2012高中数学2.4.2第1课时课时同步练习新人教A版选修2-1

学而思网校课时一、选择题(每小题5分，共20分)1．已知抛物线y2＝2px(p0)的准线与圆x2＋y2－6x－7＝0相切，则p的值为()A.12B．1C．2D．4解析：圆的标准方程为(x－3)2＋y2＝16，圆心(3,0)到抛物线准线x＝－p2的距离为4，∴p2＝1，∴p＝2，故选C.答案：C2．边长为1的等边三角形AOB，O为原点，AB⊥x轴，以O为顶点且过A、B的抛物线方程是()A．y2＝36xB．y2＝±36xC．y2＝－36xD．y2＝±33x解析：当抛物线开口向右时，可设抛物线方程为y2＝2px(p0)．∵A32，12，∴14＝3p，即p＝312.∴y2＝36x.同理，当抛物线开口向左时，抛物线标准方程为y2＝－36x.答案：B3．已知抛物线y2＝2px(p0)，以抛物线上动点与焦点连线为直径的圆与y轴的位置关系是()A．相交B．相离C．相切D．不确定解析：如图，|PP2|＝|PP1|－|P1P2|学而思网校＝12(|MM1|＋|FF1|)－|P1P2|＝12(|MM2|＋|M1M2|＋|FO|＋|OF1|)－P1P2＝12(|MM2|＋|OF|)＝12|MM1|＝12|MF|，∴该圆与y轴相切．答案：C4．设斜率为2的直线l过抛物线y2＝ax(a≠0)的焦点F，且和y轴交于点A，若△OAF(O为坐标原点)的面积为4，则抛物线方程为()A．y2＝±4xB．y2＝±8xC．y2＝4xD．y2＝8x解析：y2＝ax(a≠0)的焦点坐标为a4，0.过焦点且斜率为2的直线方程为y＝2x－a4，令x＝0，得y＝－a2.∴12×|a|4·|a|2＝4，∴a2＝64，∴a＝±8，所以抛物线方程为y2＝±8x，故选B.答案：B二、填空题(每小题5分，共10分)5．抛物线的焦点与双曲线x216－y29＝1的焦点重合，则抛物线的准线方程是________．解析：在双曲线x216－y29＝1中，a2＝16，b2＝9，∴c＝a2＋b2＝16＋9＝5，∴焦点坐标是F1(－5,0)，F2(5,0)．当抛物线焦点是F1(－5,0)时，p2＝5，准线方程是x＝5；当抛物线焦点是F2(5,0)时，p2＝5，准线方程是x＝－5，所以应填x＝－5或x＝5.学而思网校答案：x＝±56．已知以F为焦点的抛物线y2＝4x上的两点A、B满足AF→＝3FB→，则弦AB的中点到准线的距离为________．解析：如图，设A(xA，yA)，B(xB，yB)，由题意设AB的方程为y＝k(x－1)(k≠0)，由y＝kx－y2＝4x，消去y得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0，∴xA·xB＝1，又∵AF→＝3FB→，∴xA＋3xB＝4，解得xA＝3，xB＝13，∴AB的中点M到准线的距离|MN|＝xA＋xB＋22＝83.答案：83三、解答题(每小题10分，共20分)7．设O为坐标原点，F为抛物线y2＝4x的焦点，A为抛物线上一点，若OA→·AF→＝－4，求点A的坐标．解析：由y2＝4x，知F(1,0)．∵点A在y2＝4x上，∴不妨设Ay24，y，则OA→＝y24，y，AF→＝1－y24，－y.代入OA→·AF→＝－4中，学而思网校1－y24＋y(－y)＝－4，化简得y4＋12y2－64＝0.∴y2＝4或－16(舍去)，y＝±2.∴点A的坐标为(1,2)或(1，－2)．8．已知抛物线的顶点在原点，x轴为对称轴，经过焦点且倾斜角为π4的直线，被抛物线所截得的弦长为6，求抛物线方程．解析：当抛物线焦点在x轴正半轴上时，可设抛物线标准方程是y2＝2px(p0)，则焦点Fp2，0，直线l为y＝x－p2.设直线l与抛物线的交点A(x1，y1)，B(x2，y2)，过A、B分别向抛物线的准线作垂线AA1、BB1，垂足分别为A1、B1.则|AB|＝|AF|＋|BF|＝|AA1|＋|BB1|＝x1＋p2＋x2＋p2＝x1＋x2＋p＝6，∴x1＋x2＝6－p.①由y＝x－p2y2＝2px消去y，得x－p22＝2px，即x2－3px＋p24＝0.∴x1＋x2＝3p，代入①式得：3p＝6－p，∴p＝32.∴所求抛物线标准方程是y2＝3x.当抛物线焦点在x轴负半轴上时，用同样的方法可求出抛物线的标准方程是：y2＝－3x.综上，抛物线方程为y2＝±3x.尖子生题库☆☆☆9．(10分)已知直线l经过抛物线y2＝4x的焦点F，且与抛物线相交于A、B两点．(1)若|AF|＝4，求点A的坐标；学而思网校(2)求线段AB的长的最小值．解析：由y2＝4x，得p＝2，其准线方程为x＝－1，焦点F(1,0)．设A(x1，y1)，B(x2，y2)．(1)由抛物线的定义可知．|AF|＝x1＋p2，从而x1＝4－1＝3.代入y2＝4x，解得y1＝±23.∴点A的坐标为(3,23)或(3，－23)．(2)当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝k(x－1)．与抛物线方程联立，得y＝kx－y2＝4x，消去y，整理得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0，因为直线与抛物线相交于A、B两点，则k≠0，并设其两根为x1，x2，则x1＋x2＝2＋4k2.由抛物线的定义可知，|AB|＝x1＋x2＋p＝4＋4k24，当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝1，与抛物线交于A(1,2)，B(1，－2)，此时|AB|＝4.所以|AB|≥4，即线段AB的长的最小值为4.