2012年高考试题分类考点16两角和与差的正弦余弦和正切公式简单的三角恒等变换

-1-考点16两角和与差的正弦、余弦和正切公式、简单的三角恒等变换一、选择题1.（2012·山东高考理科·Ｔ7）若42，，37sin2=8，则sin()（A）35（B）45（C）74（D）34【解题指南】本题考查同角三角函数的基本关系及二倍角公式2sin212cos的变形22cos1sin.【解析】选D.由于42，，则,22，所以0sin,02cos.因为37sin2=8，所以8187312sin12cos22.又2sin212cos，所以43281122cos1sin.2.（2012·江西高考理科·Ｔ4）若1tan4tan，则sin2＝（）（A）15（B）14（C）13（D）12【解题指南】通过切化弦并通分化简，逆用倍角公式可得sin2.【解析】选D.1tan4tan,sincos4cossin,22sincos4cossin,即24sin2，1sin22.3.（2012·江西高考文科·Ｔ4）若sincos1sincos2，则tan2α=（）-2-（A）-34（B）34（C）-43（D）43【解题指南】先由已知条件求得tan，再用倍角公式求得tan2.【解析】选B.因为sincos1sincos2，所以tan11tan12，解方程得tan3，根据倍角公式得3tan2434，故选B.4.（2012·江西高考文科·Ｔ9）已知2()sin()4fxx,若a=f（lg5），1(lg)5bf,则（）（A）a+b=0（B）a-b=0（C）a+b=1（D）a-b=1【解析】选C.21cos(2lg5)1sin(2lg5)2(lg5)sin(lg5)422af，211cos(2lg)111sin(2lg5)52(lg)sin(lg)55422bf，则可得a+b=1.5.（2012·湖南高考理科·Ｔ6）函数f（x）=sinx-cos(x+6)的值域为()（A）[-2,2]（B）[-3,3]（C）[-1,1]（D）[-32,32]【解题指南】先将()fx利用两角的和差的正弦、余弦公式化为()sinAxwf+)的形式，再利用三角函数的有界性确定()fx的值域.【解析】选B.()31sincossin22fxxxx=-+313sincos3sin226xxxp骣骣琪琪琪=-=-琪琪琪琪琪琪桫桫，()故选B。336p轾蝄-蝄?犏臌,,,.xRxRfx.二、填空题-3-6.（2012·江苏高考·Ｔ11）设为锐角，若4cos()65，则sin(2)12的值为.【解题指南】首先观察角之间的联系，然后再从倍角公式和角的变换角度处理.【解析】因为43cos()(0,)sin()656265，所以43cos()(0,)sin()656265，所以43cos()(0,)sin()656265所以27cos(2)2cos()13625，所以172sin(2)sin[(2)]sin(2)coscos(2)sin1234343450．【答案】172507.（2012·福建高考理科·Ｔ17）某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数:①17cos13sin17cos13sin22；②15cos15sin15cos15sin22；③12cos18sin12cos18sin22；（1）试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；（2）根据（1）的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论．【解析】方法一：（1）选择②式，计算如下：-4-4341130sin21115cos15sin15cos15sin22.（2）三角恒等式为43)30cos(sin)30(cossin22.证明如下：)30cos(sin)30(cossin22)sin30sincos30(cossin)sin30sincos30(cossin222222sin21cossin23sin41cossin23cos43sin43cos43sin4322.方法二：（1）同方法一.（2）三角恒等式为43)30cos(sin)30(cossin22.证明如下：)30cos(sin)30(cossin22)sin30sincos30(cossin2)260cos(122cos12sin21cossin23)2sin60sin2cos60(cos21212cos2121)2cos1(412sin432sin432cos41212cos2121432cos41412cos411.8.（2012·广东高考理科·Ｔ16）已知函数()2cos()(0,)6fxxxR其中的最小正周期为10.-5-（1）求的值.（2）设56516,0,,(5),(5)235617ff，求cos().【解题指南】(1)根据周期公式2||T,可求出值.（2）解本小题的关键是根据56(5)35f和516(5)617f求出sin,cos的值，然后再根据,的范围，求出cos,sin的值，再利用两角和的余弦公式即可求解.【解析】(1)由于函数f(x)的最小正周期为2110,10,5.(2)56(5)35f,15632cos[(5)]2cos(),sin536255.又516(5)617f,151682cos[(5)]2cos,cos5661717.又415,[0,],cos,sin2517,9.（2012·广东高考文科·Ｔ16）已知函数()cos(),()2.463xfxAxRf，且（1）求A的值.（2）设430280,,(4),(4).231735ff，求cos()的值.-6-【解题指南】(1)将x=3代入函数f(x)的解析式，建立关于A的方程，解方程得解.（2）解答本题的关键是根据43028f(4)f(4)31735和求出sin,cos的值，然后再根据,的范围，求出cos,sin，再利用两角和的余弦公式即可求解.【解析】(1)2()2,cos()2,23126cos4fAA.(2)430(4)317f,∴214301522cos[(4)]2cos(),sin43621717，又28(4)35f,12842cos[(4)]2cos,cos43655.又83,[0,],cos,sin2175.10.（2012·湖北高考理科·Ｔ17）已知向量a=，b=，设函数f（x）=a·b+的图象关于直线x=π对称，其中，为常数，且（1）求函数f（x）的最小正周期.（2）若y=f（x）的图象经过点求函数f（x）在区间上的取值范围.【解题指南】本题考查三角函数的图象与性质，解答本题的关键是把函数f（x）化为sin()Axk+k）的形式，再利用它的图象与性质解答.-7-【解析】(1)22()sincos23sincos3sin2cos22sin(2)6fxabxxxxxxx=ab22()sincos23sincos3sin2cos22sin(2)6fxabxxxxxxx且直线x是f（x）的图象的一条对称轴，∴f（x）的最小正周期为65.(2)由y=f（x）的图象过点（4，0），()04f，即又3[0,]5x,则55[,]3666x.∴函数f（x）的值域为[12,22].11.（2012·天津高考理科·Ｔ15）已知函数2()sin2+sin22cos1.33fxxxxxR（）（），（1）求函数)(xf的最小正周期；（2）求函数)(xf在区间[,]44上的最大值和最小值.【解题指南】根据两角和与差的正弦公式、二倍角的余弦公式，及三角函数的性质进行变换、化简求值.【解析】（1）()sin2coscos2sinsin2coscos2sincos23333fxxxxxx=sin2cos22sin(2)4xxx.-8-所以，f(x)的最小正周期22T.（2）因为)(xf在区间[,]48上是增函数，在区间[,]84上是减函数，又()1,()2,()1,484fff故函数f(x)在区间[,]44上的最大值为2，最小值为-1.