2012湖北浠水一中数学暑假作业《数列》试题及答案

1第七套一、选择题1．等比数列{an}中，a5a14＝5，则a8a9a10a11＝(B)A．10B．25C．50D．752．在等差数列{an}中，若a1＋a2＋a3＝32，a11＋a12＋a13＝118，则a4＋a10＝(B)A．45B．50C．75D．603．已知等差数列共有10项，其中奇数项之和为15，偶数项之和为30，则其公差是(C)A．5B．4C．3D．24．在等差数列{an}中，设公差为d，若前n项和为Sn＝－n2，则通项和公差分别为(C)A．an＝2n－1，d＝－2B．an＝2n－1，d＝2C．an＝－2n＋1，d＝－2D．an＝－2n＋1，d＝25．在等比数列{an}中，an0，且a2＝1－a1，a4＝9－a3，则a4＋a5的值为(D)A．16B．81C．36D．27二、填空题6．递减等差数列{an}的前n项和Sn满足S5＝S10，则欲使Sn最大，则n＝6或７_____.7.设数列{an}的通项为an＝2n－7，则|a1|＋|a2|＋…＋|a15|＝153______.三、解答题8．数列{an}为等差数列，且an为正整数，a1＝3，前n项和为Sn，数列{bn}为等比数列，b1＝1，数列{ban}是公比为64的等比数列，S2b2＝64.试求{an}，{bn}的通项公式．解：设{an}的公差为d，{bn}的公比为q，则d为正整数，an＝3＋(n－1)d，bn＝qn－1，根据题意，得ban＋1ban＝q2＋ndq2＋n－1d＝qd＝64＝26①S2b2＝6＋dq＝64②，由(6＋d)q＝64，知q为正有理数，又qd＝26，故d为6的因子1,2,3,6之一，由①②，解得d＝2，q＝8，故an＝3＋2(n－1)＝2n＋1，bn＝8n－1.9．设f1(x)＝2x－1，f2(x)＝x2，数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝f2(n)，数列{bn}中，b1＝2，bn＝f1(bn－1)．(1)求数列{an}的通项公式；(2)求证：数列{bn－1}是等比数列．解：(1)an＝2n－1.(2)证明：由题意知bn＝2bn－1－1，即bn－1＝2(bn－1－1)，即bn－1bn－1－1＝2，∵b1－1＝1，∴{bn－1}是以2为公比，以1为首项的等比数列．2第八套一、选择题1．已知数列{an}的前三项依次是－2,2,6，前n项的和Sn是n的二次函数，则a100＝(A)A．394B．392C．390D．3962．公差不为零的等差数列{an}的前n项和为Sn.若a4是a3与a7的等比中项，S8＝32，则S10等于(A)A．60B．24C．18D．903．数列{an}满足an＝4an－1＋3，a1＝0，则此数列的第5项是(A)A．255B．15C．20D．84．某人有人民币a元作股票投资，购买某种股票的年红利为24%(不考虑物价因素且股份公司不再发行新股票，该种股票的年红利不变)，他把每年的利息和红利都存入银行，若银行年利率为6%，则n年后他所拥有的人民币总额为_A_____元(不包括a元的投资)A．4a(1.06n－1)B．a(1.06n－1)C．0.24a(1＋6%)n－1D．4(1.06n－1)5．数列,924,715,58,1的一个通项公式是(B)A．12)1(3nnnannB．12)2()1(nnnannC．121)1()1(2nnannD．12)3()1(nnnann二、填空题6.已知f(1,1)＝1，f(m，n)∈N*(m，n∈N*)，且对任何m，n∈N*，都有：①f(m，n＋1)＝f(m，n)＋2，②f(m＋1,1)＝2f(m,1)，给出以下三个结论：(1)f(1,5)＝9；(2)f(5,1)＝16；(3)f(5,6)＝26，其中正确的个数是___3_____个．7．已知数列{an}满足：a4n－3＝1，a4n－1＝0，a2n＝an，n∈N*，则a2009＝__1______；a2014＝____0____.三、解答题8.在数列{an}中，a1＝2，an＝2an－1＋2n＋1(n≥2，n∈N*)(1)令bn＝an2n，求证：{bn}是等差数列；(2)在(1)的条件下，设Tn＝1b1b2＋1b2b3＋…＋1bnbn＋1，求Tn.解：(1)证明：由an＝2an－1＋2n＋1得an2n＝an－12n－1＋2，3∴an2n－an－12n－1＝2(n≥2)．又bn＝an2n，∴b1＝1，∴数列{bn}是首项为1，公差为2的等差数列．(2)由(1)知bn＝2n－1，∴1bnbn＋1＝12n－12n＋1＝1212n－1－12n＋1.∴Tn＝121－13＋13－15＋…＋12n－1－12n＋1＝121－12n＋1＝n2n＋19.设数列{an}为等比数列，Tn＝na1＋(n－1)a2＋…＋2an－1＋an，已知T1＝1，T2＝4.(1)求数列{an}的首项和公比；(2)求数列{Tn}的通项公式．解(1)设等比数列{an}的公比为q∵Tn＝na1＋(n－1)a2＋…＋2an－1＋an，由T1＝1，T2＝4，得a1＝1，2a1＋a2＝4，∴a1＝1，a2＝2，∴q＝2.故首项a1＝1，公比q＝2.(2)设Sn＝a1＋a2＋…＋an由(1)知an＝2n－1，∴Tn＝na1＋(n－1)a2＋…＋2an－1＋an＝a1＋(a1＋a2)＋…＋(a1＋a2＋…＋an－1＋an)＝S1＋S2＋S3＋…＋Sn＝(2－1)＋(22－1)＋…＋(2n－1)＝(2＋22＋…＋2n)－n＝2－2×2n1－2－n＝－(n＋2)＋2n＋1.第九套一、选择题1．已知{an}是等差数列，a3＋a11＝40，则a6－a7＋a8等于(A)A．20B．48C．60D．722．若{an}是等差数列，则下列数列中仍为等差数列的个数有(D)①{an＋3}②{an2}③{an＋1－an}④{2an}⑤{2an＋n}A．1个B．2个C．3个D．4个3．已知等差数列{an}的公差为d(d≠0)，且a3＋a6＋a10＋a13＝32，若am＝8，则m等于(C)A．4B．6C．8D．124．已知等差数列{an}中，a1＋3a8＋a15＝120，则2a9－a10的值是(C)A．20B．22C．24D．－85．设数列2，5，22，11，…则25是这个数列的(B)A．第6项B．第7项C．第8项D．第9项二、填空题6．数列{an}中，a1＝1，a2＝23，且1an－1＋1an＋1＝2an，则an＝_12n___.47．若数列{an}是公差为d的等差数列，则数列{an＋2an＋2}是公差为_3d_______的等差数列．三、解答题8．已知等差数列{an}，a1＝a，公差d＝1，若bn＝an2－an＋12(n∈N*)，试判断数列{bn}是否为等差数列？并证明你的结论．解：数列{bn}是等差数列，证明如下：∵等差数列{an}中，a1＝a，d＝1∴an＝a＋(n－1)＝n－1＋a∴bn＝an2－an＋12＝(n－1＋a)2－(n＋1－1＋a)2＝1－2n－2a，∴bn＋1＝1－2(n＋1)－2a.∴bn＋1－bn＝[1－2(n＋1)－2a]－(1－2n－2a)＝－2.所以数列{bn}是以b1＝a12－a22＝－2a－1为首项，－2为公差的等差数列．9．为了测试某种金属的热膨胀性质，将这种金属的一根细棒加热，从100℃开始第一次量细棒的长度，以后每升高50℃量一次，把依次量得的数据所成的数列{ln}表示成图象，如图所示．根据图象解答下列问题：(1)第5次量得金属的长度是多少？此时金属棒的温度是多少？(2)若ln是关于测量序号n的一次函数，求{ln}的通项公式．解：(1)由题图得，l5＝2.005m此时金属棒的温度是t＝100＋(5－1)×50＝300(℃)∴第5次量得金属棒的长度是2.005m，此时金属棒的温度是300℃；(2)设ln＝dn＋b，由l1＝2.001m，l2＝2.002m，得2.001＝d＋b2.002＝2d＋b，解得d＝0.001，b＝2.所以通项公式ln＝0.001n＋2第十套一、选择题1．设Sn是等差数列{an}的前n项和，若S3S6＝13，则S6S12等于(A)A.310B.13C.18D.192．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝－2010，S20072007－S20052005＝2，则S2010的值为BA．2010B．－2010C．0D．153．已知某等差数列共20项，其所有项和为75，偶数项和为25，则公差为(C)A．5B．－5C．－2.5D．2.54．已知两个等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为An和Bn，且AnBn＝7n＋45n＋3，则使得anbn为整数的正整数n的个数是(D)A．2B．3C．4D．55．数列{an}中，a1＝1，对所有的n2都有a1·a2·a3·…·an＝n2，则a3＋a5等于(A)A.6116B.259C.2519D.3115二、填空题6．在等差数列{an}中，若S4＝1，S8＝4，则a17＋a18＋a19＋a20的值为___9____．7．若数列{an}的前n项和Sn＝n2＋2n＋5，则a5＋a6＋a7＝__39_________.三、解答题8．已知数列{an}是等差数列．(1)Sn＝20，S2n＝38，求S3n.(2)项数为奇数，奇数项和为44，偶数项和为33，求数列的中间项和项数．解：(1)因为Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等差数列，所以S3n＝3(S2n－Sn)＝54.(2)S偶＋S奇＝SnS奇－S偶＝a中Sn＝na中⇒Sn＝77a中＝11na中＝Sn⇒a中＝11，n＝7.9．用Sm→n表示数列{an}从第m项到第n项(共n－m＋1项)之和．(1)在递增数列{an}中，an与an＋1是关于x的方程x2－4nx＋4n2－1＝0(n为正整数)的两个根，求{an}的通项公式并证明{an}是等差数列；(2)对(1)中的数列{an}，判断数列S1→3，S4→6，S7→9，…，S3k－2→3k是否为等差数列．解：(1)解方程x2－4nx＋4n2－1＝0，得x1＝2n－1，x2＝2n＋1.∵{an}是递增数列，∴an＝2n－1，an＋1＝2n＋1，an＋1－an＝2，∴数列{an}是等差数列，其通项公式为an＝2n－1.(2)当k为正整数时，S3k－2→3k＝a3k－2＋a3k－1＋a3k＝18k－9，S3(k＋1)－2→3(k＋1)＝18(k＋1)－9＝18k＋9∴S3(k＋1)－2→3(k＋1)－S3k－2→3k＝18(常数)，∴数列S1→3，S4→6，S7→9，…，S3k－2→3k是等差数列．第十一套一、选择题1．设数列{an}为等比数列，则下面四个数列：①{an3}；②{pan}(p为非零常数)；③{an·an＋1}；④{an＋an＋1}，6其中是等比数列的有__C______个A．1B．2C．3D．42．等比数列{an}中，|a1|＝1，a5＝－8a2，a5a2，则an＝(A)A．(－2)n－1B．－(－2)n－1C．(－2)nD．－(－2)n3．等比数列{an}中，a3＝12，a2＋a4＝30，则a10的值为(D)A．3×10－5B．3×29C．128D．3×2－5或3×294．已知等比数列{an}满足an0，n＝1,2，…，且a5·a2n－5＝22n(n≥3)，则当n≥1时，log2a1＋log2a3＋…＋log2a2n－1＝(C)A．n(2n－1)B．(n＋1)2C．n2D．(n－1)25．由a1＝1，an＋1＝an3an＋1，可知数列{an}的第34项是(C)A.34103B．100C.1100D.1104二、填空题6．在等比数列{an}中，a3a5a7a9a11＝243，则a92a11的值为___3_____．7．已知1，a1，a2,4成等差数列，1，b1，b2，b3,4成等比数列，则a1＋a2b2的值为__25__．三、解答题8．(1)有四个实数，