地宣传和捍卫自己的新思想的一位。5．什么是赌注分配问题？并论述概率论产生的过程。（1）合理赌注问题是：甲乙两人同掷一枚硬币，规定：正面朝上，甲得一点，若反面朝上，乙得一点，先满S点者赢全部赌注，现假定甲乙各得a(as),b(bs)点时，赌局中止了，问应该怎样分配赌注问题才算合理。（2）概率论产生的背景：概率论起源于赌博问题的研究。十六世纪的意大利学者卡丹与塔塔利亚等人已从数学角度研究过赌博问题。卡丹等人的思想并未引起重视，概率概