2014-2015学年高中数学(人教A版,选修2-3)练习223独立重复试验与二项分布]

选修2-3第二章2.22.2.3一、选择题1．任意抛掷三枚均匀硬币，恰有2枚正面朝上的概率为()A．34B．38C．13D．14[答案]B[解析]抛一枚硬币，正面朝上的概率为12，则抛三枚硬币，恰有2枚朝上的概率为P＝C23122×12＝38.2．在4次独立重复试验中，事件A发生的概率相同，若事件A至少发生1次的概率为6581，则事件A在1次试验中发生的概率为()A．13B．25C．56D．34[答案]A[解析]事件A在一次试验中发生的概率为p，由题意得1－C04p0(1－p)4＝6581，所以1－p＝23，p＝13，故答案选A.3．(2013·河南安阳中学高二期中)若X～B(10,0.8)，则P(X＝8)等于()A．C810×0.88×0.22B．C810×0.82×0.28C．0.88×0.22D．0.82×0.28[答案]A[解析]∵X～B(10,0.8)，∴P(X＝k)＝Ck100.8k(1－0.8)10－k，∴P(X＝8)＝C8100.88·0.22，故选A.4．某一批花生种子，如果每1粒发芽的概率为45，那么播下4粒种子恰有2粒发芽的概率是()A．16625B．96625C．192625D．256625[答案]B[解析]P＝C24452152＝96625.5．某电子管正品率为34，次品率为14，现对该批电子管进行测试，设第ξ次首次测到正品，则P(ξ＝3)＝()A．C23142×34B．C23342×14C．142×34D．342×14[答案]C6．在4次独立重复试验中，随机事件A恰好发生1次的概率不大于其恰好发生2次的概率，则事件A在一次试验中发生的概率p的取值范围是()A．[0.4,1)B．(0,0.4]C．[0.6,1)D．(0,0.6][答案]A[解析]由条件知P(ξ＝1)≤P(ξ＝2)，∴C14p(1－p)3≤C24p2(1－p)2，∴2(1－p)≤3p，∴p≥0.4，又0≤p1，∴0.4≤p1.二、填空题7．下列例子中随机变量ξ服从二项分布的有________．①随机变量ξ表示重复抛掷一枚骰子n次中出现点数是3的倍数的次数；②某射手击中目标的概率为0.9，从开始射击到击中目标所需的射击次数ξ；③有一批产品共有N件，其中M件为次品，采用有放回抽取方法，ξ表示n次抽取中出现次品的件数(MN)；④有一批产品共有N件，其中M件为次品，采用不放回抽取方法，ξ表示n次抽取中出现次品的件数．[答案]①③[解析]对于①，设事件A为“抛掷一枚骰子出现的点数是3的倍数”，P(A)＝13.而在n次独立重复试验中事件A恰好发生了k次(k＝0、1、2、……、n)的概率P(ξ＝k)＝Ckn×13k×23n－k，符合二项分布的定义，即有ξ～B(n，13)．对于②，ξ的取值是1、2、3、……、P(ξ＝k)＝0.9×0.1k－1(k＝1、2、3、……n)，显然不符合二项分布的定义，因此ξ不服从二项分布．③和④的区别是：③是“有放回”抽取，而④是“无放回”抽取，显然④中n次试验是不独立的，因此ξ不服从二项分布，对于③有ξ～Bn，MN.故应填①③.8．一个病人服用某种新药后被治愈的概率为0.9，则服用这种新药的4个病人中至少3人被治愈的概率为________(用数字作答)．[答案]0.9477[解析]C34·0.93·0.1＋(0.9)4＝0.9477.9．如果X～B(20，p)，当p＝12且P(X＝k)取得最大值时，k＝________.[答案]10[解析]当p＝12时，P(X＝k)＝Ck2012k·1220－k＝1220·Ck20，显然当k＝10时，P(X＝k)取得最大值．三、解答题10．(2014·西安市质检)某学生在上学路上要经过4个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是13，遇到红灯时停留的时间都是2分钟．(1)求这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯的概率；(2)求这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间ξ的分布列．[解析](1)设这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯为事件A，因为事件A等于事件“这名学生在第一和第二个路口没有遇到红灯，在第三个路口遇到红灯”，所以事件A的概率为P(A)＝(1－13)×(1－13)×13＝427.(2)由题意，可得ξ可以取的值为0、2、4、6、8(单位：分钟)，事件“ξ＝2k”等价于事件“该学生在路上遇到k次红灯”(k＝0、1、2、3、4)，∴P(ξ＝2k)＝Ck4(13)k(23)4－k(k＝0、1、2、3、4)，∴即ξ的分布列是ξ02468P16813281827881181一、选择题11．某射手射击1次，击中目标的概率是0.9，他连续射击4次，且各次射击是否击中目标相互之间没有影响．则他恰好击中目标3次的概率为()A．0.93×0.1B．0.93C．C34×0.93×0.1D．1－0.13[答案]C[解析]由独立重复试验公式可知选C.12．位于坐标原点的一个质点P按下述规则移动：质点每次移动一个单位；移动的方向为向上或向右，并且向上、向右移动的概率都是12.质点P移动五次后位于点(2,3)的概率是()A．(12)5B．C25(12)5C．C35(12)3D．C25C35(12)5[答案]B[解析]由于质点每次移动一个单位，移动的方向向上或向右，移动五次后位于点(2,3)，所以质点P必须向右移动二次，向上移动三次，故其概率为C35(12)3(12)2＝C35(12)5＝C25(12)5.13．市场上供应的灯泡中，甲厂产品占70%，乙厂占30%，甲厂产品的合格率为95%，乙厂产品的合格率是80%，则从市场上买到一个是甲厂生产的合格灯泡的概率是()A．0.665B．0.56C．0.24D．0.285[答案]A[解析]设A＝“从市场上买到一个灯泡是甲厂生产的”，B＝“从市场上买到一个灯泡是合格品”，则A、B相互独立，则事件AB＝“从市场上买到一个是甲厂生产的合格灯泡”．∵P(A)＝0.7，P(B)＝0.95，∴P(AB)＝P(A)·P(B)＝0.7×0.95＝0.665.二、填空题14．设随机变量X～B(2，p)，Y～B(4，p)，若P(X≥1)＝59，则P(Y≥2)的值为________．[答案]1127[解析]由条件知，P(X＝0)＝1－P(X≥1)＝49＝C02P0(1－P)2，∴P＝13，∴P(Y≥2)＝1－P(Y＝0)－P(Y＝1)＝1－C04P0(1－P)4－C14P(1－P)3＝1－1681－3281＝1127.15．某篮球队员在比赛中每次罚球的命中率相同，且在两次罚球中至多命中一次的概率为1625，则该队员每次罚球的命中率为________．[答案]35[解析]设篮球运动员罚球的命中率为P，则由条件得P(ξ＝2)＝1－1625＝925，∴C22·P2＝925，∴P＝35.三、解答题16．(2014·乌鲁木齐诊断)某公司招聘员工，先由两位专家面试，若两位专家都同意通过，则视作通过初审予以录用；若这两位专家都未同意通过，则视作未通过初审不予录用；当这两位专家意见不一致时，再由第三位专家进行复审，若能通过复审则予以录用，否则不予录用．设应聘人员获得每位初审专家通过的概率均为0.5，复审能通过的概率为0.3，各专家评审的结果相互独立．(1)求某应聘人员被录用的概率；(2)若4人应聘，设X为被录用的人数，试求随机变量X的分布列．[解析]设“两位专家都同意通过”为事件A，“只有一位专家同意通过”为事件B，“通过复审”为事件C.(1)设“某应聘人员被录用”为事件D，则D＝A＋BC，∵P(A)＝12×12＝14，P(B)＝2×12×(1－12)＝12，P(C)＝310，∴P(D)＝P(A＋BC)＝P(A)＋P(B)P(C)＝25.(2)根据题意，X＝0,1,2,3,4，Ai表示“应聘的4人中恰有i人被录用”(i＝0,1,2,3,4)，∵P(A0)＝C04×(35)4＝81625，P(A1)＝C14×25×(35)3＝216625，P(A2)＝C24×(25)2×(35)2＝216625，P(A3)＝C34×(25)3×35＝96625，P(A4)＝C44×(25)4×(35)0＝16625.∴X的分布列为X01234P81625216625216625966251662517.(2014·唐山市一模)甲、乙、丙三个车床加工的零件分别为350个，700个，1050个，现用分层抽样的方法随机抽取6个零件进行检验．(1)从抽取的6个零件中任意取出2个，已知这两个零件都不是甲车床加工的，求至少有一个是乙车床加工的概率；(2)从抽取的6个零件中任意取出3个，记其中是乙车床加工的件数为X，求X的分布列．[解析](1)由抽样方法可知，从甲、乙、丙三个车床抽取的零件数分别为1,2,3.从抽取的6个零件中任意取出2个，记事件“已知这两个零件都不是甲车床加工的”为A，事件“其中至少有一个是乙车床加工的”为B，则P(A)＝C25C26，P(AB)＝C25－C23C26，所求概率为P(B|A)＝PABPA＝C25－C23C25＝0.7.(2)X的可能取值为0,1,2.P(X＝i)＝Ci2C3－i4C36，i＝0,1,2.X的分布列为X012P0.20.60.218.(2014·中原名校二次联考)某市为“市中学生知识竞赛”进行选拔性测试，且规定：成绩大于或等于90分的有参赛资格，90分以下(不包括90分)的被淘汰．若有500人参加测试，学生成绩的频率分布直方图如图．(1)求获得参赛资格的人数；(2)根据频率直方图，估算这500名学生测试的平均成绩；(3)若知识竞赛分初赛和复赛，在初赛中每人最多有5次选题答题的机会，累计答对3题或答错3题即终止，答对3题者方可参加复赛．已知参赛者甲答对每一个问题的概率都相同，并且相互之间没有影响．已知他前两次连续答错的概率为19，求甲在初赛中答题个数ξ的分布列．[解析](1)由频率分布直方图得，获得参赛资格的人数为500×(0.0050＋0.0043＋0.0032)×20＝125人．(2)设500名学生的平均成绩为x，则x＝(30＋502×0.0065＋50＋702×0.0140＋70＋902×0.0170＋90＋1102×0.0050＋110＋1302×0.0043＋130＋1502×0.0032)×20＝78.48分．(3)设学生甲答对每道题的概率为P(A)，则(1－P(A))2＝19，∴P(A)＝23.学生甲答题个数ξ的可能值为3,4,5，则P(ξ＝3)＝(23)3＋(13)3＝13，P(ξ＝4)＝C13(13)(23)3＋C13(23)(13)3＝1027，P(ξ＝5)＝C24(13)2(23)2＝827.所以ξ的分布列为ξ345P131027827