2012江苏省数学竞赛《提优教程》第52讲圆锥曲线(一)

第52讲圆锥曲线(一)常见二次曲线有圆、椭圆、双曲线、抛物线等，前面已经研究过圆，本讲将对竞赛中常见的有关椭圆、双曲线、抛物线等问题作一些研究．1．各曲线的定义(1)椭圆：{P||PF1|＋|PF2|＝2a，2a＞|F1F2|，F1、F2为定点，2a为正常数}；(2)双曲线：{P|||PF1|－|PF2||＝2a，2a＜|F1F2|，F1、F2为定点，2a为正常数}；(3)抛物线：{P||PF||PH|＝1，F为定点，|PH|是P到定直线l的距离}．圆锥曲线的统一定义：平面上，到一个定点F的距离与到一条定直线l的距离之比为一个常数e的点的轨迹叫做圆锥曲线(椭圆、双曲线、抛物线)．当0＜e＜1时，曲线是椭圆；当e＞1时，曲线是双曲线；当e＝1时，曲线是抛物线．这个定点F叫做曲线的焦点，定直线l叫做曲线的准线，定点F到定直线的距离p叫做焦参数．2．标准方程(1)椭圆：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)，y2a2＋x2b2＝1(a＞b＞0)；(2)双曲线：x2a2－y2b2＝1，y2a2－x2b2＝1(a＞0，b＞0)；(3)抛物线：y2＝2px，y2＝－2px，x2＝2py，x2＝－2py(p＞0)．3．几何性质：(见教材)4．直线与椭圆、双曲线、抛物线间关系的判别方法判断直线与椭圆、双曲线、抛物线的关系的方法主要有两种：一种是由它们的方程消去一个未知数(如y)，得到另一个未知数(如x)的一元二次方程，利用其根的判别式Δ＞0、Δ＝0、Δ＜0可分别判断直线与椭圆、双曲线、抛物线有两个不同的公共点、只有一个公共点、没有公共点．对于双曲线、抛物线还要特别注意二次项系数是否为零的讨论．另一种是取椭圆、双曲线的参数方程，再转化为三角方程是否有解的问题．A类例题例1．椭圆x212＋y23＝1的焦点为F1和F2，点P在椭圆上，如果线段PF1的中点在y轴上，那么|PF1|是|PF2|的（）A．7倍B．5倍C．4倍D．3倍(1998年全国高考题)分析本题涉及到椭圆的几何性质、焦半径长，中点坐标公式等，也可以用椭圆的第二定义来求解．解由已知得F1、F2的坐标分别为(－3，0)、(3，0)．设P(x，y)，线段PF1的中点的横坐标为0，那么x1－32＝0，x1＝3．将x1＝3代入椭圆方程得，y1＝±32，所以P(3，±32)，则|PF2|＝|y1|＝32．因为|PF1|＋|PF2|＝43，则|PF1|＝732，故|PF1|＝7|PF2|．说明本题也可以用焦半径公式求解，与焦半径有关的内容详见圆锥曲线(二)．例2．设双曲线x2a2－y2b2＝1(0＜a＜b)的半焦距为c，直线l过(a，0)、(0，b)两点，已知原点到直线l的距离为34c，则双曲线的离心率为()A．2B．3C．2D．233(1996年全国高考题)解法一因为b＞a＞0，所以c2＝a2＋b2＞2a2，c＞2a，则离心率e＝ca＞2＞233，故排除选项C、D．因为直线l过点(a，0)、(0，b)，原点到直线l的距离为34c，则34c2＝ab，检验A、B分支，选A．法二因为直线l过点(a，0)、(0，b)，则l的方程为bx＋ay－ab＝0，所以原点到直线l的距离为|－ab|a2＋b2＝34c，因为c2＝a2＋b2(b＞a＞0)，所以abc＝34c，整理得，3e4－16e2＋16＝0，解得e2＝4或e2＝43．因为b＞a＞0，所以c2＝a2＋b2＞2a2，所以e2＝c2a2＞2，故e2＝4，即e＝2，故选A．例3．已知抛物线y2＝2px(p＞0)，过动点M(a，0)且斜率为1的直线l与该抛物线交于不同的两点A、B，|AB|≤2p．(1)求a的取值范围；(2)若线段AB的垂直平分线交x轴于点N，求ΔNAB面积的最大值．(2001年北京、内蒙古、安徽春季高考题)解(1)直线l的方程为：y＝x－a，将y＝x－a代入y2＝2px，得x2－2(a＋p)x＋a2＝0．[来源:Z_xx_k.Com]设直线l与抛物线两个不同的交点坐标分别为A(x1，y1)、B(x2，y2)，则Δ＝4(a＋p)2－4a2＞0，x1＋x2＝2(a＋p)，x1x2＝a2．又y1＝x1－a，y2＝x2－a，则|AB|＝(x1－x2)2＋(y1－y2)2＝2[(x1＋x2)2－4x1x2]＝8p(p＋2a)．因为0＜|AB|≤2p，8p(p＋2a)＞0．解得－p2＜a≤－p4．(2)设AB的垂直平分线交AB于点Q，令Q坐标为(x3，y3)，则由中点坐标公式得x3＝x1＋x22＝a＋p，y3＝y1＋y22＝(x1－a)＋(x2－a)2＝p，所以，|QN|2＝(a＋p－a)2＋(p－0)2＝2p2，又ΔMQN为等腰直角三角形，则|QN|＝|QM|＝2p．所以SΔNAB＝12|AB|·|QN|＝22p·|AB|≤22p·2p＝2p2．即当|AB|＝2p时ΔNAB面积的最大，最大值为2p2．说明平面解析几何是通过研究二次方程来研究二次曲线的，常常解题根据根与系数的关系整体利用两根的和与积．由于不论一元二次方程有无实根，根与系数的关系总成立，而解析几何中曲线的交点坐标是实数，因此使用根与系数关系时要注意检查该方程是否有实根．正确使用这一方法解题，大致有三个步骤：(1)把已知条件、要计算的对象、要证明的结论，写成x1＋x2、x1x2(或y1＋y2、y1y2)的式子；(2)由两条曲线(含直线)的方程消去一个未知数，得到另一个未知数的一元二次方程，根据根与系数关系写出x1＋x2、x1x2(或y1＋y2、y1y2)的表达式，代入第(1)步中的式子，并求出结果；(3)检查(2)中的结果是否违背(2)中的一元二次方程根的判别式Δ≥0．情景再现1．椭圆x29＋y24＝1的焦点为F1、F2，点P为其上的动点，当∠F1PF2为钝角时，点P横坐标的取值范围是_____________．(2000年全国高考题)2．已知P为双曲线x216－y29＝1右支上的一点，F1、F2分别为左、右焦点，若|PF1|：|PF2|＝3：2，试求点P(x0，y0)的坐标．(1998年济南高考模拟题)3．如图，椭圆ax2＋by2＝1与直线x＋y＝1交于A、B两点，于22(其中OC是线段AB的中点，若|AB|＝22，OC的斜率等为直角坐标系的原点)，求a、b的值．(1992年全国高考题)B类例题[来源:学_科_网]例4．给定点A(－2，2)，已知B是椭圆x225＋y216＝1上的一点，F1是椭圆的左焦点，求当|AB|＋53|BF1|取最小值时，点B的坐标．(1999年全国高中数学联赛)分析由于椭圆的离心率为35，结合待求式子中有53的特点，可以考虑将53|BF1|利用椭圆的第二定义转化为B点到相应准线的距离．解此椭圆的a＝5，b＝4，c＝3，e＝35，作椭圆的左准线l：x＝－253．对于椭圆上任一点B，连AB，BF1，作BH⊥l于H，则|B'F1||B'H|＝35，即|BH|＝53|BF1|．从而|AB|＋53|BF1|＝|AB|＋|BH|．于是问题变为求|AB|＋|BH|的最小值．作AC⊥l于C，交椭圆于B．则|AC|≤|AB|＋|BH|，即|AC|为所求最小值．|AC|＝(－2)－(－253)=193．此时点B的纵坐标y＝2，代入椭圆方程，得点B的横坐标为x＝－523．CBAxOyl1BHCAB'FOxy则当|AB|＋53|BF1|取最小值时，点B的坐标为(－523，2)．例5．如图，直线l的方程为x＝－p2，其中p＞0；椭圆的中心为D(2＋p2，0)，焦点在x一个顶点为A(p2，轴上，长半轴长为2，短半轴长为1，它的0)．问p在哪个范围内取值时，椭圆上有四个不同的点，它们中每一个点到点A的距离等于该点到直线l的距离．（1988年全国高考题）解假定椭圆上有符合题意的四点，则这四个点的坐标都应满足下面的椭圆方程：[x－(2＋p2)]24＋y2＝1，又这四个点的坐标应满足下面的抛物线方程y2＝2px，从而椭圆上有四点符合题意的充要条件是下面的方程组有四个不同的实数解：[x－(2＋p2)]24＋y2＝1，(1)y2＝2px(2)；将(2)式代入(1)式，得[x－(2＋p2)]2＋8px＝4，即x2＋(7p－4)x＋p24＋2p＝0(3)所以原方程组有4个不同的实数解，当且仅当方程(3)有两个不相等的正根，而这又等价于Δ＝(7p－4)2－4(p24＋2p)＞0，x1x2＝p24＋2p＞0，x1＋x2＝7p－4＜0，p＞0．解得0＜p＜13．所以，所求的p的取值范围为(0，13)．例6．已知点A(0，2)和抛物线y2＝x＋4上两点B，C，使得AB⊥BC，求点C的纵坐标的取值范围．(2002年全国高中数学联赛)解设B(y02－4，y0)，C(y12－4，y1)．则kAB＝y0－2y20－4＝1y0+2．kBC＝y1－y0y21－y20＝1y1+y0．lDAxOy（0，2）（-4，0）ABCyOx由kAB·kBC＝－1，得(y1＋y0)(y0＋2)＝－1．则y02＋(y1＋2)y0＋(2y1＋1)＝0．则得△＝(y1＋2)2－4(2y1＋1)＝y12－4y1≥0，[来源:学科网ZXXK]故y1≤0，y1≥4．当y1＝0时，得B(－3，－1)，当y1＝4时，得B(5，－3)均满足要求，故点C的纵坐标的取值范围是(－∞，0]∪[4，+∞)．情景再现4．椭圆的中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，直线y＝x＋1与该椭圆相交于P和Q，且OP⊥OQ，|PQ|＝102．求椭圆的方程．（1991年全国高考题）5．已知直线l过坐标原点，抛物线C的顶点在原点，焦点在x轴正半轴，若点A(－1，0)和B(0，8)关于l的对称点都在C上，求直线l和抛物线C的方程．（1994年全国高考题）6．已知椭圆C1的方程为x24＋y2＝1，双曲线C2的左、右焦点分别为C1的左、右顶点，而C2的左、右顶点分别是C1的左、右焦点．(1)求双曲线C2的方程；(2)若直线l：y＝kx＋2与椭圆C1及双曲线C2都恒有两个不同的交点，且l与C2的两个交点A和B满足OA→·OB→＜6（其中O为原点），求k的取值范围．(2005年高考题(重庆卷))C类例题例7．点P(x0，y0)是抛物线y2=2px上的任意一定点，PA、PB是抛物线的两条互相垂直的弦，求证：AB过定点．分析由于PA⊥PB，故可考虑引入参数k(斜率)．证明设点A、B的坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，PA的斜率为k，则PA的方程：y－y0=k(x－x0)．则y－y0＝k(x－x0)，可得x＝y－y0k＋x0，①y2＝2px，以①代入得：y2－2pk(y－y0)－2px0＝0．②y02＝2px0，代入②得：y2－y02－2pk(y－y0)＝0．③由于y≠y0，则y＋y0＝2pk．④即得点A的坐标为：A(x1，2pk－y0)；同理得B的坐标为B(x2，－2py－y0)．因为yAB＝y2－y1x2－x1＝y2－y1y122p－y222p＝2py2+y1，故AB的方程为：y－y1=2py2+y1(x－x1)，即(y1＋y2)y－y1y2＝2px．⑤(其中y12＝2px1)又y1＋y2＝2pk－2py－2y0；⑥y1y2＝(2pk－y0)(－2py－y0)＝－4p2－2pky0＋2pyy0＋y02＝－(2pk－2py－2y0)y0－4p2－2px0．⑦将⑥、⑦两式代入⑤，得(2pk－2py－2y0)(y＋y0)－2p(x－x0－2p)＝0．⑧则x＝x0＋2p，y＝－y0时，此式恒成立，故直线AB恒过定点(x0＋2p，－y0)．思考1上述解法运算量很大，原因之一是将①x＝y－y0k＋x0代入较繁．如果能避免此步代入，则运算可得到简化：改进1将②－③：y2－y02＝2p(x－x0)，再将①代入，即可得④式．思考2将⑥、⑦两式代入较繁，如不用此式代入，则可减少运算量：改进2由④式知：y1＋y0＝2pk，y2＋y0＝－2py，两式相乘，得y1y2＋(y1＋y2)y0＋y02＝－4p2．⑨[来源:学科网]将⑨代入⑤，并以y02＝2