2014-2015学年高中数学(人教A版,选修2-3)练习31回归分析的基本思想及其初步应用]

选修2-3第三章3.1一、选择题1．(2014·重庆理，3)已知变量x与y正相关，且由观测数据算得样本平均数x－＝3，y－＝3.5，则由该观测数据算得线性回归方程可能为()A．y^＝0.4x＋2.3B．y^＝2x－2.4C．y^＝－2x＋9.5D．y^＝－0.3x＋4.4[答案]A[解析]因为变量x和y正相关，所以回归直线的斜率为正，排除C、D；又将点(3,3.5)代入选项A和B的方程中检验排除B，所以选A.2．(2014·枣阳一中、襄州一中、宣城一中、曾都一中高三期中联考)由变量x与y相对应的一组数据(1，y1)、(5，y2)、(7，y3)、(13，y4)、(19，y5)得到的线性回归方程为y^＝2x＋45，则y－＝()A．135B．90C．67D．63[答案]D[解析]∵x－＝15(1＋5＋7＋13＋19)＝9，y－＝2x－＋45，∴y－＝2×9＋45＝63，故选D.3．(2014·淄博市、临淄区学分认定考试)观测两个相关变量，得到如下数据：x－1－2－3－4－554321y－0.9－2－3.1－3.9－5.154.12.92.10.9则两变量之间的线性回归方程为()A．y^＝0.5x－1B．y^＝xC．y^＝2x＋0.3D．y^＝x＋1[答案]B[解析]因为x－＝0，y－＝－0.9－2－3.1－3.9－5.1＋5＋4.1＋2.9＋2.1＋0.910＝0，根据回归直线方程必经过样本中心点(x－，y－)可知，回归直线方程过点(0,0)，所以选B.4．(2013·济宁梁山一中高二期中)一位母亲记录了儿子3～9岁的身高，数据(略)，由此建立的身高与年龄的回归模型为y^＝7.19x＋73.93，用这个模型预测这个孩子10岁时的身高，则正确的叙述是()A．身高一定是145.83cmB．身高在145.83cm以上C．身高在145.83左右D．身高在145.83cm以下[答案]C[解析]将x的值代入回归方程y^＝7.19x＋73.93时，得到的y^值是年龄为x时，身高的估计值，故选C.5．对于回归分析，下列说法错误的是()A．在回归分析中，变量间的关系是非确定性关系，因此因变量不能由自变量唯一确定B．线性相关系数可以是正的或负的C．回归分析中，如果r＝±1，说明x与y之间完全线性相关D．样本相关系数r∈(－1,1)[答案]D[解析]∵相关系数|r|≤1，∴D错．6．甲、乙、丙、丁四位同学各自对A、B两变量的线性相关性做试验，并用回归分析方法分别求得相关系数r与残差平方和m如下表：甲乙丙丁r0.820.780.690.85m106115124103则哪位同学的试验结果体现A、B两变量有更强的线性相关性()A．甲B．乙C．丙D．丁[答案]D[解析]r越接近1，相关性越强，残差平方和m越小，相关性越强，故选D.二、填空题7．已知回归直线方程为y^＝0.50x－0.81，则x＝25时，y的估计值为________．[答案]11.698．在7块并排、形状大小相同的试验田上进行施化肥量对水稻产量影响的试验，得到如下表所示的一组数据(单位：kg)．由散点图初步判定其具有线性相关关系，则由此得到的回归方程的斜率是________.施化肥量x15202530354045水稻产量y330345365405445450455[答案]4.75[解析]列表如下，i1234567xi15202530354045yi330345365405445450455xiyi49506900912512150155751800020475x＝30，y≈399.3，i＝17x2i＝7000，i＝17xiyi＝87175则b^≈87175－7×30×399.37000－7×302≈4.75.回归方程的斜率即回归系数b^.9．以下是某地区的降雨量与年平均气温的一组数据：年平均气温(℃)12.5112.8412.8413.6913.3312.7413.05年降雨量(mm)542507813574701432464根据这组数据可以推断，该地区的降雨量与年平均气温________相关关系．(填“具有”或“不具有”)[答案]不具有[解析]画出散点图，观察可知，降雨量与年平均气温没有相关关系．三、解答题10．某工厂的产品产量与单位成本的资料如下表所示，请进行线性回归分析.月份产量x(千件)单位成本y(元/件)x2xy127341462372921634711628443739219546916276656825340合计21426791484[解析]设回归直线方程为y^＝b^x＋a^，x＝216，y＝4266＝71，i＝16x21＝79，i＝16xiyi＝1481，∴b^＝1481－6×216×7179－6×2162＝－105.5≈－1.8182，a^＝71－(－1.8182)×216≈77.36.回归直线方程为y^＝77.36－1.8182x.由回归系数b^为－1.8182知，产量每增加1000件，单位成本下降约1.82元．一、选择题11．(2014·哈师大附中高二期中)下列说法正确的有几个()(1)回归直线过样本点的中心(x－，y－)；(2)线性回归方程对应的直线y^＝b^x＋a^至少经过其样本数据点(x1，y1)、(x2，y2)、…、(xn，yn)中的一个点；(3)在残差图中，残差点分布的带状区域的宽度越宽，其模型拟合的精度越高；(4)在回归分析中，R2为0.98的模型比R2为0.80的模型拟合的效果好．A．1B．2C．3D．4[答案]B[解析]由回归分析的概念知①④正确，②③错误．12．下表提供了某厂节能降耗技术改造后在生产A产品过程中记录的产量x(吨)与相应的生产能耗y(吨)的几组对应数据：x3456y2.5t44.5根据上表提供的数据，求出y关于x的线性回归方程为y^＝0.7x＋0.35，那么表中t的值为()A．3B．3.15C．3.5D．4.5[答案]A[解析]样本中心点是(x－，y－)，即(4.5，11＋t4)．因为回归直线过该点，所以11＋t4＝0.7×4.5＋0.35，解得t＝3.13．(2012·湖南文，5)设某大学的女生体重y(单位：kg)与身高x(单位：cm)具有线性相关关系，根据一组样本数据(xi，yi)(i＝1,2，…，n)，用最小二乘法建立的回归方程为y^＝0.85x－85.71，则下列结论中不正确．．．的是()A．y与x具有正的线性相关关系B．回归直线过样本点的中心(x－，y－)C．若该大学某女生身高增加1cm，则其体重约增加0.85kgD．若该大学某女生身高为170cm，则可断定其体重必为58.79kg[答案]D[解析]本题考查线性回归方程．D项中身高为170cm时，体重“约为”58.79，而不是“确定”，回归方程只能作出“估计”，而非确定“线性”关系．14．(2014·哈师大附中高二期中)某咖啡厅为了了解热饮的销售量y(个)与气温x(℃)之间的关系，随机统计了某4天的销售量与气温，并制作了对照表：气温(℃)181310－1销售量(个)24343864由表中数据，得线性回归方程y＝－2x＋a.当气温为－4℃时，预测销售量约为()A．68B．66C．72D．70[答案]A[解析]∵x－＝14(18＋13＋10－1)＝10，y－＝14(24＋34＋38＋64)＝40，∴40＝－2×10＋a，∴a＝60，当x＝－4时，y＝－2×(－4)＋60＝68.二、填空题15．已知两个变量x和y之间有线性相关性，5次试验的观测数据如下表：x100120140160180y4554627592那么变量y关于x的回归方程是________．[答案]y^＝0.575x－14.9[解析]根据公式计算可得b^＝0.575，a^＝－14.9，所以回归直线方程是y^＝0.575x－14.9.三、解答题16．某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此作了四次试验，得到的数据如下：零件的个数x(个)2345加工的时间y(小时)2.5344.5(1)在给定的坐标系中画出表中数据的散点图；(2)求出y关于x的线性回归方程y^＝b^x＋a^，并在坐标系中画出回归直线；(3)试预测加工10个零件需要多少时间？(注：b^＝i＝1nxiyi－nxyi＝1nx2i－nx2，a^＝y－b^x)[解析](1)散点图如下图．(2)由表中数据得i＝14xiyi＝52.5，x＝3.5，y＝3.5，i＝14x2i＝54，∴b^＝0.7，a^＝1.05.∴y^＝0.7x＋1.05.回归直线如图中所示．(3)将x＝10代入回归直线方程，得y＝0.7×10＋1.05＝8.05(小时)，∴预测加工10个零件需要8.05小时．17．以下是某地搜集到的新房屋的销售价格y和房屋的面积x的数据：房屋面积(m2)11511080135105销售价格(万元)24.821.618.429.222(1)画出数据对应的散点图；(2)求线性回归方程，并在散点图中加上回归直线；(3)据(2)的结果估计当房屋面积为150m2时的销售价格．[解析](1)数据对应的散点图如下图所示：(2)x＝15∑5i＝1xi＝109，lxx＝∑5i＝1(xi－x)2＝1570，y＝23.2，lxy＝∑5i＝1(xi－x)(yi－y)＝308.设所求回归直线方程为y^＝b^x＋a^，则b^＝lxylxx＝3081570≈0.1962，a^＝y－b^x＝1.8166.故所求回归直线方程为y^＝0.1962x＋1.8166.(3)据(2)，当x＝150m2时，销售价格的估计值为y^＝0.1962×150＋1.8166＝31.2466(万元)．18．关于x与y有如下数据：x24568y3040605070有如下的两个线性模型：①y^＝6.5x＋17.5；②y^＝7x＋17.试比较哪一个模型拟合效果更好．[解析]由①可得yi－y^i与yi－y的关系如下表：yi－y^i－0.5－3.510－6.50.5yi－y－20－1010020所以i＝15(yi－y^i)2＝(－0.5)2＋(－3.5)2＋102＋(－6.5)2＋0.52＝155，i＝15(yi－y)2＝(－20)2＋(－10)2＋102＋02＋202＝1000.所以R21＝1－i＝15yi－y^i2i＝15yi－y2＝1－1551000＝0.845.由②可得yi－y^i与yi－y的关系如下表：yi－y^i－1－58－9－3yi－y－20－1010020所以i＝15(yi－y^i)2＝(－1)2＋(－5)2＋82＋(－9)2＋(－3)2＝180，i＝15(yi－y)2＝(－20)2＋(－10)2＋102＋02＋202＝1000.所以R22＝1－i＝15yi－y^i2i＝15yi－y2＝1－1801000＝0.82.由于R21＝0.845，R22＝0.82,0.8450.82，所以R21R22.故①的拟合效果好于②的拟合效果．[点评]R2的取值越大，模型的拟合效果越好．